니븐 상수 문서 원본 보기

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[[정수론]]에서 '''니븐 상수'''(Niven constant)는 [[이반 니븐]](Ivan Niven)의 이름을 따서 이름붙여진 [[수학 상수]]이다.

[[자연수|양의 정수]] n에 대하여, <math>H(n)</math>을 n의 [[소인수분해]]에 나타나는 가장 큰 지수를 나타내는 [[수론적 함수]]로 정의하자. 또한 <math>H(1)=1</math>로 정의하자. 이 <math>H(n)</math> 함수에 대해, 니븐 상수는 다음과 같이 정의된다:

:<math>\lim_{n \to \infty} {{1}\over{n}} \sum_{k=1}^n H(k) = 1+\sum_{k=2}^\infty \left(1-{{1}\over{\zeta(k)}}\right)
= 1.705211\dots</math>

여기서 <math>\zeta(s)</math>는 [[리만 제타 함수]]이다(Niven, 1969).

같은 논문에서, 니븐은

:<math>\sum_{j=1}^n h(j) = n + c\sqrt{n} + o (\sqrt{n}) </math>

임도 보였다. 여기서 <math>h(n)</math>은 양의 정수 n의 소인수분해에 나타나는 가장 작은 지수를 나타내는 수론적 함수로 정의되며, <math>h(1)=1</math>이다. 또한, <math>o</math>는 [[점근 표기법|작은 o 표기법]]을 나타내며 상수 <math>c</math>의 값은

:<math>c = {{\zeta\left({{3}\over{2}}\right)}\over{\zeta(3)}}</math>

이다. 니븐의 식으로부터,

: <math> \lim_{n\to\infty} {{1}\over{n}}\sum_{j=1}^n h(j) = 1 </math>

을 얻을 수 있다.

== 리만 제타 함수의 특수 값 ==
:<math>\zeta({-1})  =-{1\over12} </math>
:<math>\zeta({0})  =-{1\over2} </math>
:<math>\zeta\left({{1}\over{2}}\right) \approx -1.4603545.... (OEIS A059750)</math>
:<math>\zeta(1)= 1+{1\over2}+{1\over3}+....= \infty  </math>
:<math>\zeta\left({{3}\over{2}}\right) \approx 2.612....  (OEIS A078434)</math>
:<math>\zeta({2}) = {\pi^2 \over{6}}=1.645.... (OEIS A013661) </math>
:<math>\zeta({3}) = 1.202.... (OEIS A002117)</math>

== 같이 보기 ==
* [[수학 상수]]
* [[리만 제타 함수]]

== 참고 ==
*{{저널 인용|last = Niven|first = Ivan M.|title = Averages of Exponents in Factoring Integers|journal = Proceedings of the American Mathematical Society|volume = 22|issue = 2|pages = 356–360|date=August 1969|doi = 10.2307/2037055|jstor=2037055}}
* Steven R. Finch, ''Mathematical Constants'' (''Encyclopedia of Mathematics and its Applications''), Cambridge University Press, 2003

[[분류:특수 함수]]
[[분류:수학 상수]]