남 방정식 문서 원본 보기

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[[이론물리학]]에서 '''남 방정식'''(Nahm方程式, {{llang|en|Nahm equation}})은 [[SU(2)]] [[자기 홀극]]을 나타내는 연립 1차 [[상미분 방정식]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[실수 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
* 1차원 [[리만 다양체]] (즉, [[부피 형식]]이 주어진 선분 또는 원) <math>C</math>. 보통 <math>C = (0,2)</math> (길이 2의 열린 선분) 또 는<math>C = \mathbb R / \ell \mathbb Z</math> (길이 <math>\ell</math>의 원)으로 잡는다.

그렇다면, '''남 방정식'''의 변수는 <math>C</math> 위의 3개의 함수
:<math>\vec T \in\mathcal C^\infty(C,\mathfrak g \otimes \mathbb R^3)</math>
및 <math>C</math> 위의 (자명한) <math>\operatorname U(n)</math>-[[주다발]]의 [[주접속]]
:<math>T_0 \in \mathcal C^\infty(C,\mathfrak u(n))</math>
이다. 즉, 이를 통하여 <math>C</math> 위의 공변 미분
:<math>D = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz} + [T_0,-]</math>
을 정의할 수 있다.

'''남 방정식'''은 다음과 같다.
:<math>DT_i=\frac12\epsilon_{ijk}[T_j,T_k]</math>
여기서
* <math>\epsilon_{ijk}</math>는 [[레비치비타 기호]]이다.
* <math>[-,-]</math>는 <math>\mathfrak g</math>의 [[리 괄호]]이다.
즉, 이를 풀어 쓰면 다음과 같다.
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}T_1 + [T_0,T_1] = [T_2,T_3]</math>
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}T_2 + [T_0,T_2] = [T_3,T_1]</math>
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}T_3 + [T_0,T_3] = [T_1,T_2]</math>

이 방정식은 4차원 [[양-밀스 순간자]]의 방정식을 1차원으로 [[차원 축소]]를 가한 것이다.

=== 자기 홀극의 경계 조건 ===
<math>\mathbb R^3</math> 위의 [[보고몰니 방정식]]의 [[자기 홀극]] 해를 구성하기 위해서는 다음과 같은 [[경계 조건]]을 사용한다.
* <math>\mathfrak g = \mathfrak u(n)</math>은 <math>n\times n</math> 반(反)[[에르미트 행렬]]의 [[리 대수]]이며, 그 리 괄호는 <math>n\times n</math> 행렬의 [[교환자]]이다.
* <math>C = (0,2)</math>는 길이 2의 [[열린구간]]이다.
* <math>T</math>는 [[해석 함수]]이다.
* <math>z\to 0</math> 또는 <math>z\to 2</math>에서, <math>T_i</math>는 1차 [[극 (복소해석학)|극]]을 가지며, 그 [[유수 (복소해석학)|유수]]는 [[리 대수]] <math>\mathfrak{su}(2)</math>의 <math>n</math>차원 표현을 이룬다. 즉, [[로랑 급수]]
::<math>T_i(z) = T_i^{(-1)}z^{-1} + T_i^{(0)} + T_i^{(1)}z+\dotsb=T_i^{\prime(-1)}(z-2)^{-1} + T_i^{\prime(0)} + T_i^{\prime(1)}(z-2)+\dotsb</math>
:에서,
::<math>[T_i^{(-1)},T_j^{(-1)}]=\frac12\epsilon_{ijk}T_k^{(-1)}</math>
::<math>[T_i^{\prime(-1)},T_j^{\prime(-1)}]=\frac12\epsilon_{ijk}T_k^{\prime(-1)}</math>
:이다.

