끝 (위상수학) 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서, '''끝'''({{llang|en|end}})은 대략 어떤 위상 공간의 "경계"의 "[[연결 성분]]"을 뜻한다. 구체적으로, 점점 더 큰 [[콤팩트 집합]]을 잘라냈을 때 남는 [[연결 성분]]들의 [[사영 극한]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>이 주어졌다고 하자. 그 속의 모든 [[콤팩트 집합]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Comp}(X)</math>를 생각하자.

이제, 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X</math>에 대하여, 그 [[여집합]]의 [[연결 성분]]들의 집합
:<math>\pi_0(X\setminus K)</math>
을 생각할 수 있다. 각 포함 사상 <math>K\subseteq K'\subseteq X</math>에 대하여 자연스러운 함수
:<math>\pi_0(X\setminus K')\to\pi_0(X\setminus K)</math>
:<math>C'\mapsto C\iff C'\subseteq C\qquad\forall C\in\pi_0(X\setminus K),\;C'\in\pi_0(X\setminus K')</math>
가 존재한다. 이에 따라, [[사영 극한]]
:<math>\operatorname{Ends}(X)=\varprojlim_{K\in\operatorname{Comp}(X)}\pi_0(X\setminus K)</math>
를 취할 수 있다. <math>\operatorname{Ends}(X)</math>를 <math>X</math>의 '''끝'''들의 집합이라고 한다.

=== 끝 콤팩트화 ===
[[위상 공간 (수학)|위상]] <math>X</math>가 주어졌을 때, [[분리합집합]] <math>X\sqcup\operatorname{Ends}(X)</math>에 다음과 같은 [[기저 (수학)|기저]]로 생성되는 위상을 줄 수 있다.
:<math>\operatorname{Open}(X)\cup \left\{U\sqcup\{e\}\colon U\in\operatorname{Open}(X),\;e\in\operatorname{Ends}(X),\;\exists K\in\operatorname{Comp}(K)\colon e_K\subseteq U\right\}</math>
여기서 <math>\operatorname{Open}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[열린집합]]들의 족이다.

이를 <math>X</math>의 '''끝 콤팩트화'''(끝compact化, {{llang|en|end compactification}})라고 하며, 이는 항상 [[콤팩트 공간]]이다.

== 성질 ==
다음과 같은 두 범주를 생각하자.
* <math>\operatorname{Top_{prop}}</math>은 그 대상이 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이며, 그 사상이 [[연속 함수|연속]] [[고유 함수]]인 범주이다.
* <math>\operatorname{Set}</math>은 [[집합]]과 [[함수]]의 범주이다.
그렇다면, 끝 집합은 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Ends}\colon\operatorname{Top_{prop}}\to\operatorname{Set}</math>
를 정의한다. 구체적으로, 임의의 [[연속 함수|연속]] [[고유 함수]] <math>f\colon X\to X'</math> 및 끝 <math>(C_K)_{K\in\operatorname{Comp}(X)}</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{Ends}(f)\colon
(C_K)_{K\in\operatorname{Comp}(X)}\mapsto
\left(f_{*,K'}C_{f^{-1}(K')}\right)_{K'\in\operatorname{Comp}(X')}</math>
이다. 여기서
:<math>f_{*,K'}\colon\pi_0(X\setminus f^{-1}(K'))\to\pi_0(X'\setminus K')</math>
는 <math>f</math>로 유도되는 표준적인 함수이다.

=== 위상군 ===
[[경로 연결]] [[위상군]]은 두 개 이하의 끝을 갖는다.<ref>{{저널 인용|url=https://sites.ualberta.ca/~gepe/pdf/Peschke_TheoryOfEnds.pdf|제목=The theory of ends|이름=Georg|성=Peschke|저널=Nieuw Archief voor Wiskunde|권=8|날짜=1990|쪽=1–12|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 2}}

== 예 ==
[[콤팩트 공간]]은 (정의에 따라) 끝을 갖지 않으며, 그 끝 콤팩트화는 스스로와 같다.

실수선은 두 개의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 [[확장된 실수]]의 공간이다. 2차원 이상의 [[유클리드 공간]]은 하나의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 같은 차원의 [[초구]]이다.

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[다양체]] <math>M</math> 속에 유한 개의 점 <math>x_1,x_2,\dots,x_n\in M</math>을 고르자. 그렇다면, <math>M\setminus\{x_1,\dots,x_n\}</math>은 <math>n</math>개의 끝을 갖는다. 그 끝 콤팩트화는 원래의 다양체 <math>M</math>이다.

== 역사 ==
끝의 개념은 [[한스 프로이덴탈]]이 1931년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Freudenthal | first1=Hans | author1-link=한스 프로이덴탈 | title=Über die Enden topologischer Räume und Gruppen | doi=10.1007/BF01174375 | zbl=0002.05603 | year=1931 | journal=Mathematische Zeitschrift | issn=0025-5874 | volume=33 | pages=692–713|언어=de}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=end compactification|title=End compactification}}
* {{웹 인용|url=https://chiasme.wordpress.com/2014/08/12/freudenthal-compactification/|제목=Freudenthal compactification|웹사이트=Mathematical Notes|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/57454/ends-of-topological-spaces-why-independent-of-choice-of-ascending-sequence-of-c|제목=Ends of topological spaces. Why independent of choice of ascending sequence of compact subsets?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]
[[분류:일반위상수학]]