내접원 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Triangle.Incircle.svg|섬네일|삼각형의 내접원과 내심]]
[[파일:Tangentenviereck.svg|섬네일|내접원을 갖는 사각형]]
'''내접원'''(內接圓, {{llang|en|inscribed circle, incircle}})은 [[기하학]]에서 주어진 [[다각형]]의 모든 변에 접하는 [[원 (기하학)|원]]이다. '''내심'''(內心, {{llang|en|incenter}})은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 [[삼각형]] 또는 [[정다각형]]의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 <math>I</math>로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 <math>r</math>로 표기한다.

== 정의 ==
[[다각형]]의 모든 변에 접하는 [[원 (기하학)|원]]을 이 다각형의 '''내접원'''이라고 한다. 내접원의 중심을 '''내심'''이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 '''외접 다각형'''(外接多角形, {{llang|en|tangential polygon, circumscribed polygon}})이라고 한다.

== 성질 ==
(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 [[내각 이등분선]]의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다.

모든 [[삼각형]]과 [[정다각형]]은 내접원을 갖는다. [[정삼각형]]의 내심은 [[외심]], [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]], [[수심 (기하학)|수심]]과 일치한다. 삼각형의 내심은 [[방심 삼각형]]의 수심이다. [[포이어바흐 정리]]에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 [[방접원]]은 [[구점원]]과 접한다.

=== 반지름 ===
(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 <math>r</math>은 [[넓이]] <math>S</math>와 [[반둘레]] <math>s</math>를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>r=\frac Ss</math>

삼각형의 세 변의 길이가 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, 반둘레가 <math>s</math>, 넓이가 <math>S</math>, [[외접원]]의 반지름이 <math>R</math>, [[방접원]]의 반지름이 <math>r_A</math>, <math>r_B</math>, <math>r_C</math>라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다.
:<math>\begin{align}r
&=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}s}\\
&=\frac{abc}{4sR}\\
&=\frac 1{\frac 1{r_A}+\frac 1{r_B}+\frac 1{r_C}}\\
&=r_A+r_B+r_C-4R
\end{align}</math>
첫 등호는 [[헤론의 공식]]에 의한다.

=== 접점과 중심각 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 내심을 <math>I</math>라고 하고, 내접원과 두 변 <math>AC</math>, <math>BC</math>의 접점을 각각 <math>T_B</math>, <math>T_C</math>라고 하고, 직선 <math>AI</math>와 <math>T_BT_C</math>의 교점을 <math>P</math>라고 할 때, <math>BP</math>는 <math>AI</math>의 수선이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|31, §3.4}}

삼각형 <math>ABC</math>의 내접원의 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변에서의 접점을 각각 <math>T_A</math>, <math>T_B</math>, <math>T_C</math>라고 하고, 반둘레를 <math>s</math>, <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 길이를 각각 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>라고 할 때, 다음이 성립한다.
:<math>AT_B=AT_C=s-a</math>
:<math>BT_C=BT_A=s-b</math>
:<math>CT_A=CT_B=s-c</math>

삼각형 <math>ABC</math>의 내심 <math>I</math>와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다.
:<math>\angle AIB=90^\circ+\frac 12\angle ACB</math>
:<math>\angle BIC=90^\circ+\frac 12\angle BAC</math>
:<math>\angle CIA=90^\circ+\frac 12\angle CBA</math>

=== 외접원과의 관계 ===
삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 <math>R</math>, <math>r</math>라고 할 때, 내심 <math>I</math>와 외심 <math>O</math> 사이의 거리는 다음과 같다 ('''[[오일러 삼각형 정리]]''').
:<math>OI=\sqrt{R^2-2Rr}</math>

특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 ('''[[오일러의 부등식]]''').
:<math>R\ge 2r</math>

삼각형 <math>ABC</math>의 내심을 <math>I</math>, [[외접원]]의 호 <math>BC</math>의 중점 <math>M</math>이라고 할 때, 다음이 성립한다 ('''[[맨션 정리]]''').
:<math>MI=MB=MC</math>

=== 내심 삼각형 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 내각 이등분선 <math>AI_A</math>, <math>BI_B</math>, <math>CI_C</math>의 발 <math>I_A</math>, <math>I_B</math>, <math>I_C</math>를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''내심 삼각형'''(內心三角形, {{llang|en|incentral triangle}}) <math>I_AI_BI_C</math>라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 [[체바 삼각형]]이다.

