끈 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 위상수학]]과 [[이론물리학]]에서 '''끈 군'''(-群, {{llang|en|string group}})은 [[스핀 군]]과 유사하지만, 3차 [[호모토피 군]]이 자명한 [[위상군]]이다. 이는 유한 차원 [[리 군]]으로 표현될 수 없으나, 무한 차원 [[프레셰 리 군]]으로 존재한다. 이에 대응하는 [[리 대수]]는 유한 차원의 [[L∞-대수]]로 여길 수 있다.

== 정의 ==
임의의 콤팩트 [[단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에
:<math>\mu \in \bigwedge^3 \mathfrak g^*</math>
:<math>\mu(x,y,z) = K([x,y],z)</math>
를 정의할 수 있다. 여기서 <math>K(-,-)</math>는 [[킬링 형식]]이다.

끈 2-[[리 대수]]는 [[실수 벡터 공간]]으로서 다음과 같다.
:<math>\mathfrak{string}(\mathfrak g) = \mathbb R[1] \oplus \mathfrak g</math>
[[코쥘 쌍대성]]에 따라서, 이에 대응되는 등급 가환 [[미분 등급 대수]]는 다음과 같다.
:<math>\mathbb R[y] \otimes \bigwedge\mathfrak g^*</math>
:<math>\deg y = 2</math>
:<math>\deg \mathfrak g^* = 1</math>
이 경우, 추가된 2차 리 미분은 다음과 같다.
:<math>\mathrm dy = \mu</math>

이에 대하여 대응되는 [[위상군]]을 '''끈 군'''이라고 한다. 즉, 단일 연결 콤팩트 [[단순 리 군]] <math>G</math>의 경우
:<math>\pi_0(G) = \pi_1(G) = \pi_2(G) = 0</math>
:<math>\pi_3(G) = \mathbb Z</math>
이므로, 이는 [[화이트헤드 탑]]
:<math>\dotsb \to \operatorname{String}(G) \to G \to 0</math>
의 일부를 이룬다. 특히, <math>G = \operatorname{Spin}(n)</math>의 경우, 이는 [[직교군]]
:<math>\pi_0(\operatorname O(n)) = \mathbb Z/2</math>
:<math>\pi_1(\operatorname O(n)) = \mathbb Z/2</math>
:<math>\pi_2(\operatorname O(n)) = 0</math>
:<math>\pi_3(\operatorname O(n)) = \mathbb Z</math>
의 화이트헤드 탑
:<math>\dotsb \to \operatorname{Fivebrane}(n) \to \operatorname{String}(n) \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to \operatorname O(n)</math>
의 한 성분을 이룬다.

=== 2-군으로서의 구성 ===
일반적으로, 2-군은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[군 (수학)|군]] <math>G</math>
* [[군 (수학)|군]] <math>H</math>
* [[군 준동형]] <math>\rho\colon G\to \operatorname{Aut}(H)</math>
* <math>H</math>계수의 <math>G</math>의 3차 코호몰로지류 <math>\alpha\in\operatorname H^3(G;H)</math>. 여기서 <math>H</math>는 <math>\rho</math>를 통하여 <math>G</math>-[[가군]]으로 간주한다.

이제,
:<math>H = \operatorname U(1)</math>
:<math>\rho\colon G \to \operatorname{Aut}(H)</math>
:<math>\rho\colon g \mapsto \operatorname{id}_H</math>
를 생각하자. [[천-사이먼스 형식]]으로부터, 어떤 1차원 격자
:<math>\Lambda \subseteq \operatorname H^3(\mathfrak g;\mathfrak u(1))</math>
로부터 코호몰로지 사상
:<math>\Lambda \hookrightarrow \operatorname H^3(G;\operatorname U(1))</math>
을 정의할 수 있다. 따라서, 각 정수 <math>k</math>에 따라서 이 데이터로 정의되는 2-군 <math>G_k</math>를 정의할 수 있다. 그러나 이 코호몰로지류는 연속 코호몰로지가 아니므로 이는 [[리 군]]을 정의하지 못한다.<ref name="BSCS">{{저널 인용|arxiv=math/0504123|이름=John C.|성=Baez|이름2=Danny|성2=Stevenson|이름3=Alissa S.|성3=Crans|이름4=Urs|성4=Schreiber|제목=From loop groups to 2-groups|저널 = Homology, Homotopy, and Applications
|volume = 9,
|year = 2007
|number = 2
|pages = 101-135
|issn = 1532-0073
|doi = 10.4310/HHA.2007.v9.n2.a4
|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 1}}

