나선 문서 원본 보기

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[[파일:Helix.svg|섬네일|나선 (cos ''t'', sin ''t, t'')]]
'''나선'''(螺旋, {{문화어|라선}})은 [[3차원]] 공간의 곡선과 같이, [[매끄러운 다양체|매끄러운]] [[곡선]]의 일종이다. 이는 물체의 겉모양이 빙빙 비틀린 형태를 지닌다. 나선의 영어 낱말 helix(헬릭스)는 "꺾인, 굽은"을 뜻하는 [[그리스어]] 낱말 ἕλιξ에서 왔다.<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3De%28%2Flic1 ἕλιξ], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus</ref>

== 수학 ==
3차원 공간 곡선으로서의 나선:
: <math>\begin{align}
x(t) &{}= \cos(t),\\
y(t) &{}= \sin(t),\\
z(t) &{}= t.
\end{align}</math>

[[원통좌표계]] (''r, θ, h''):
: <math>\begin{align}
r(t) &{}= 1,\\
\theta(t) &{}= t,\\
h(t) &{}= t.
\end{align}</math>

원 나선(반지름 ''a'', ''2πb''):
: <math>\begin{align}
x(t) &{}= a\cos(t),\\
y(t) &{}= a\sin(t),\\
z(t) &{}= bt.
\end{align}</math>

<br />

== 호의 길이, 곡률과 비틀림(Arc length, curvature and torsion) ==
반지름이 ''a'' 인 원기둥에 기울기 ''b''/''a'' (or pitch 2''πb'') 인 나선은 아래와 같이 벡터 함수로 나타낼 수 있다.

: <math>t\mapsto (a\cos t, a\sin t, bt), t\in [0,T]</math>

나선 위에 있는 점의 위치벡터는 아래와 같다.

<math>\mathbf{r}=a\cos t \mathbf{i}+a\sin t \mathbf{j}+ b t\mathbf{k}</math>

이를 미분하여 속도와 가속도를 구하면

<math>\mathbf{v}=-a\sin t \mathbf{i}+a\cos t \mathbf{j}+ b \mathbf{k}</math>

<math>\mathbf{a}=-a\cos t \mathbf{i}-a\sin t \mathbf{j}+ 0\mathbf{k}</math>

이다. 속력과 가속도 크기를 구하면 아래와 같다.

<math>|\mathbf{v}|=\sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 + b^2}=\sqrt{a^2 +b^2}</math>

<math>|\mathbf{a}|=\sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 }=a</math>

호의 길이를 구하는 변수를 구하면

<math>s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{a^2 +b^2}d\tau=\sqrt{a^2 +b^2}t</math>

이다. 이제 변수 <math> s</math> 로 위치벡터를 다시 매개변수화하자.

<math>\mathbf{r}=a\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+a\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ \frac{bs}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}</math>

변수 <math> s</math> 에 대하여 미분하여 단위 접선벡터를 구하고 이를 다시 미분하여 곡률 벡터를 구하면

<math>\frac{d \mathbf{r}}{d s}=\mathbf{T}=\frac{-a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ \frac{b}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}</math>

<math>\frac{d \mathbf{T}}{d s}=\kappa \mathbf{N}=\frac{-a}{a^2 +b^2 }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{-a}{a^2 +b^2} \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}</math>

이다. 따라서 나선의 곡률은  <math>\bigg|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\bigg|=\kappa=\frac{a}{a^2 +b^2 }</math>이다.

단위 법선벡터를 구하면

<math>\mathbf{N}=-\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}- \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}</math>

이므로 이중법선벡터는 아래와 같다.

<math>\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}=\frac{1}{\sqrt{a^2 +b^2 }}\bigg[ b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{i} - b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ a \mathbf{k}\bigg]</math>

이중법선벡터를 미분하여 비틀림(토션)을 구할 수 있다.

<math>\frac{d\mathbf{B}}{ds}=\frac{1}{a^2 +b^2}\bigg[ b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{i} + b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}\bigg]</math>

비틀림은 <math>\tau=\bigg| \frac{d\mathbf{B}}{ds} \bigg|=\frac{b}{a^2 +b^2}</math>이다.

이처럼 나선은 곡률과 비틀림이 상수인 곡선이다.



참고 공간 곡선 운동에 관하여<ref>[https://suhak.tistory.com/920]공간 곡선 운동에 관하여</ref>

== 같이 보기 ==
* [[알파 나선]]
* [[원편파]]
* [[솔레노이드]]
* [[초나선]]
* [[삼중나선]]

== 각주 ==
<references />

{{와선}}
{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:도형]]
[[분류:곡선]]
[[분류:나선| ]]