=== 제르곤 점과 제르곤 삼각형 ===
[[파일:Intouch Triangle and Gergonne Point.svg|섬네일|제르곤 점과 제르곤 삼각형]]
삼각형 <math>ABC</math>의 내접원과 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 접점을 각각 <math>T_A</math>, <math>T_B</math>, <math>T_C</math>라고 하자. 그렇다면 [[체바 정리]]에 따라 선분 <math>AT_A</math>, <math>BT_B</math>, <math>CT_C</math>는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''제르곤 점'''({{llang|en|Gergonne point}}) <math>X_7</math>이라고 한다. 삼각형 <math>ABC</math>의 내접원의 세 접점 <math>T_A</math>, <math>T_B</math>, <math>T_C</math>를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''제르곤 삼각형'''({{llang|en|Gergonne triangle}}) 또는 '''내촉 삼각형'''({{llang|en|intouch triangle}}) 또는 '''접촉 삼각형'''({{llang|en|contact triangle}}) <math>T_AT_BT_C</math>라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 [[수족 삼각형]]이자 제르곤 점의 [[체바 삼각형]]이다.
{{증명}}
다음 등식 및 [[체바 정리]]에 따라 선분 <math>AT_A</math>, <math>BT_B</math>, <math>CT_C</math>는 한 점에서 만난다.
:<math>\frac{AT_C}{T_CB}\cdot\frac{BT_A}{T_AC}\cdot\frac{CT_B}{T_BA}=\frac{s-a}{s-b}\cdot\frac{s-b}{s-c}\cdot\frac{s-c}{s-a}=1</math>
{{증명 끝}}

제르곤 점은 제르곤 삼각형의 [[대칭 중점]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|62, §7.4, (iv)}}

삼각형 <math>ABC</math>의 내접원과 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 접점을 각각 <math>T_A</math>, <math>T_B</math>, <math>T_C</math>라고 하고, 제르곤 점을 <math>X_7</math>라고 하자. 제르곤 점 <math>X_7</math>을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 <math>T_AT_B</math>, <math>T_BT_C</math>, <math>T_CT_A</math>의 평행선 <math>PS</math>, <math>RU</math>, <math>TQ</math>와 원래 삼각형 <math>ABC</math>의 두 변 <math>BC</math>와 <math>CA</math>, <math>CA</math>와 <math>AB</math>, <math>AB</math>와 <math>BC</math>의 교점을 각각 <math>P</math>와 <math>S</math>, <math>R</math>와 <math>U</math>, <math>T</math>와 <math>Q</math>라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 [[원 (기하학)|원]] 위에 있다. 이 원을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''애덤스 원'''({{llang|en|Adams’ circle}})이라고 한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|62, §7.4, (v)}} 애덤스 원은 내접원과 [[동심원]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|62, §7.4, (v)}}
{{증명}}
6개의 점 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>, <math>S</math>, <math>T</math>, <math>U</math>와 내심 <math>I</math>사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형 <math>IT_AP</math>, <math>IT_AQ</math>, <math>IT_BR</math>, <math>IT_BS</math>, <math>IT_CT</math>, <math>IT_CU</math>의 빗변이다. <math>IT_A=IT_B=IT_C</math>는 내접원의 반지름이므로
:<math>PT_A=T_AQ=RT_B=T_BS=TT_C=T_CU</math>
를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 <math>PT_A=T_AQ=ST_B</math>를 보이는 것으로 충분하다.

