노름 공간 문서 원본 보기

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[[선형대수학]] 및 [[함수해석학]]에서 '''노름 공간'''(norm空間, {{llang|en|normed space}})은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 [[벡터 공간]]이다. 이러한 크기는 '''노름'''({{llang|en|norm|놈}})이라고 하며, [[삼각 부등식]]을 따라 [[거리 함수]]를 정의한다.

노름 공간의 정의에서, [[하우스도르프 공간|하우스도르프 조건]]을 생략하면 '''반노름 공간'''(半norm空間, {{llang|en|seminormed space}})의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, '''반노름'''(半norm, {{llang|en|seminorm}})이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다.

삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다.
<math>\|x + y\| \le K(\|x\| + \|y\|)</math>

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자.

=== 통상적 정의 ===
<math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''반노름'''은 다음 두 조건들을 만족하는 [[함수]]
:<math>\lVert\cdot\rVert\colon V\to[0,\infty)</math>
:<math>\lVert\cdot\rVert\colon v\mapsto\Vert v\Vert</math>
이다.<ref name="Rudin"/>{{rp|25, §1.33}}
* (양의 동차성) 임의의 <math>a\in K</math> 및 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert av\Vert=|a|\Vert v\Vert</math>
* ([[삼각 부등식]]) 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert</math>
반노름이 주어진 <Math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>(V,\lVert\cdot\rVert)</math>을 '''<math>\mathbb K</math>-반노름 공간'''이라고 한다.

<math>V</math> 위의 '''노름'''은 다음 조건을 추가로 만족하는 반노름 <math>\lVert\cdot\rVert</math>이다.<ref name="Rudin"/>{{rp|3–4, §1.2}}
* (양의 정부호성) 모든 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert v\Vert=0</math>임은 <math>v=0</math>임과 [[동치]]이다.
노름이 주어진 <Math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>(V,\lVert\cdot\rVert)</math>을 '''<math>\mathbb K</math>-노름 공간'''이라고 한다.<ref name="Rudin">{{서적 인용 | last=Rudin | first=Walter | authorlink=월터 루딘 | 제목=Functional analysis | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | 날짜=1991 | zbl=0867.46001 | 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|판=2판 |언어=en}}</ref>{{rp|3–4, §1.2}}

=== 민코프스키 범함수를 통한 정의 ===
<math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq V</math>의 '''민코프스키 범함수'''({{llang|en|Minkowski functional}})는 다음과 같다.
:<math>\mu_S\colon V\to[0,\infty]</math>
:<math>\mu_S(v)=\inf\{t\in\mathbb R^+\colon v\in tS\}</math>

<math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''반노름'''은 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]
:<math>\lVert\cdot\rVert\colon V\to[0,\infty]</math>
:<math>\lVert\cdot\rVert\colon v\mapsto\Vert v\Vert</math>
이다.
* 어떤 [[균형 집합|균형]] [[볼록 집합|볼록]] [[흡수 집합]]의 민코프스키 범함수이다.
(흡수성에 따라 반노름의 값은 항상 유한하다.) 이 정의는 반노름의 통상적 정의와 [[동치]]이다.

== 연산 ==
=== 직합 ===
<math>\mathbb K</math>-노름 공간들의 (유한 또는 무한) 족 <Math>(V_i)_{i\in I}</math>과 실수 <math>1\le p<\infty</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[직합]]
:<math>V=\bigoplus_iV_i</math>
에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
:<math>\|(v_i)_{i\in I}\|_p=\sqrt[p]{\|v_i\|_{V_i}^p}</math>
그렇다면, <math>(V,\lVert\cdot\rVert_p)</math> 역시 노름 공간을 이룬다.

=== 부분 공간과 몫 ===
<math>\mathbb K</math>-노름 공간 <math>V</math>의  <Math>\mathbb K</math>-부분 벡터 공간 <math>W\subseteq V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>W</math>에 <math>V</math>의 노름을 제한한 것을 부여하면, <math>W</math> 역시 <math>\mathbb K</math>-노름 공간을 이룬다.

