납땜 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''납땜'''({{llang|en|soldering}})은 [[올다발]]의 [[수직 벡터 다발]]과 올다발의 밑공간의 [[접다발]] 사이의 [[동형 사상]]이다. 이를 통해, 올다발의 올들이 "수평 방향"으로 붙어 있다고 간주할 수 있다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[매끄러운 올다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>. 또한, <math>E</math> 역시 [[다양체]]라고 하자.
그렇다면, <math>E</math>의 '''납땜''' <math>(o,\theta)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[단면 (올다발)|매끄러운 단면]] <math>o\in\Gamma(E)</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]]의 동형 <math>\theta\colon\mathrm TM\to o^*\mathrm VE</math>. 여기서 <math>\mathrm VE</math>는 <math>E</math>의 [[수직 벡터 다발]]이며, <math>o^*</math>는 벡터 다발의 [[당김 올다발|당김]]이다.
이에 따라, <math>\theta</math>는 다음과 같은, [[벡터 값 미분 형식|<math>\mathrm VE</math>값의 1차 미분 형식]]으로 여길 수 있다.
:<math>\theta\in\Omega^1(M;o^*\mathrm VE)</math>
이를 '''납땜 형식'''(-形式, {{llang|en|solder form}})이라고 한다.

만약 <math>E</math>가 이미 [[매끄러운 벡터 다발]]이라면, 그 위의 납땜을 보통 암묵적으로 <math>o\in\Gamma(E)</math>가 <math>o=0</math>이 되게 잡는다.

== 성질 ==
[[다양체]] <math>M</math> 위의 매끄러운 올다발 <math>E</math> 위에 납땜이 존재할 [[필요 조건]]은 <math>\dim E=2\dim M</math>인 것이다.

== 예 ==
[[다양체]] <math>M</math> 위의 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>은 자명한 납땜 형식을 갖는다. (이 경우 <math>\mathrm V\mathrm TM=\mathrm TM</math>이다.)

=== 리만 다양체 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[일반화 리만 다양체|일반화 리만 계량]] <math>g</math>은,  [[공변접다발]] <math>\mathrm T^*M</math> 위의 납땜 <math>(o,\theta)</math> 가운데 다음 조건을 만족시키는 것과 사실상 동치인 개념이다.
:<math>o=0</math>이며, 임의의 <math>x\in M</math> 및 <math>u,v\in\mathrm T_xM</math>에 대하여 <math>\theta(u)(v)=\theta(v)u</math>
위 조건은 일반화 리만 계량의 대칭성을 나타내며, 일반화 리만 계량의 비퇴화성은 <math>\theta</math>가 벡터 다발의 동형이어야 한다는 것에 해당한다.

구체적으로, 일반화 리만 계량 <math>g</math>는 벡터 다발의 동형
:<math>\theta\colon\mathrm TM\to \mathrm T^*M</math>
:<math>\theta\colon(x,v)\mapsto \left(x,g(v,-)\right)</math>
을 정의한다. 반대로, 위 조건을 만족시키는 납땜 <math>\theta\colon\mathrm TM\to \mathrm T^*M</math>이 주어졌을 때, 일반화 리만 계량
:<math>g(u,v)=\left(\theta(u)\right)(v)=\left(\theta(v)\right)(u)</math>
를 정의할 수 있다.

=== 심플렉틱 다양체 ===
[[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다발 사상
:<math>\mathrm TM\to\mathrm T^*M</math>
:<math>(x,v)\mapsto(x,\omega(v,-))</math>
은 [[공변접다발]] <math>\mathrm T^*M</math> 위의 납땜을 정의한다.

=== 연관 벡터 다발 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[리 군]] <math>G</math>
* <math>G</math>-[[매끄러운 주다발]] <math>P</math>
* <math>G</math>의 매끄러운 유한 차원 실수 [[군의 표현|표현]] <math>\rho\colon V\to\operatorname{GL}(V;\mathbb R)</math>
이 경우, [[연관 벡터 다발]] <math>P\times_GV</math>를 구성할 수 있다. 이 경우, <math>P\times_GV</math> 위의 납땜은 각 <math>x\in X</math>에 대하여 동형 사상
:<math>\theta_x\colon \mathrm T_xM\to P\times_GV</math>
로 주어진다.

즉, 이 경우 납땜 형식 <math>\theta</math>는 [[등변 미분 형식|<math>G</math>-등변]] [[리 대수 값 미분 형식|<math>\mathfrak g</math>값 1차 미분 형식]]
:<math>\theta\in\Omega^1(P;\mathfrak g)</math>
가운데, <math>\ker\theta=\mathrm VP</math>인 것이다. 특히, <math>\theta</math>는 [[수평 미분 형식]]이다.<ref name="AM">{{저널 인용|arxiv=math/9412232|제목=Differential geometry of Cartan connections|이름=Dmitri V.|성=Alekseevskky|이름2=Peter W.|성2=Michor|저널=Publicationes Mathematicae Debrecen|권=47|호=3-4|날짜=1995|쪽=349–375|issn=0033-3883|언어=en}}</ref>{{rp|§5.1}}

이 경우, <math>(P,\rho,\theta)</math>를 <math>M</math> 위의 '''<math>G</math>-구조'''(<math>G</math>-構造, {{llang|en|<math>G</math>-structure}})라고 한다.<ref name="AM"/>{{rp|§5.1}}<ref>{{저널 인용|이름=Shiing-Shen|성=Chern|저자링크=천싱선|제목=The geometry of G-structures|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=72|호=2|쪽=167–219|날짜=1966|mr=0192436|zbl=0136.17804|doi=10.1090/S0002-9904-1966-11473-8|언어=en}}</ref>

만약 추가로 <math>\rho</math>가 충실한 표현(즉, [[단사 함수]])일 경우, 이 경우 <math>P</math>는 1차 [[틀다발]] <math>\mathrm F^1M</math>의 부분 주다발이 된다. 구체적으로, <math>p\in P</math>에 대응하는 [[틀다발|틀]]은 다음과 같다.
:<math>v\mapsto \theta_{\pi(x)}^{-1}([(p,v)])\qquad(v\in V)</math>

=== 주다발 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 주다발]] <math>P</math>의 납땜 <math>(o,\theta)</math>의 개념은 자명하다. 이는 단면 <math>o\in\Gamma(P)</math>의 존재에 따라 <math>P</math>가 대역적으로 자명한 주다발 <math>P=M\times G</math>이 되며, <math>\mathrm VP=P\times\mathfrak g</math>이므로 이에 따라
:<math>\mathrm TM\cong M\times\mathfrak g</math>
가 되기 때문이다. 즉, [[접다발]] <math>\mathrm TM</math> 역시 자명한 [[벡터 다발]]이 된다.

이 때문에, 보통 "주다발 위의 납땜"은 사실 그 위의 어떤 [[연관 벡터 다발]] 위의 납땜을 뜻한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=G-structure}}
* {{nlab|id=Cartan connection}}
* {{nlab|id=integrability of G-structures|title=Integrability of G-structures}}
* {{nlab|id=torsion of G-structures|title=Torsion of G-structures}}
* {{nlab|id=torsion of a Cartan connection|title=Torsion of a Cartan connection}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분 형식]]
[[분류:올다발]]