남 변환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]과 [[이론물리학]]에서 '''남 변환'''(Nahm變換, {{llang|en|Nahm transform}})은 기본적으로 4차원 원환면 위에 정의된 [[양-밀스 순간자]]를 그 쌍대 [[원환면]] 위의 [[양-밀스 순간자]] 위에 대응시키는 변환이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0309305|doi=10.1016/j.geomphys.2004.03.006|제목=A survey on the Nahm transform|저널=Journal of Geometry and Physics|이름=Marcos|성=Jardim|권=52|호=3|날짜=2004-11|쪽=313–332|bibcode=2004JGP....52..313J|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
4차원 [[원환면]] <math>M = \mathbb R^4/\Lambda</math> 및 그 쌍대 [[원환면]] <math>\tilde M = \mathbb R^4/\Lambda^*</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\tilde M</math>의 임의의 점 <math>\tilde m\in\tilde M</math>에 대하여, <math>M</math> 위의 자명한 4차원 [[복소수 벡터 다발]] <math>\mathrm TM\otimes\mathbb C</math> 위의 평탄 접속
:<math>(\partial+\mathrm iB^{(\tilde m)})_\mu = \partial_\mu+\mathrm i\tilde m_\mu</math>
을 정의할 수 있다. 마찬가지로, <math>M</math>의 임의의 점 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>\tilde M</math> 위의 자명한 4차원 [[복소수 벡터 다발]] <math>\mathrm T\tilde M\otimes\mathbb C</math> 위의 평탄 접속
:<math>(\partial+\mathrm i\tilde B^{(m)})^\mu = \partial^\mu+\mathrm im^\mu</math>
을 정의할 수 있다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.
* <math>M</math> 위의 <math>k</math>차원 [[복소수 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math> 속의 접속 <math>A</math>. 또한, 그 [[곡률]]은 반(半) 자기 쌍대이므로, 이는 <math>\operatorname{SU}(k)</math> [[양-밀스 순간자]]를 이룬다.
그렇다면, '''남 변환'''은 <math>(E,A)</math>를 <math>\tilde M</math> 위의 [[복소수 벡터 다발]] <math>\tilde E\twoheadrightarrow M</math> 및 그 속의 [[양-밀스 순간자]] <math>\tilde A</math>에 대응시킨다.

구체적으로, 각 <math>\tilde m\in\tilde M</math>에 대하여, <math>M</math> 위의 <math>4k</math>차원 차원 [[복소수 벡터 다발]] <math>E\otimes_M\mathrm TM \twoheadrightarrow M</math> 위의 접속
:<math>A \otimes1 + 1\otimes B^{(\tilde m)}</math>
을 정의할 수 있다. 그렇다면, 이에 대응되는 [[디랙 연산자]]
:<math>D^{(\tilde m)} \colon \Gamma(E\otimes\mathrm TM\otimes S^+) \to \Gamma(E\otimes\mathrm TM\otimes S^-)</math>
를 정의할 수 있다. 임의의 <math>\tilde m\in\tilde M</math>에 대하여 그 [[핵 (수학)|핵]]은 항상 0차원이며, 따라서 그 [[여핵]]은 <math>\tilde M</math> 위의 [[복소수 벡터 다발]]을 이룬다.
:<math>\tilde E_{\tilde m} = \operatorname{coker}D^{(\tilde m)}</math>
[[복소수 힐베르트 공간]] <math>\operatorname L^2(E\otimes M\otimes S^-)</math>를 올로 하는 자명한 [[힐베르트 다발]] <math>\mathcal H\twoheadrightarrow\tilde M</math>을 생각하자. 그렇다면, 정의에 따라 자연스러운 사영 사상
:<math>q\colon\mathcal H\twoheadrightarrow \tilde E</math>
이 존재하며, 따라서 <math>\tilde E</math>를 <math>\mathcal H</math>의 부분 벡터 다발로 간주할 수 있다.
:<math>\tilde E \cong (\ker q)^\perp</math>
이에 따라서, 자명 벡터 다발 <math>\mathcal H</math> 위의 자명한 접속으로부터 <math>\tilde E</math> 위의 자명한 접속을 유도할 수 있다. 이를 <math>\tilde A</math>로 정의한다.

== 성질 ==
남 변환은 <math>M</math> 위의, 순간자수 ''n''의 SU(''k'') [[양-밀스 순간자]]를 <math>\tilde M</math> 위의, 순간자수 ''k''의 SU(''n'') [[양-밀스 순간자]]에 대응시킨다. 이 변환은 또한 [[전단사 함수]]이며, [[대합 (수학)|대합]]이다. 즉, 남 변환을 두 번 가하면, 원래 [[양-밀스 순간자]]를 얻는다.

== 응용 ==
남 변환은 [[초끈 이론]]으로 해석할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=D-branes, T-duality, and index theory|이름=Kentaro|성=Hori|arxiv=hep-th/9902102|저널=Advances in Theoretical and Mathematical Physics|권=3|쪽=281–342|날짜=1999|언어=en}}</ref> 구체적으로, 4차원 원환면 <math>M</math> 위에 감은 <math>k</math>개의 [[D-막|D(4+''p'')-막]]을 생각하자. 그 위의 [[초대칭 게이지 이론]] 속에, <math>n</math>개의 [[양-밀스 순간자]]가 존재한다고 하자. 순간자는 D(4+''p'')-막 속에 녹은 D''p''-막으로 해석할 수 있다. 이제, 4차원 원환면을 따라 [[T-이중성]]을 가하자. 그렇다면, ''k''개의 D(4+''p'')-막들은 D''p''-막이 되며, 반대로 ''n''개의 D''p''-막들은 D(4+''p'')-막이 된다. 이는 남 변환과 같다.

== 역사 ==
베르너 남({{llang|de|Werner Nahm}})의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Nahm transform}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:이론물리학]]