<math>\mathbb K</math>-노름 공간 <math>V</math>의 [[닫힌집합|닫힌]] <Math>\mathbb K</math>-부분 벡터 공간 <math>W\subseteq V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 몫공간 <math>V/W</math> 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
:<math>\|v+W\|_{V/W}=\inf_{w\in W}\|v+w\|_V</math>
그렇다면 <math>V/W</math> 역시 <math>\mathbb K</math>-노름 공간을 이룬다.

=== 연속 쌍대 공간 ===
{{본문|연속 쌍대 공간}}
<math>\mathbb K</math>-노름 공간 <math>(V,\|\|)</math>의 [[연속 쌍대 공간]] <Math>V'</math> 위에는 '''[[쌍대 노름]]'''
:<math>\|f\|_{V'}=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac{|f(v)|}{\|v\|_V}</math>
을 부여할 수 있으며, 이에 따라 <math>V'</math> 역시 <math>\mathbb K</math>-노름 공간을 이룬다.

=== 하우스도르프화 ===
임의의 <math>\mathbb K</math>-반노름 공간 <Math>(V,\|\|)</math>에 대하여, 다음과 같은 <Math>\mathbb K</math>-부분 벡터 공간을 정의하자.
:<math>N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}</math>
그렇다면, 몫공간 <Math>V/N</math> 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 [[르베그 공간]]의 정의에 등장한다.

=== 완비화 ===
<math>\mathbb K</math>-노름 공간 <math>(V,\|\|)</math>의 ([[거리 공간]]으로서의) [[완비 거리 공간|완비화]] <Math>\bar V</math> 위에 다음과 같은 노름을 정의하자.
:<math>\|\bar v\|_{\bar V}=\lim_{i\to\infty}\|v_i\|_V\qquad(\bar v\in V)</math>
여기서 <math>(v_i)_{i\in\mathbb N}</math>는 <math>\bar v</math>로 수렴하는 [[코시 열]]이다. 이를 부여하면 <math>\bar V</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다.

이 경우, 자연스러운 [[단사 함수|단사]] <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환|선형]] [[등거리 변환]]
:<math>V\hookrightarrow\bar V</math>
가 존재하여, <math>V</math>를 <math>\bar V</math>의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약 <math>V</math>가 이미 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이라면, 위 함수는 [[전단사 함수]]이다.

== 성질 ==
<math>\mathbb K</math>-반노름 공간 <math>V</math> 위에는 다음과 같은 유사 거리 함수를 부여하여 [[유사 거리 공간]]으로 만들 수 있다.
:<math>d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|\qquad(u,v\in V)</math>
만약 <math>V</math>가 노름 공간이라면, 이는 [[거리 공간]]을 이룬다. [[유사 거리 공간]] 구조에 의하여, <math>\mathbb K</math>-반노름 공간은 항상 <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]]을 이룬다.

두 <math>\mathbb K</math>-반노름 공간 사이의 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]의 경우, [[유계 작용소]]인 것과 [[연속 함수]]인 것이 서로 [[동치]]이다.

=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| <math>\mathbb K</math>-노름 공간 || ⇐ || <math>\mathbb K</math>-[[내적 공간]]
|-
| ⇑ || || ⇑
|- 
| <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] || ⇐ || <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]
|}
즉, <math>\mathbb K</math>-노름 공간 <math>(V,\|\|)</math>가 주어졌을 때,
* 만약 <math>(u,v)\mapsto(\|u+v\|-\|u-v\|)/2</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[쌍선형 형식]]을 이루면, <math>(V,\|\|)</math>는 <Math>\mathbb K</math>-[[내적 공간]]을 이룬다.
* 만약 [[완비 거리 공간]]이라면, <math>(V,\|\|)</math>는 <Math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다.
* 만약 <math>(V,\|\|)</math>가 <Math>\mathbb K</math>-[[내적 공간]]이자  <Math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이라면, <math>(V,\|\|)</math>를 <Math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]이라고 한다.