=== 칼로론의 경계 조건 ===
남 방정식을 통하여 [[칼로론]]을 구성할 수도 있다.<ref>{{서적 인용|arxiv=hep-th/0511125|제목=Multi‐calorons and their moduli | 이름=Dániel | 성=Nógrádi|기타=박사 학위 논문 |출판사= [[레이던 대학교]] | 날짜=2005 | 언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|arxiv=hep-th/0311215|제목=The geometry of calorons | 이름=Thomas M. W. | 성=Nye|기타=박사 학위 논문 |출판사= [[에든버러 대학교]] | 날짜=2001 | 언어=en}}</ref> 이 경우 다음과 같은 [[경계 조건]]을 사용한다.
* <math>C = \mathbb R / \ell \mathbb Z</math>는 둘레 <math>\ell</math>의 원이다.
* <math>C</math>에는 특별한 점 <math>z_1,z_2,\dotsc,z_p \in C</math>이 주어진다.
* <math>[z_a,z_{a+1}]</math>에서, <math>\mathfrak g = \mathfrak u(n_i)</math>이다.
* <math>T_i</math>들이 작용하는 복소수 <math>n</math>차원 에르미트 [[벡터 다발]] <math>E</math>는 따라서 각 구간마다 차원이 다르다. <math>[z_a,z_{a+1}]</math>에서의 다발을 <math>E^a</math>라고 하자. 특별한 점 <math>k_a</math>에서, <math>E^{a-1}</math>과 <math>E^a</math>의 올을 잇는 다음과 같은, 에르미트 구조를 보존하는 선형 사상이 존재한다.
** 만약 <math>n_{a-1} < n_a</math>라면, 단사 사상 <math>E^{a-1}|_{z_a} \to E^a|_{z_a}</math>
** 만약 <math>n_{a-1} > n_a</math>라면, 단사 사상 <math>E^a|_{z_a} \to E^{a-1}|_{z_a}</math>
** 만약 <math>n_{a-1} > n_a</math>라면, 전단사 사상 <math>E^{a-1}|_{z_a} \to E^a|_{z_a}</math>
* <math>T^a_i</math>는 [[해석 함수]]이며, 각 특별한 점 <math>z_a</math>에서 <math>T_i</math>는 다음과 같은 경계 조건을 따른다.
** <math>n_{a-1} < n_a</math>일 때: <math>z \approx z_a</math>에서 다음이 성립한다.
**:<math>T^a(z) = \begin{pmatrix}
T^{a-1}(z) & \mathcal O((z-z_i)^{(n_a-n_{a-1}-1)/2})\\
\mathcal O((z-z_a)^{(n_a-n_{a-1}-1)/2}) & (z-z_a)^{-1}R_i + \mathcal O(1)
\end{pmatrix}
</math>
***여기서 [[유수 (복소해석학)|유수]] <math>R^a</math>는 <math>\mathfrak{su}(2)</math>의 [[기약 표현]]을 이룬다.
** <math>n_{a-1} > n_a</math>일 때: 위와 마찬가지로 정의한다.
** <math>n_{a-1} = n_a</math>일 때: 좀 더 복잡한 경계 조건이 필요하다.

== 성질 ==
=== 게이지 대칭 ===
<math>\mathfrak g</math>의 [[리 군]]이 <math>G</math>라면, 남 방정식과 그 경계 조건은 <math>\mathcal C^\infty(C,G)</math>의 [[게이지 변환]]을 갖는다.

만약 <math>C</math>가 [[선분]]인 경우, 게이지 대칭을 사용하여, <math>T_0 = 0</math>으로 놓을 수 있다. 그렇다면, 이 게이지 변환에서 <math>\operatorname O(n)</math>만이 남는다. 즉, 게이지 변환 동치류들은 [[켤레류|켤레]] [[군의 작용|작용]]
:<math>T(z) \mapsto OT(z)O^{-1}\qquad(O\in\operatorname O(n))</math>
에 대하여 불변이다.

<math>T_0=0</math> 게이지에서, 남 방정식의 해의 공간의 차원은 <math>4n+n(n-1)/2</math>이며, 남은 게이지 변환 <math>\operatorname O(n)</math>에 대한 몫공간의 차원은 <math>4n</math>이다. 이는 ''n''개의 자기 홀극을 포함하는 해들의 집합과 동형이다.

=== 럭스 쌍 ===
남 방정식은 [[럭스 쌍]]으로 표현될 수 있다. 즉,
:<math>A_0=-\mathrm iT_1+T_2, \quad A_1=-2T_3, \quad A_2=-\mathrm iT_1-T_2</math>
:<math>A(t)=A_0+t A_1+t^2 A_2</math>
:<math>B(t)=\frac12\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac12A_1+t A_2 \equiv B_0 + tB_1</math>
로 놓자. 여기서 <math>t</math>는 어떤 형식적 변수이다. 그렇다면, 남 방정식은 다음과 같은 럭스 방정식과 동치이다.
:<math>\frac{\partial A(t)}{\partial z} = [A(t),B(t)]</math>
즉, 양변을 <math>t</math>에 대한 멱급수로 전개하고 차수별로 비교하면,
:<math>\frac{\partial}{\partial z}A_0 = [A_0,B_0] = \frac12[A_0,A_1]</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial z}A_1 = [A_1,B_0]+[A_0,B_1]=[A_0,A_2]</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial z}A_2 = [A_1,B_1] + [A_2,B_0]=[A_1,A_2]+\frac12[A_2,A_0]</math>
:<math>0 = [A_2,B_1]</math>
가 된다.

