뉴턴 다각형 문서 원본 보기

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[[대수적 수론]]에서 '''뉴턴 다각형'''(Newton多角形, {{llang|en|Newton polynomial}})은 [[국소체]] 계수의 [[다항식]]의 성질을 나타내는 [[다각형]]이며, 각 계수의 값매김으로 정의되는 점들의 [[볼록 껍질]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[완비 국소환|완비]] [[이산 값매김환]] <math>D</math>. <math>D</math>의 [[분수체]]를 <math>K = \operatorname{Frac}D</math>로 표기하자.
* [[다항식]] <math>p = a_nx^n + \dotsb + a_1x + a_0\in K[x]</math>
<math>K</math> 위의 이산 값매김을
:<math>\nu \colon K \setminus\{0\} \to \mathbb Z</math>
로 표기하자. 편의상
:<math>\nu(0) = +\infty</math>
로 놓자.

그렇다면, [[확장된 실수]] 평면 속의 다음과 같은 점들을 생각하자.
:<math>\{(i, \nu(a_i)) \colon i\in\mathbb Z\} \subsetneq (\mathbb Z\sqcup\{\infty\})^2 \subsetneq (-\infty,\infty]^2</math>

이 점들을 포함하는 [[볼록 껍질]]을 <math>p</math>의 '''뉴턴 다각형'''이라고 한다.

== 성질 ==
다항식 <math>p\in K[x]</math> 및 [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이산 값매김을 <math>\bar K</math>에 다음과 같이 확장할 수 있다.
:<Math>\bar\nu \colon K^\times \to \mathbb Q</math>
<math>p</math>의 뉴턴 다각형의 변의 수가 <math>r</math>이며, 각 변의 기울기가
:<math>(\mu_1,\dotsc,\mu_r)</math>
이며, 각 변의 ''x''축에 사영하였을 때의 길이가
:<math>(\lambda_1,\dotsc,\lambda_r)</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>p</math>의 <math>\bar K</math>에서의 근
:<math>\alpha_1,\alpha_2,\dotsc,\alpha_{\deg p}</math>
:<math>p(\alpha_i) =0</math>
가운데, 값매김이 <math>-\mu_a</math>인 것의 수는 <Math>\lambda_a</math>개이다.

== 예 ==
[[5진 정수]]의 [[이산 값매김환]] <math>\mathbb Z_5</math> 계수의 6차 다항식
:<math>1 + 5x + 5^{-1}x^2 + 3x^3 + 5^2x^5 + 5^2x^5 + 5^4x^6</math>
을 생각하자. 그렇다면, 뉴턴 다항식을 정의하는 점들은 다음과 같다.
:<math>\{(0,0), (1,1), (2,-1), (3,0), (4,\infty), (5,2), (6,4), (7,\infty), (8,\infty),\dotsc\}</math>
따라서, 그 [[볼록 껍질]]인 뉴턴 다각형은 다음과 같이 주어진다.
:[[파일:Newton-polygon.gif]]
이 뉴턴 다각형은 세 개의 변으로 구성되며, 이들은 다음과 같다.
:{| class=wikitable
! 시작점 || 끝점 || ''x''축 사영 길이 || 기울기
|-
| (0,0) || (2,−1) || 2 || −½
|-
| (2,−1) || (5,2) || 3 || 1
|-
| (5,2) || (6,4) || 1 || 2
|}

따라서, 이 다항식의 6개의 근 가운데, 5진 값매김이 ½인 것은 2개이며, −1인 것은 3개이며, −2인 것은 1개이다.

== 역사 ==
[[아이작 뉴턴]]이 하인리히 올덴부르크({{llang|de|Heinrich Oldenburg}}, {{llang|en|Henry Oldenburg|헨리 올든버그}})에게 1676년에 보낸 편지에서 최초로 사용하였다.

== 같이 보기 ==
* [[아이젠슈타인 판정법]]
== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://www.math.ubc.ca/~cass/research/pdf/Newton.pdf | 제목=Newton polygons | 이름=Bill | 성= Casselman | 날짜=2018-10-21 | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:아이작 뉴턴]]