내분과 외분 문서 원본 보기

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[[파일:Teilverhaeltnis-innen-aussen.svg|대체글=주어진 비율의 내분점과 외분점의 작도법. 각각 A와 B를 지나는 두 평행선을 긋고, 그들 위에서 길이 비율이 5:3인 선분 AA', BB'를 취한 뒤, 선분 A'B' 와 AB의 교점을 취하면 된다.|섬네일|주어진 내/외분비의 내분점과 외분점의 작도법]]
[[기하학]]에서 '''내분'''(內分)은 [[선분]]을 그 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 내분하는 점을 '''내분점'''(內分點)이라고 하며, 나눠진 두 부분의 길이의 비를 '''내분비'''(內分比)라고 한다. 이와 비슷하게, '''외분'''(外分)은 선분을 그 연장선 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 외분하는 점을 '''외분점'''(外分點)이라고 하며, 나눠진 두 부분의 길이의 비를 '''외분비'''(外分比)라고 한다.

== 정의 ==
[[파일:Teilverhaeltnis-definition.svg|대체글=내분비와 외분비의 정의식, 그리고 내분비 또는 외분비가 2, -4, -1/4, 1, 0일 때의 예시|섬네일|내/외분비의 정의와 예시]]
세 [[공선점]] <math>A,B,C</math> (<math>A\ne B</math>)의 '''내/외분비'''({{llang|en|division ratio}}) <math>(A,B;C)</math>는 다음을 만족시키는 유일한 수이다.
:<math>\overrightarrow{AC}=(A,B;C)\overrightarrow{CB}</math>
즉, 이는 다음과 같다.
:<math>(A,B;C)=
\begin{cases}
|AC|/|CB|&B\ne C\in\overline{AB}\\
-|AC|/|CB|&B\ne C\not\in\overline{AB}\\
\widehat\infty&C=B
\end{cases}
\in(\mathbb R\setminus\{-1\})\sqcup\{\widehat\infty\}</math>

== 성질 ==
[[파일:Hyperbel-teilverhaeltnis.svg|대체글=함수 λ=t/(1-t)의 그래프|섬네일|{{abs|''AB''}} = 1일 때, ''t'' = {{abs|''AC''}}와 ''λ'' = (''A'', ''B''; ''C'')의 관계 ''λ'' = ''t'' / (1 - ''t'')의 그래프]]
[[파일:Teilverhaeltnis-vektoren.svg|대체글=선분 AB의 내분점 T 및 직선 AB 밖의 점 O|섬네일|''T''를 {{overset|⟶|''OA''|h}}와 {{overset|⟶|''OB''|h}}의 선형 결합으로 나타낼 때의 계수(다시 말해, 좌표계 (O; {{overset|⟶|''OA''|h}}, {{overset|⟶|''OB''|h}}) 아래 ''T''의 좌표)는 {{overline|''AB''}}에 대한 ''T''의 내분비를 통해 표시할 수 있다.]]
* 세 점의 위치 관계에 따른 내/외분비의 범위는 다음과 같다.
::{| class="wikitable"
! 위치 관계 !! 내/외분비의 범위
|-
| <math>C</math>가 <math>\overline{AB}</math> 밖의, <math>A</math>와 가까운 쪽에 있음 || <math>-1<(A,B;C)<0</math>
|-
| <math>C=A</math> || <math>(A,B;C)=0</math>
|-
| <math>C</math>가 <math>A</math>와 <math>B</math> 사이에 있음 || <math>(A,B;C)>0</math>
|-
| <math>C</math>는 <math>\overline{AB}</math>의 중점 || <math>(A,B;C)=1</math>
|-
| <math>C=B</math> || <math>(A,B;C)=\widehat\infty</math>
|-
| <math>C</math>가 <math>\overline{AB}</math> 밖의, <math>B</math>와 가까운 쪽에 있음 || <math>(A,B;C)<-1</math>
|}
* 또 다른 점 <math>O</math>가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
*:<math>\overrightarrow{OC}=\frac1{1+(A,B;C)}\overrightarrow{OA}+\frac{(A,B;C)}{1+(A,B;C)}\overrightarrow{OB}</math>
* 내/외분비는 [[아핀 변환]] 아래 불변이다. 즉, [[아핀 공간]]의 공선점 <math>A,B,C</math> (<math>A\ne B</math>)와 아핀 변환 <math>\phi</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
** <math>\phi(A),\phi(B),\phi(C)</math>는 공선점이다.
** 만약 <math>\phi(A)\ne\phi(B)</math>라면, <math>(\phi(A),\phi(B);\phi(C))=(A,B;C)</math>

== 예 ==
* [[삼각형]]의 [[삼각형의 중심#무게중심|무게중심]]은 세 [[중선]]의 내분점이며, 세 중선에 대한 무게중심의 내분비는 모두 2이다.
* 좌표 공간 위의 두 점 <math>(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)</math>를 <math>m:n</math>의 비율로 내분하는 점의 좌표는 다음과 같다.
*:<math>\left({mx_2+nx_1 \over m+n}, {my_2+ny_1 \over m+n}, {mz_2+nz_1 \over m+n}\right)</math>
* 특히, 이 두 점을 잇는 선분의 [[중점 (기하학)|중점]]의 좌표는 다음과 같다.
*:<math>\left({x_2+x_1 \over 2}, {y_2+y_1 \over 2}, {z_2+z_1 \over 2}\right)</math>
* 또한, 이 두 점을 <math>m:n</math>의 비율로 외분하는 점의 좌표는 다음과 같다.
*:<math>\left({mx_2-nx_1 \over m-n}, {my_2-ny_1 \over m-n}, {mz_2-nz_1 \over m-n}\right)</math>

[[분류:해석기하학]]