끈의 진동 문서 원본 보기

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[[파일:Harmonic partials on strings.svg|섬네일|250px|진동, 끈의 [[정상파]], [[배음렬]]중 기본적인 6가지의 [[배음]]]]
'''끈의 진동'''은 [[파동]]의 한 형태이다. 일정하게 진동하는 끈은 [[소리]]를 만든다. 특정 [[음]]의 진동으로부터 소리는 일정한 음을 만든다. 진동하는 끈은 [[기타]], [[피아노]], [[가야금]]등과 같은 [[현악기]]가 소리를 내는 근본적인 원리이다.

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== 파동 ==

끈에 의한 파동의 전파 속력(<math>v</math>)는 아래 식과 같이 나타내어 지며, 전파속도는 끈의 장력(<math>T</math>)의 제곱근에 비례하고 끈의 선형밀도(<math>\mu</math>)의 제곱근에 반비례한다.

<math>v = \sqrt{T \over \mu}.</math>

=== 유도 ===

[[파일:StringParameters.png|오른쪽|Illustration for a vibrating string]]
끈의 한지점 x으로부터 작은 <math>\Delta x</math>의 간격을 잡고, <math>m</math>을 [[질량]], <math>\mu</math>를 [[선형밀도]]라고 하자. 끈의 수평축 [[장력]]이 <math>T</math>(상수)로서 일정하다고 가정하면, 각 양끝 <math>x</math>와 <math>x</math>+<math>\Delta x</math> 가해지는 장력은 아래와 같이 <math>T</math>로서 근사할 수 있다.

:<math>T_{1x}=T_1 \cos(\alpha) \approx T.</math>
:<math>T_{2x}=T_2 \cos(\beta)\approx T.</math>

각 양 끝의 끈이 수평축과 이루는 각 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>가 매우 작다고 생각 하면 수평축의 알짜힘은 0이되어 상쇄된다. 따라서 수직방향의 힘은 전체 알짜힘의 크기와 같음으로 아래와 같이 y에 대한 편미분으로서 표현 할 수 있다.

:<math>\Sigma F_y=T_{2y}-T_{1y}=T_2 \sin(\beta)-T_1 \sin(\alpha)=\Delta m a\approx\mu\Delta x \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.</math>

양변을 장력<math>T</math>으로 나누어 주고 처음에 구했던 <math>T</math>관한 식을 이용하여 대입하여 주면 아래와 같다.

:<math>\frac{\mu\Delta x}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{T_2 \sin(\beta)}{T_2 \cos(\beta)}-\frac{T_1 \sin(\alpha)}{T_1 \cos(\alpha)}=\tan(\beta)-\tan(\alpha)</math>

각 양끝의 <math>a</math>와 <math>b</math>에 대한 [[탄젠트]]값이 양끝값의 기울기와 같다는 것을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:<math>\frac{1}{\Delta x}\left(\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|^{x+\Delta x}-\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|^x\right)=\frac{\mu}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}</math>

여기서 처음에 <math>\Delta x</math>가 매우 작다고 가정하였음으로 0에 대하여 극한을 취하면 [[미분]]의 정의에 의해 <math>y</math>의 미분값의 미분 즉 <math>y</math>
에 대한 [[이계미분]]이 된다.

:<math>\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{\mu}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.</math>

이 식은<math>y(x,t)</math>에 대한 [[파동방정식]]과 일치한다. 파동방정식에서 시간에 대한 이계미분의 항은 <math>v^{-2}</math>와 같다 따라서,

:<math>v=\sqrt{T\over\mu},</math>

<math>v</math>는 끈에 의한 파동의 전파 [[속력]]이다. 하지만, 이 유도는 오직 작은 진폭으로 진동할 때만 유효하다. 큰진폭의 경우에는, <math>\Delta x</math> 은 좋은 근사식이 될 수 없다. 수평축의 장력은 상수<math>T</math>로서 일정할 필요가 없다.

== 같이 보기 ==
* [[현악기]]
* [[음향학]]
* [[원형 드럼의 진동]]

== 참고 문헌 ==
* [http://www.falstad.com/loadedstring/ Java simulation of waves on a string]
* [http://www.johnsankey.ca/string.html Physics of a harpsichord string]
* [http://www.drchaos.net/drchaos/string_web_page/index.html A study of chaotic motion in strings]
* [http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/string.htm#fullGuitar A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20110722091614/http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/string.htm#fullGuitar}}
* "[http://demonstrations.wolfram.com/TheVibratingString/ The Vibrating String]" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, [[The Wolfram Demonstrations Project]].

== 외부 링크 ==
* [http://www.falstad.com/loadedstring/ Java simulation of waves on a string]
* [http://www.johnsankey.ca/string.html Physics of a harpsichord string]
* [http://www.drchaos.net/drchaos/string_web_page/index.html A study of chaotic motion in strings]
* [http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/string.htm#fullGuitar A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20110722091614/http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/string.htm#fullGuitar}}
* "[http://demonstrations.wolfram.com/TheVibratingString/ The Vibrating String]" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project

[[분류:진동]]
[[분류:소리]]
[[분류:물리학 입문]]
[[분류:현악기의 구조]]
[[분류:역학적 진동]]
[[분류:현울림악기]]