꼬마 끈 이론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[끈 이론]]에서 '''꼬마 끈 이론'''(꼬마 끈理論, {{llang|en|little string theory}}, 약자 LST)은 [[NS5-막]]의 적절한 극한에서의 낮은 에너지 [[유효 이론]]이다.<ref name="Kutasov">{{서적 인용
| 장 = Introduction to little string theory
| 이름 = David
| 성 = Kutasov
| date = 2001
| 제목 = Spring school on superstrings and related matters
| url = http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns007/Kutasov/Kutasov.pdf
| 언어 = en
| access-date = 2017-10-21
| archive-date = 2018-05-17
| archive-url = https://web.archive.org/web/20180517002212/http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns007/Kutasov/Kutasov.pdf
| url-status = 
}}</ref><ref>{{저널 인용
| last = Aharony
| first  = Ofer
| title = A brief review of “little string theories”
| year = 2000
| journal= Classical and Quantum Gravity
| volume = 17
| issue = 5
| doi = 10.1088/0264-9381/17/5/302
|arxiv = hep-th/9911147 |bibcode = 2000CQGra..17..929A | 언어=en}}</ref> 이 이론에서는 끈이 존재하지만, 이 이론은 [[중력]]을 포함하지 않는다.

== 정의 ==
[[II종 초끈 이론]]에서, <math>N</math>개의 평탄한 [[NS5-막]]이 같은 위치에 존재한다고 하자. 이는
:<math>\operatorname{SO}(1,5)\times\operatorname{SO}(4)</math>
[[로런츠 대칭]]을 가지며, 16개의 초전하를 보존한다. 만약 IIA종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 6차원 <math>\mathcal N=(2,0)</math> 초대칭을 가지며, IIB종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 <math>\mathcal N=(1,1)</math> 초대칭을 갖는다.

이제, NS5-막의 6차원 동역학을 10차원 초끈 이론으로부터 분리하기 위하여, 다음과 같은 극한을 취하자.
:<math>g_{\text{s}} \to 0</math>
:<math>E / m_{\text{s}} = O(1)</math>
즉, 끈 [[결합 상수]]를 0으로 보내고, 에너지 눈금 <math>E</math>를 끈의 장력에 고정시킨다.

이 극한에서 얻는 이론을 <math>\mathcal N=(2,0)</math> 또는 <math>\mathcal N=(1,1)</math> '''꼬마 끈 이론'''이라고 한다.

== 성질 ==
꼬마 끈 이론은 다음과 같은 성질을 갖는다.
* 국소적이지 않으며, 끈을 갖는다.
* [[T-이중성]]이 존재한다.
* 6차원 이하의 시공간 차원에 존재하며, 16개 이하의 초전하 (4차원 <math>\mathcal N=4</math>)를 갖는다.
* [[끈 이론]]과 마찬가지로, 높은 에너지에서 [[하게도른 온도]]를 갖는다.
* [[끈 이론]]과 달리, 중력을 포함하지 않는다.
* 끈 이론과 달리, [[질량껍질]] 밖의 그린 함수가 존재한다.

=== 비자유성 ===
<math>N>1</math> 꼬마 끈 이론은 자유 이론이 아니다. (반면 <math>N=1</math>일 경우 이는 자유 이론이다.)

예를 들어, IIB 초끈 이론의 <math>N</math>개의 [[NS5-막]]을 생각하자. [[S-이중성]]을 가하면, 이는 <math>N</math>개의 [[D5-막]]이 된다. 그 낮은 에너지 이론은 6차원 <math>\mathcal N=(1,1)</math> <math>\operatorname U(N)</math> [[게이지 이론]]이며, 그 게이지 결합 상수 <math>g_{\text{D5}}</math>는 다음과 같다.
:<math>g^{-2}_{\text{D5}} = \frac{m_{\text{s}}^2}{g_{\text{s}}}</math>
다시 [[S-이중성]]을 가하면,
:<math>g_{\text{D5}} \mapsto g_{\text{NS5}}</math>
:<math>g_{\text{s}} \mapsto 1/g_{\text{s}}</math>
:<math>m_{\text{s}} \mapsto m_{\text{s}}/g_{\text{s}}</math>
이므로,
:<math>g^{-2}_{\text{NS5}} = m_{\text{s}}^2</math>
이다. 따라서, <math>E\sim m_{\text{s}}</math>인 에너지 눈금에서 이 이론은 상호 작용을 갖게 된다. (엄밀히 말하면, 이 이론은 [[재규격화]]될 수 없으므로, <math>E\ll m_{\text{s}}</math>에서는 <math>g_{\text{NS5}}\to 0</math>이지만 <math>E\simeq m_{\text{s}}</math>에서는 게이지 이론 묘사가 더 이상 성립하지 못하지만, 이 경우 어쨌든 이론은 자유 이론일 수 없다.)

=== T-이중성 ===
{{본문|T-이중성}}
원 위에 [[축소화]]된 IIA종 초끈 이론과 원 위에 [[축소화]]된 IIB종 초끈 이론은 [[T-이중성]]에 따라 서로 동치이다. [[T-이중성]] 아래 IIA [[NS5-막]]은 IIB [[NS5-막]]에 대응된다. 즉, 하나의 차원을 [[축소화]]했을 때, [[T-이중성]]에 의하여 <math>\mathcal N=(2,0)</math> 꼬마 끈 이론은 <math>\mathcal N=(1,1)</math> 꼬마 끈 이론과 서로 [[동치]]이다.

