기 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Flag vector.svg|thumb|right|3차원 공간 속의 완비기]]
[[대수기하학]]에서, '''기'''(旗, {{llang|en|flag|플래그}})는 [[벡터 공간]] 속의 부분 벡터 공간들로 구성된 [[여과 (수학)|여과]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>V</math> 속의 '''기'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
:<math>\{0\}=V_0\subsetneq V_1\subsetneq V_2\subsetneq\cdots\subsetneq V_k=V</math>
여기서 각 <math>V_i</math>는 <math>V</math>의 부분 <math>K</math>-벡터 공간이다. 즉, <math>V</math>의 부분 벡터 공간들에 대한 특별한 [[여과 (수학)|여과]]이다.

만약 <math>V=K^n</math>가 유한 차원 벡터 공간일 때, 길이가 <math>n</math>인 기를 '''완비기'''(完備旗, {{llang|en|complete flag}})라고 한다.

<math>V=K^n</math> 속의, 차원들이 <math>(d_0=0d_1,d_2,\dots,d_k=n)</math>인 기들의 [[모듈라이 공간]]
:<math>\operatorname{Flag}(d_1,\dotsc,d_{k-1},d_k;K)</math>
을 '''기 대수다양체'''(旗代數多樣體, {{llang|en|flag variety}})라고 한다. 이는 <math>K</math>-[[사영 대수다양체]]를 이룬다.

== 성질 ==
<math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>의 <math>k</math>개 성분의 기 <math>(V_i)_{0\le i\le k}</math>들의 공간 <math>\operatorname{Flag}(k;V)</math> 위에는 [[일반 선형군]] <math>\operatorname{GL}(V)</math>가 다음과 같이 작용한다.
:<math>g\cdot(V_i)_{0\le i\le k}=(gV_i)_{0\le i\le k}</math>
이 작용에 대한 [[안정자군]]을 기 <math>(V_i)_{0\le i\le k}</math>의 '''안정자군'''이라고 한다.

유한 차원 벡터 공간 <math>V=K^n</math> 속의 기의 안정자군은 [[일반 선형군]] <math>\operatorname{GL}(V)</math>의 [[포물형 부분군]]이며, 완비기의 안정자군은 <math>\operatorname{GL}(V)</math>의 [[보렐 부분군]]이다.

== 예 ==
유한 차원 <math>K</math>-벡터 공간 <math>V=K^n</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>(v_1,\dotsc,v_n)</math>를 잡고, '''표준기'''(標準旗, {{llang|en|standard flag}})
:<math>V_i=\operatorname{Span}_K\{v_1,\dotsc,v_i\}</math>
를 생각하자. 그렇다면, 그 안정자군은 다음과 같이 [[가역 행렬|가역]] [[상삼각 행렬]]들로 구성된다.
:<math>M=\begin{pmatrix}
m_{11}&m_{12}&\dotsm&m_{n,n-1}&m_{n,n}\\
0&m_{22}&\dotsm&m_{2,n-1}&m_{2,n}\\
\vdots&&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&&&m_{n-1,n-1}&m_{n-1,n}\\
0&0&\dotsm&0&m_{nn}
\end{pmatrix}\qquad(m_{ii}\ne0\forall i=1,\dotsc,n)
</math>

== 역사 ==
[[파일:Flag of South Korea.JPG|thumb|right|<math>\mathbb R^3</math> 속의 완비기는 깃발이 달린 깃대로 형상화된다. 이 경우, 깃봉(그림의 황색 장식) · 깃대 · 깃발은 기의 성분에 해당한다.]]
“기”({{llang|fr|[[:wiktionary:ko:drapeau|drapeau]]|드라포}})라는 용어는 이미 1955년에 [[아르망 보렐]]이 사용하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Armand|성=Borel|저널=Séminaire Bourbaki|권=121|호=121|쪽=229–238|제목=Groupes algébriques|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1954-1956__3__229_0|mr=1611387 |zbl=0116.26201 |날짜=1955-12|언어=fr}}</ref>{{rp|234, §5.1}}
“기”라는 단어의 어원은 다음과 같다. <math>V=\mathbb R^3</math> 속의 완비기는 원점(0차원 공간) · 직선(1차원 공간) · 평면(2차원 공간) · 3차원 공간으로 구성된다.

3차원 공간 속에, 깃대에 달려 있는, 빳빳한 깃발을 생각하자. 그렇다면, 이로부터 다음과 같은 기를 정의할 수 있다.
* 원점은 깃봉(깃대의 끝의 장식)이다.
* 직선은 깃대를 연장하여 얻는 직선이다.
* 평면은 깃발을 연장하여 얻는 평면이다.
* 3차원 공간은 공간 전체이다.
이에 따라, <math>\mathbb R^3</math> 속의 완비기는 깃발이 달린 깃대로 형상화될 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[여과 (수학)]]
* [[그라스만 다양체]]
* [[매트로이드]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Flag}}
* {{eom|title=Flag structure}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/58339/origin-of-terms-flag-flag-manifold-flag-variety|제목=Origin of terms “flag”, “flag manifold”, “flag variety”?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:대수군]]
[[분류:선형대수학]]