=== 노름화 가능 공간 ===
<math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>V</math>를 '''반노름화 가능 공간'''({{llang|en|seminormable space}})이라고 한다.<ref name="RudinFunctionalAnalysis">{{서적 인용
|성1=Rudin
|이름1=Walter
|저자링크1=월터 루딘
|제목=Functional analysis
|언어=en
|판=2
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|출판사=McGraw-Hill
|위치=New York, NY
|날짜=1991
|isbn=
|mr=1157815
|zbl=0867.46001
}}</ref>{{rp|30, Theorem 1.39}}
* <math>V</math>의 위상은 낱개의 반노름으로 유도된다.
* [[국소 볼록 공간]]이자 [[국소 유계 공간]]이다. 즉, <math>0\in V</math>가 [[볼록 집합|볼록]] [[유계 집합|유계]] [[근방]]을 갖는다.

<math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>V</math>를 '''노름화 가능 공간'''이라고 한다.<ref name="RudinFunctionalAnalysis" />{{rp|30, Theorem 1.39}}
* <math>V</math>의 위상은 낱개의 노름으로 유도된다.
* 반노름화 가능 공간이며, [[하우스도르프 공간]]이다.

== 예 ==
모든 벡터 공간에서 '''자명 반노름'''({{llang|en|trivial seminorm}}) <math>\Vert v\Vert=0</math>은 반노름을 이루지만, 이는 (<math>V</math>가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.

=== 체 ===
체 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 [[절댓값]] <math>\Vert a\Vert=|a|</math>은 노름을 이룬다.

=== 유클리드 공간에서의 노름 ===
{{본문|Lp 공간}}
[[파일:Vector norms.svg|프레임|오른쪽|서로 다른 노름 공간에서 정의된 [[단위원]].]]
임의의 <math>1\le p\le\infty</math>에 대하여, [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위에 다음과 같은 노름 <math>\lVert\cdot\rVert_p</math>을 정의할 수 있으며, 이를 '''L<sup>''p''</sup> 노름'''이라고 한다.
:<math>\Vert\mathbf{x}\Vert_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}</math>
여기서 <math>p=2</math>인 경우는 표준적인 [[유클리드 노름]]
:<math>\Vert\mathbf{x}\Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2 }</math>
이다. 만약 <math>p=\infty</math>일 경우는 '''상한 노름'''({{llang|en|supremum norm}})
:<math>\Vert\mathbf{x}\Vert_\infty = \lim_{p\to\infty}\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}=\max\{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_n| \}</math>
이 된다. <math>p=1</math>인 경우는 '''[[맨해튼 거리|맨해튼 노름]]'''
:<math>\Vert\mathbf{x}\Vert_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|</math>
이 된다.

<math>\ell^p</math> 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, <math>\mathbb R^4</math> 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.
:<math>\Vert x\Vert= 2|x_1| + \sqrt{3|x_2|^2 + \max(|x_3|,2|x_4|)^2}</math>
그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.

== 같이 보기 ==
* [[바나흐 공간]]
* [[핀슬러 다양체]]
* [[내적 공간]]
* [[국소 볼록 공간]]
* [[공간#수학]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Norm}}
* {{eom|title=Normed space}}
* {{eom|title=Seminorm}}
* {{eom|title=Pre-norm}}
* {{매스월드|id=Norm|title=Norm}}
* {{매스월드|id=NormedSpace|title=Normed space}}
* {{매스월드|id=Seminorm|title=Seminorm}}
* {{nlab|id=norm|title=Norm}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Norm_(Vector_Space)|제목=Definition: norm (vector space)|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2017-01-26|보존url=https://web.archive.org/web/20130119025853/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Norm_(Vector_Space)|보존날짜=2013-01-19|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/256623/is-a-normed-space-which-is-homeomorphic-to-a-banach-space-complete|제목=Is a normed space which is homeomorphic to a Banach space complete?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:노름 공간| ]]