끈 군 <math>\operatorname{String}(G)</math>이 존재하며, 이는 짧은 완전열
:<math>0 \to K(\mathbb Z,2) \to \operatorname{String}(G) \to G \to 0</math>
을 갖는다. 여기서 [[에일렌베르크-매클레인 공간]] <math>K(\mathbb Z,2)</math>는 <math>\mathbb P^\infty_{\mathbb C}</math>로 여길 수 있다. 이 위상군은 유한 차원 [[리 군]]으로 표현될 수 없다.

=== 프레셰 리 군으로서의 구성 ===
단일 연결 단순 콤팩트 리 군 <math>G</math>에 대하여, 끈군 <math>\operatorname{String}(G)</math>는 무한 차원 [[프레셰 리 군]]으로 표현될 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=A smooth model for the string group | arxiv=1104.4288 |이름=Thomas | 성=Nikolaus | 이름2=Christoph | 성2=Sachse | 이름3= Christoph | 성3=Wockel | doi=10.1093/imrn/rns154 | 언어=en}}</ref>

구체적으로, 임의의 무한 차원 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[힐베르트 공간]] <math>H</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[사영 유니터리 군]] <math>\operatorname{PU}(H)</math>에 노름 위상을 주면, 이는 <math>\operatorname K(\mathbb Z,2)</math>를 이룬다. 이제, 호모토피 군
:<math>\mathbb Z \cong \operatorname H^3(G)</math>
의 생성원
:<math>\alpha \in \operatorname H^3(G)</math>
을 고르면, 이를 표현하는 [[주다발]]
:<math>\operatorname{PU}(H) \to P \to G</math>
를 고를 수 있다. 또한, 망각 사상
:<math>\phi\colon \operatorname{Aut}(P) \to \operatorname{Diff}(G)</math>
이 존재한다. 물론, 군은 스스로 위의 왼쪽 곱셈 함수
:<math>\mathsf L \colon G \to \operatorname{Diff}(G)</math>
:<math>\mathsf L_g \colon h \mapsto gh</math>
를 갖는다. 즉
:<math>\operatorname{Aut}(P) \to \operatorname{Diff}(G) \leftarrow G</math>
이다. 그렇다면, '''끈 군'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{String}(G) = \{f \in \operatorname{Aut}(P)\colon\exists g\in G\colon \phi(f) = \mathsf L_g \}</math>

=== 프레셰 교차 가군으로서의 구성 ===
끈군은 [[프레셰 리 군]]으로 구성된 [[교차 가군]]으로 구성될 수도 있다.<ref name="BSCS"/> 이 [[교차 가군]] <math>(G',H,\rho,d)</math>은 구체적으로 다음과 같다.
* <math>G' = \mathrm PG</math> ([[매끄러운 함수]] <math>[0,2\pi]\to G</math>의 점별 곱셈군인 [[프레셰 리 군]])
* <math>H = \hat\Omega_k G</math> (<math>k</math>차 [[아핀 리 대수]]에 대응되는 [[프레셰 리 군]])
* <math>\rho \colon G' \to \operatorname{Aut}(H)</math>는 경로군의, [[고리군]]에 대한 자연스러운 켤레 작용을 아핀 리 대수로 올린 것이다.
* <math>d\colon H \to G'</math>는 아핀 리 군에서 [[고리군]]으로 가는 사영 사상 <math>\hat\Omega_kG \twoheadrightarrow \Omega G</math>과, 고리군에서 경로군으로 가는 포함 사상 <math>\Omega G \hookrightarrow PG</math>을 합성한 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[제르브]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=String group}}
* {{nlab|title=String Lie 2-algebra}}
* {{nlab|id=string 2-group|title=String 2-group}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/esi/esi.pdf | 제목=Higher gauge theory and the string group | 이름=John C.|성=Baez | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상군]]
[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:끈 이론]]