이에 따라, 방정식
:<math>\det(x-A(t,z)) = 0</math>
으로 정의되는 [[스펙트럼 곡선]]은 <math>\partial/\partial z</math>에 대하여 불변이다. 이 방정식은 <math>x</math>에 대한 <math>n</math>차 방정식이다. 여기서, <math>t</math>는 자연스럽게 [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1</math>의 좌표로 생각할 수 있으며, <math>(x,t)</math>는 그 [[접공간]] <math>\mathrm T\mathbb P^1</math> 위의 좌표를 이룬다. 이는 [[미니트위스터 공간]]과 같다. 즉, 남 방정식의 스펙트럼 곡선은 미니트위스터 공간 속의 [[대수 곡선]]이다. 3차원 자기 홀극 방정식은 [[미니트위스터 공간]]을 통해서도 작도할 수 있으며, 스펙트럼 곡선은 남 방정식을 통한 작도와 트위스터를 통한 작도 사이의 관계를 나타낸다.

=== 자기 홀극과의 관계 ===
유클리드 3차원 [[SU(2)]] [[게이지 이론]]이 다음과 같은 장들을 가진다고 하자.
* SU(2) 게이지장 <math>A</math>
* [[딸림표현]]의 실수 스칼라장 <math>\phi</math>. 이는 퍼텐셜을 갖지 않는다.
(이러한 계는 4차원 순수 양-밀스 이론에서 차원 축소를 하여 얻을 수 있다.) 이 경우, <math>\phi</math>의 퍼텐셜이 0이므로 임의의 [[진공 기댓값]] <math>\langle\phi\rangle\in\mathfrak{su}(2)</math>를 줄 수 있다 (힉스 가지). 이에 따라서 [[게이지 군]]은 그 [[카르탕 부분군]] U(1)으로 깨지고, 이에 따라 [[엇호프트-폴랴코프 자기 홀극]]들이 존재하게 된다. <math>n\in\mathbb Z</math>개의 자기 홀극을 포함하는 상태들은 남 방정식을 통해 작도할 수 있다. 이러한 상태들의 [[모듈라이 공간]]의 차원은 [[아티야-싱어 지표 정리]]를 통해 계산할 수 있고, <math>4n</math>이다.<ref>{{저널 인용|제목=Parameter counting for multi-monopole solutions|저널=Physical Review D|권=20|날짜=1979|쪽=936|이름=Erick J.|성=Weinberg|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Fundamental monopoles and multimonopole solutions for arbitrary simple gauge groups|이름=Erick J.|성=Weinberg|doi=10.1016/0550-3213(80)90245-X|저널=Nuclear Physics B|권=167|호=3|날짜=1980-05-19|쪽=500–524|언어=en}}</ref>

여기서 지수를 <math>i,j,\dots=1,2,3</math>이고, <math>a=1,\dots,n</math>이라고 하자.

남 방정식의 해 <math>T^i(z)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 [[디랙 연산자]]를 정의할 수 있다.
:<math>\Delta=\frac{d}{dz}-(T^i-x^i)\otimes\sigma_i</math>
이는 <math>(z,\mathbf x)</math>를 매개 변수로 갖는 <math>(n,1)\otimes(2\times 2)=2n\times n</math> 행렬 <math>U^a{}_i{}^j(z,\mathbf x)</math>에 작용한다. 즉,
:<math>U\colon(0,2)\times\mathbb R^3\to\mathbb R^n\otimes\operatorname{Mat}_{n\times n}(\mathbb C)</math>
이다.

<math>U</math>가 <math>\Delta</math>의 [[여핵]]에 속한다고 하자. 즉, 그 [[수반 작용소]] <math>\Delta^\dagger</math>는
:<math>\Delta^\dagger=-\frac{d}{dz}-(T^i-x^i)\sigma_i</math>
이므로,
:<math>\Delta^\dagger U=0</math>
인 <math>U</math>를 생각하자. 이러한 <math>U</math>를 찾으면, <math>\phi</math>와 <math>A</math>는 다음과 같다.
:<math>\phi(\mathbf x)=\int_0^2z(U^a)^\dagger(z;\mathbf x)U^a(z;\mathbf x)\,dz</math>
:<math>\mathrm iA_i(\mathbf x)=\int_0^2z(U^a)^\dagger(z;\mathbf x)\partial_\mu U^a(z;\mathbf x)\,dz</math>

=== 끈 이론을 통한 해석 ===
남 방정식은 [[초끈 이론]]을 통해 해석될 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 다음과 같은 [[D-막]]의 배열을 생각하자.

