꺾인 현 정리 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서, '''꺾인 현 정리'''({{llang|en|broken chord theorem}})는 주어진 [[원 (기하학)|원]]의 연이어진 두 [[현 (기하학)|현]]으로 이루어진 경로의 중점을 찾는 정리이다.

== 정의 ==
주어진 [[원 (기하학)|원]]의 [[호 (기하학)|호]] <math>ACB</math>의 중점을 <math>M</math>라고 하고, <math>M\ne C</math>라고 하자. 또한 <math>M</math>을 지나는 현 <math>AC</math>와 <math>BC</math> 가운데 더 긴 하나의 [[수직|수선]]의 발을 <math>D</math>라고 하자. '''꺾인 현 정리'''에 따르면, <math>D</math>는 두 현 <math>AC</math>와 <math>BC</math>로 이루어진 경로의 중점이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|url=https://archive.org/details/episodesinninete0000hons
|언어=en
|총서=New Mathematical Library. Vol. 37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|1, §1.1, (a)}}

== 증명 ==
=== 아르키메데스의 증명 ===
[[아르키메데스]]의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 <math>AC>AB</math>라고 하자. <math>M</math>의 정의에 의하여 <math>MA=MB</math>이다. 선분 <math>AC</math>의 <math>A</math>에서 <math>C</math> 방향의 연장선이 <math>M</math>을 중심으로 하고 선분 <math>MA</math>와 <math>MB</math>를 반지름으로 하는 원과 점 <math>E</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면, 원래 원과 새로운 원이 공통으로 갖는 호 <math>AB</math>에 의하여
:<math>\angle ACB=\angle M=2\angle E</math>
이며, 따라서 <math>\angle CBE=\angle CEB</math>이다. 즉, 삼각형 <math>BCE</math>에서 <math>BC=CE</math>가 성립한다. 직선 <math>MD</math>는 원의 중심 <math>M</math>을 지나는 현 <math>AE</math>의 수선이므로, 점 <math>D</math>는 현 <math>AE</math>의 중점이다. 즉,
:<math>AD=DE=CD+CE=CD+BC</math>
이다.

=== 패트루노의 증명 ===
그레그 패트루노({{llang|en|Gregg Patruno}})의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 <math>AC>AB</math>라고 하자. <math>M</math>의 정의에 의하여 <math>MA=MB</math>이다. 선분 <math>MC</math>는 <math>M</math>을 중심으로 하고 선분 <math>MA</math>와 <math>MB</math>를 반지름으로 하는 원의 현이므로, <math>\angle MAC=\angle MBC</math>이다. 선분 <math>AC</math> 위에서 <math>AC'=BC</math>인 점 <math>C'</math>을 잡자. 그렇다면 삼각형 <math>MAC'</math>과 <math>MBC</math>는 서로 [[합동 (기하학)|합동]]이며, 특히 <math>MC'=MC</math>이다. 또한 직선 <math>MD</math>는 직선 <math>CC'</math>의 수선이므로, <math>C'D=CD</math>이다. 따라서
:<math>AD=AC'+C'D=BC+CD</math>
이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=ArchimedesMidpointTheorem|title=Archimedes' midpoint theorem}}

[[분류:원 (기하학)]]
[[분류:삼각 기하학]]
[[분류:평면기하학 정리]]