꼭짓점 연산자 대수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''꼭짓점 연산자 대수'''(-點演算子代數, {{llang|en|vertex operator algebra}})는 [[등각 장론]]의 특정 국소적 연산자와 유사한 구조를 지니는 수학적 구조이다. 대략, 벡터를 [[행렬]]의 [[로랑 급수]]에 대응시키는 연산을 지닌 [[벡터 공간]]이다. [[리 대수]]에서, 구조 상수를 [[로랑 급수]]로 일반화한 것으로도 생각할 수 있다.

== 정의 ==
'''꼭짓점 연산자 대수'''({{lang|en|vertex operator algebra}}) <math>(V,Y,1,\omega)</math>는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.
* <math>V=\bigoplus_{n=k}^\infty V_n</math>는 [[정수]] 차수 붙은({{lang|en|graded}}) [[복소수|복소]] [[벡터 공간]]이다. 각 차수 부분공간 <math>V_n<\infty</math>은 유한 차원이다. <math>k</math>는 임의의 정수다.
* <math>Y\colon V\otimes V\to V((z))</math>는 <math>V\otimes V</math>에서 형식적 [[로랑 급수]] <math>V((z))</math>로 가는 선형 사상이다. 이는 <math>Y\colon V\to(\operatorname{End} V)((z))</math>로도 생각할 수 있다. 즉, 일종의 곱셈 연산이다. 이를 '''상태-연산자 사상'''({{lang|en|state–operator map}})이라고 한다. 편의상 <math>a\in V</math>이면 <math>Y(a)(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}a_nz^{-n-1}</math>으로 표기한다. 여기서 <math>a_n\in\operatorname{End}V</math>이다. 간혹 <math>a\in V</math>에 대하여, <math>Y</math>를 생략하고 <math>a(z)=Y(a)(z)\in\operatorname{End}((z))</math>로 쓰기도 한다.
* <math>1\in V_0</math>는 벡터 공간의 한 원소다. 이를 '''[[진공]] 상태'''라고 한다.
* <math>\omega\in V_2</math>는 '''등각 상태'''({{lang|en|conformal state}})이다. 통상적으로 <math>L_n=\omega_{n+1}</math>으로 표기한다.

이는 다음과 같은 공리를 만족하여야 한다.
* (차수의 성질) <math>a\in V_i</math>, <math>b\in V_j</math>이면 <math>a_nb\in V_{i+j-n-1}</math>이다. 또한, <math>a\in V_n</math>이면 <math>L_0a=na</math>이다.
* (진공의 성질) <math>1(z)</math>는 [[단위 행렬|단위 연산자]]이다. 또한, 모든 <math>a\in V</math>에 대하여 <math>a_{-1}1=a</math>이다.
* 모든 <math>a,b\in V</math>에 대하여, <math>n</math>이 충분히 크다면 <math>a_nb=0</math>이다.
* (병진 연산자의 표현) 임의의 <math>a\in V</math>에 대하여, <math>(L_{-1}a)(z)=(d/dz)a(z)</math>이다.
* ([[비라소로 대수]]) <math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\delta_{m+n,0}(m^3-m)c/12</math>. 여기서 <math>c\in\mathbb C</math>는 비라소로 대수의 '''중심 전하'''({{lang|en|central charge}})라고 한다.
* ([[야코비 항등식]]) <math>z^{-1}\delta((x-y)/z)a(x)b(y)-z^{-1}\delta((x-y)/z)b(y)a(x)=y^{-1}\delta((x-z)/y)(a(z)b)(y)</math>. 여기서 <math>\delta(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}z^n</math>은 [[디랙 델타 함수]]다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목= Introduction to vertex operator algebras I|이름=Chongying|성=Dong|arxiv=q-alg/9504017|날짜=1995}}
* {{저널 인용| 제목=Introduction to vertex algebras|이름=Christophe|성=Nozaradan|arxiv=0809.1380|날짜=2008}}
* {{저널 인용|제목=Vertex algebras, Kac–Moody algebras, and the monster|이름=Richard E.|성=Borcherds|쪽=3068–3071|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=83|호=10|날짜=1986-05-15|doi=10.1073/pnas.83.10.3068}}
* {{저널 인용|제목= Introduction to vertex algebras, Borcherds algebras, and the monster Lie algebra I|이름=Chongying|성=Gebert|arxiv=hep-th/9308151|bibcode=1993IJMPA...8.5441G|doi=10.1142/S0217751X93002162|journal=International Journal of Modern Physics A|volume=8|issue=31|날짜=1993-12-20}}
* {{저널 인용|제목=Notes on 2D conformal field theory and string theory|이름=Dennis|성=Gaitsgory|arxiv=math/9811061|bibcode=1998math.....11061G|날짜=1998}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Vertex operator algebra}}
* {{저널 인용|제목=A Vertex Operator Algebra|이름=Christopher|성=Sadowski|url=http://dimax.rutgers.edu/~sadowski/example.pdf|날짜=2007-06-26|확인날짜=2012-11-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160305001555/http://dimax.rutgers.edu/~sadowski/example.pdf#|보존날짜=2016-03-05|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:등각 장론]]
[[분류:대수]]