{| class=wikitable
! !! 0 !! 1 || 2 || 3 || 4 || …
|-
! [[D3-막]]
| × || × || × || × || ||
|-
! [[D1-막]]
| × || || || ||  × ||
|}
여기서 [[D1-막]]은 [[D3-막]]에 붙어 있다. 또한, D3-막의 수가 <math>k</math>, D1-막의 수가 <math>n</math>이라고 하고, 이 상태가 시간에 의존하지 않는다고 하자. 그렇다면, 이 상태는 다음과 같이 묘사될 수 있다.
* [[D3-막]] 위의 이론은 <math>\operatorname{SU}(k)</math> [[𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론]]이며, 모든 장이 시간 불변이라면 이는 [[보고몰니 방정식]]이다. D1-막은 그 위의 <math>n</math>개의 [[자기 홀극]]이다.
* [[D1-막]] 위의 이론은 (모든 장이 시간 불변이라면) 남 방정식이다. (이 경우, 1차원 공간에서 게이지장을 0이 되게 [[게이지 고정]]할 수 있다.)
** 남 방정식의 <math>\mathfrak{su}(2)</math> 지표는 1,2,3 방향의 O(3) 대칭에 해당한다.
** 남 방정식의 장 <math>(T_1,T_2,T_3)</math>는 D1-막의 1,2,3 방향의 위치에 해당한다. 만약 각 <math>T_i</math>가 대각 행렬이라면, 그 <math>n</math>개의 대각 성분은 <math>n</math>개의 D1-막의 위치에 해당한다. 일반적으로 좌표가 대각 행렬이 아닌 것은 D-막이 겹쳐졌을 때 발생하는 [[비가환 기하학]]에 의한 효과이다.
따라서, 남 방정식과 보고몰니 방정식 사이의 관계는 10차원 [[초끈 이론]]의 한 상태를 서로 다르게 표현한 것이다.

=== 아벨 리 대수의 경우 ===
<math>\mathfrak g</math>가 (<math>\mathfrak u(1)</math>과 같은) [[아벨 리 대수]]일 경우, 남 방정식은 선형 상미분 방정식이다. 즉,
:<math>\frac{\mathrm dT_i}{\mathrm dz} = 0</math>
이므로, 그 해는 [[상수 함수]]이다.

== 역사 ==
베르너 남({{llang|de|Werner Nahm}})이 1981년 도입하였다.<ref>{{서적 인용|장=
All self-dual multimonopoles for arbitrary gauge groups|이름=Werner|성=Nahm|doi=10.1007/978-1-4613-3509-2_21|날짜=1983|제목=Structural Elements in Particle Physics and Statistical Mechanics|쪽=301–310|총서=NATO Advanced Study Institutes Series|권=82|출판사=Plenum Press|장url=https://cds.cern.ch/record/131817/files/198111193.pdf|isbn=978-1-4613-3511-5|언어=en}}</ref> 이후 [[사이먼 도널드슨]]<ref>{{저널 인용|저자링크=사이먼 도널드슨|이름=Simon|성=Donaldson|제목=Nahm’s equations and the classification of monopoles |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=96 |issue=3 |year=1984 |pages=387–407 |doi=10.1007/BF01214583 }}</ref>과 [[나이절 히친]]<ref>{{저널 인용|저자링크=나이절 히친|first=Nigel |last=Hitchin |title=On the construction of monopoles |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=89 |issue=2 |year=1983 |pages=145–190 |doi=10.1007/BF01211826 }}</ref> 등이 이를 연구하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=The geometry and dynamics of magnetic monopoles|이름=Michael Francis|성=Atiyah|저자링크=마이클 아티야|공저자=[[나이절 히친|Nigel Hitchin]]|출판사=Princeton University Press|isbn=978-069108480-0|날짜=1988|총서=Porter Lectures|zbl=0671.53001|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=David|성=Tong|제목= TASI Lectures on Solitons|arxiv=hep-th/0509216|bibcode=2005hep.th....9216T|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/tasi.html|언어=en|날짜=2005}}
* {{저널 인용|제목=Lie groups, Nahm's equations and hyperkaehler manifolds|이름=Roger|성=Bielawski|arxiv=math/0509515|bibcode=2005math......9515B|날짜=2005|언어=en}}
* {{저널 인용|last=Biquard |first=Olivier |제목=Sur les équations de Nahm et la structure de Poisson des algèbres de Lie semi-simples complexes|저널=Mathematische Annalen|권=304|날짜=1996|호=2|쪽=253–276 |doi=10.1007/BF01446293|url=https://eudml.org/doc/165403|언어=fr}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.maths.tcd.ie/~islands/index.php?title=Main_Page|제목=Islands: A project exploring the Nahm equations, monopoles & more|이름=Sergey|성=Cherkis|이름2=Brian|성2=Durcan|이름3=David|성3=Leen|이름4=Dan|성4=McNamee|이름5=Jessica|성5=Stanley|이름6=Chris|성6=Blair|이름7=Eoin|성7=O’Byrne|이름8=Sam|성8=Palmer|이름9=Ronan|성9=Shee|언어=en|확인날짜=2013-10-23|보존url=https://web.archive.org/web/20130419100240/http://www.maths.tcd.ie/~islands/index.php?title=Main_Page#|보존날짜=2013-04-19|url-status=dead}}

[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:적분가능계]]
[[분류:물리학 방정식]]