뉴턴 항등식 문서 원본 보기

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'''뉴턴 항등식'''(-恒等式, {{lang|en|Newton's identities}})은 [[멱합]]과 [[기본대칭식]]에 대한 [[항등식]]이다.

== 멱합, 기본대칭식 ==
멱합 다항식 <math>s_k</math>는 <math>\textstyle \sum_{i=1}^n x_i^k</math>로 정의된 [[대칭다항식]]이다. 즉,

:<math>s_0 = n</math>
:<math>s_1 = x_1 +  \cdots + x_n</math>
:<math>s_2 = x_1^2 + \cdots + x_n^2</math>
:<math>\cdots</math>

기본대칭다항식 <math>\sigma_k</math>는 <math>\textstyle \sum_{1\le i_1 < \cdots < i_k \le n} x_{i_1}\cdots x_{i_k}</math>로 정의된다. 즉,

:<math>\sigma_0 = 1</math>
:<math>\sigma_1 = x_1 + \cdots + x_n ({} = s_1)</math>
:<math>\sigma_2 = \sum_{1\le i < j\le n} x_ix_j</math>
:<math>\cdots</math>
:<math>\sigma_n = x_1 \cdots x_n</math>
:<math>\sigma_{n+k} = 0,\ k > 0</math>

기본대칭다항식은 <math>x_1, \cdots, x_n</math>을 근으로 하는 다항식의 계수로부터 유도된다.

:<math>\prod_{i=1}^n (x - x_i) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\sigma_k x^{n-k}</math>

== 내용 ==
임의의 대칭다항식이 기본대칭다항식의 다항식으로 표현되듯이, 멱합 다항식도 그러하다. 뉴턴 항등식은 멱합의 기본대칭식에 의한 표현하는 재귀적인 방법을 제시한다.

:<math>- s_k = - \sigma_1s_{k-1} + \sigma_2 s_{k-2} - \cdots + (-1)^{k-1}\sigma_{k-1}s_1 + (-1)^k k \sigma_k</math>

우변은 마지막 항을 제외해야만 규칙적임에 주의하자. <math>k > n</math>이면, 뒤에 오는 몇 항이 소실되므로

:<math>- s_k = - \sigma_1s_{k-1} + \sigma_2s_{k-2} - \cdots + (-1)^n\sigma_ns_{k-n}</math>

이 성립한다.

== 응용 ==
뉴턴 항등식에 따라, 다항식의 복소수 [[근 (수학)|근]]의 거듭제곱합

:<math>s_k = x_1^k + \cdots + x_n^k</math>

및 그들로 표현되는 중근 판별식

:<math>\prod_{i > j} (x_i - x_j)^2 = \det VV^T = \det[s_{i+j-2}]_{i,j=1}^n</math>

은 모두 다항식의 계수로도 표현된다.
== 같이 보기 ==
* [[기본 대칭 다항식]]
* [[뉴턴의 부등식]]
* [[대칭 함수]]

[[분류:군론]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:항등식]]
[[분류:갈루아 이론]]
[[분류:아이작 뉴턴]]
[[분류:대수적 조합론]]