같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 <math>CT_A=CT_B</math>이다. 직선 <math>PS</math>와 <math>T_AT_B</math>는 평행하므로 <math>CP=CS</math>이다. 따라서 <math>PT_A=ST_B</math>이다.

선분 <math>T_AT_B</math>, <math>T_AT_C</math>의 연장선과 점 <math>A</math>를 지나는 직선 <math>BC</math>의 평행선의 교점을 각각 <math>D</math>, <math>E</math>라고 하자. 그렇다면 직선 <math>DE</math>와 <math>BC</math>는 평행하며 삼각형 <math>CT_AT_B</math>, <math>BT_AT_C</math>는 [[이등변 삼각형]]이므로
:<math>DA=AT_C=AT_B=EA</math>
이며, 선분 <math>T_AA</math>는 삼각형 <math>T_ADE</math>의 [[중선]]이다. 직선 <math>DE</math>, <math>PS</math>, <math>QT</math>는 각각 직선 <math>BC</math>, <math>T_AT_B</math>, <math>T_AT_C</math>와 평행하므로, 삼각형 <math>T_ADE</math>와 선분 <math>T_AA</math>의 합집합은 삼각형 <math>X_7PQ</math>와 선분 <math>X_7T_A</math>의 합집합과 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다. 따라서 선분 <math>X_7T_A</math> 역시 삼각형 <math>X_7PQ</math>의 중선이다. 즉, <math>PT_A=T_AQ</math>이다.
{{증명 끝}}

삼각형 <math>ABC</math>의 내접원과 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 접점을 각각 <math>T_A</math>, <math>T_B</math>, <math>T_C</math>라고 하고, 제르곤 점을 <math>X_7</math>라고 하자. 제르곤 점 <math>X_7</math>을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 <math>T_AT_B</math>, <math>T_BT_C</math>, <math>T_CT_A</math>의 평행선 <math>PS</math>, <math>RU</math>, <math>TQ</math>와 원래 삼각형 <math>ABC</math>의 두 변 <math>BC</math>와 <math>CA</math>, <math>CA</math>와 <math>AB</math>, <math>AB</math>와 <math>BC</math>의 교점을 각각 <math>P</math>와 <math>S</math>, <math>R</math>와 <math>U</math>, <math>T</math>와 <math>Q</math>라고 하자. 직선 <math>UP</math>와 <math>QR</math>, <math>QR</math>와 <math>ST</math>, <math>ST</math>와 <math>UP</math>의 교점을 각각 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>라고 하자. 그렇다면 삼각형 <math>ABC</math>의 제르곤 점 <math>X_7</math>은 삼각형 <math>XYZ</math>의 [[대칭 중점]]이며, 삼각형 <math>ABC</math>의 애덤스 원은 삼각형 <math>XYZ</math>의 [[제1 르무안 원]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|98, Exercise 9.2}}

== 역사 ==
제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 [[프랑스]]의 수학자 조제프 디에즈 제르곤({{llang|fr|Joseph Diez Gergonne}})의 이름을 땄다.

애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스({{llang|en|C. Adams}})가 제시하였다.<ref name="Honsberger" />{{rp|62, §7.4, (v)}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Incircle|제목=Incircle}}
* {{매스월드|id=Incenter|제목=Incenter}}
* {{매스월드|id=Inradius|제목=Inradius}}
* {{매스월드|id=IncentralTriangle|제목=Incentral triangle}}
* {{매스월드|id=IncentralCircle|제목=Incentral circle}}
* {{매스월드|id=GergonnePoint|제목=Gergonne point}}
* {{매스월드|id=ContactTriangle|제목=Contact triangle}}
* {{매스월드|id=AdamsCircle|제목=Adams' circle}}
* {{매스월드|id=GergonneLine|제목=Gergonne line}}

{{오심}}

[[분류:삼각 기하학]]
[[분류:다각형]]
[[분류:원 (기하학)]]