=== 상태 밀도 ===
높은 에너지 <math>E</math>에서, 꼬마 끈 이론의 상태 밀도는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\rho(E) \sim E^\alpha \exp(\beta_{\text{H}} E)\left(1+O(1/E)\right)</math>
:<math>S(E) = \ln\rho(E) = \beta_{\text{H}}E +\alpha \ln (E/\Lambda) +  O(1/E)</math>
여기서 <math>\beta_{\text{H}}</math>는 [[하게도른 온도]]이다.

=== AdS/CFT 대응성 ===
{{본문|AdS/CFT 대응성}}
꼬마 끈 이론에 홀로그래피적으로 대응되는 10차원 중력 이론은 다음과 같다.

II종 10차원 [[초중력]]에서, <math>N</math>개의 [[NS5-막]]에 해당하는 해는 (끈 틀 {{llang|en|string frame}}에서) 다음과 같다.
:<math>\mathrm ds^2 = \mathrm dx_\mu\,\mathrm dx^\mu + \left(1+\frac{N\alpha'}{r^2}\right)\,\mathrm dx^i\,\mathrm dx_i</math>
:<math> \exp(2\Phi) = g_{\text{s}}^2\left(1+\frac{N\alpha'}{r^2}\right)</math>
:<math>H_{ijk} = -\epsilon_{ijkl}\partial^l\Phi</math>
여기서
* <math>\mu,\nu,\dotsc\in\{0,1,\dotsc,5\}</math>는 6차원 로런츠 좌표이며, <math>i,j,\dotsc\in\{6,7,8,9\}</math>는 NS5-막과 수직인 방향의 좌표이다.
* <math>\textstyle r^2 = \sum_{i=6}^9 (x^i)^2</math>이다.
* <math>\mathrm ds^2</math>는 [[계량 텐서]]이다.
* <math>\Phi</math>는 [[딜라톤]]이다.
* <math>H</math>는 [[캘브-라몽 장]] <math>B</math>의 장세기인 [[3차 미분 형식]]이다.
* <math>\alpha'</math>는 [[끈 이론]] 레제 기울기이며, <math>g_{\text{s}}</math>는 끈 [[결합 상수]]이다.

이제, 꼬마 끈 이론을 얻으려면 <math>r/g_{\text{s}} = \exp \sigma</math>를 고정시키고 <math>r\to0</math>을 취하면 된다. 그렇다면,
:<math>\mathrm ds^2 = \mathrm dx_\mu\,\mathrm dx^\mu + N\alpha'\left(\mathrm d\sigma^2+\mathrm d\Omega_3^2\right)</math>
:<math>\Phi = -\sigma</math>
이다. 이 배경은
:<math>\mathbb R^{1,5} \times \mathbb R \times \mathbb S^3</math>
에 해당한다. 여기서 둘째 성분 <Math>\mathbb R</math>는 <math>\sigma</math>를 좌표로 하는 실수선이며 셋째 <math>\mathbb S^3</math>는 그 반지름이 <math>\sqrt{N\alpha'}</math>인 3차원 [[초구]]이다.

여기서, 3차원 초구 성분은 레벨 <math>N</math>의 [[베스-추미노-위튼 모형]]에 해당한다.

이 밖에도, 이 이론은 10개의 자유 페르미온 <math>\psi^\mu</math>과 <math>\mathbb R\times\mathbb S^3</math>에 대응되는 4개의 페르미온을 갖는다.

즉, 이 배경의 II종 끈 이론의 끈 세계면 위의 [[2차원 등각 장론]]의 장들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 장 || <math>\operatorname{SO}(1,5)</math> 로런츠 표현 ||<math>\operatorname{SU}(2)</math> 표현 (스핀) || 총 중심 전하 <math>c</math>
|-
| <math>\mathbb R^{1,5}</math>의 자유 보손 <math>\phi^\mu</math> || 벡터 || 0 || 1×6
|-
| <math>\mathbb R^{1,5}</math> 자유 페르미온 <math>\psi^\mu</math> || 스피너 || 0 || ½×6
|-
| [[딜라톤]] <math>\sigma</math> || 스칼라 || 0 || <math>1+6/N</math>
|-
| 딜라티노 <math>\psi_\sigma</math> || 스피너 || 0 || ½
|-
| SU(2) [[베스-추미노-위튼 모형]] 스칼라장 || 0 || 1 || <math>(N-2)/N</math>×3
|-
| [[베스-추미노-위튼 모형]] 페르미온 || 0 || 1 || <math>(1/2+2/N)</math>×3
|}
이에 따라, [[비라소로 대수]]의 총 중심 전하는 다음과 같다.
:<math>c = (1+1/2)\times 6 + (1 + 1/2) + \left(\frac{N-2}N + \frac12+\frac2N\right)\times 3 = 15</math>
이는 예상대로 임계 차원 (<math>D=10</math>) 초끈 이론의 중심 전하와 같다.

즉, IIA/B종 꼬마 끈 이론은 이와 같은 굽은 배경에서의 10차원 II(A/B)종 끈 이론과 홀로그래피적으로 쌍대이다. [[AdS/CFT 대응성]]에서, 경계 이론(꼬마 끈 이론)의 [[질량껍질]] 밖 관측 가능량은 중력 이론(굽은 배경의 II종 끈 이론)의 [[질량껍질]] 위 관측 가능량에 대응한다. 즉, 꼬마 끈 이론의 질량껍질 밖 관측 가능량이 존재함을 알 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=little string theory|title=Little string theory}}
* {{nlab|id=little string|title=Little string}}

[[분류:끈 이론]]