기본 표현 문서 원본 보기

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[[리 군]]의 [[군 표현론|표현론]]에서 '''기본 표현'''(基本表現, {{lang|en|fundamental representation}})은 그 [[우세 무게]]가 다른 모든 [[우세 무게]]들의 집합의 기저를 이루는 표현이다. 주어진 군의 임의의 표현은 기본 표현들의 조합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

== 성질 ==
모든 표현은 일련의 [[무게 (표현론)|무게]]들로 나타낼 수 있다. 계수({{lang|en|rank}}, [[카르탕 부분 대수]]의 차원)가 <math>k</math>인 [[반단순 리 대수]]의 표현은 <math>k</math>개의 무게를 가진다. 즉, 무게들은 <math>k</math>차원 [[실수 벡터 공간]]의 원소다. 여기에 임의로 정분면({{lang|en|orthant}})을 골라, 순서를 매길 수 있다. 그 가운데, 선택한 [[양근 (수학)|양근]]에 의하여 결정되는 단순 쌍대근의 쌍대 기저를 '''기본 무게'''(基本-, {{lang|en|fundamental weight}})고 한다. 기본 무게를 [[우세 무게]]로 가지는 표현을 '''기본 표현'''이라고 한다. 이에 따라 임의의 표현은 기본 표현들의 텐서곱의 최고 무게 성분으로 나타낼 수 있다. 기본 표현은 무게 공간의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이루므로, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다.

== 단순 리 군의 기본 표현 ==
* A<sub>n</sub> = [[특수 유니터리 군|SU(n+1)]] (또는 그 복소화인 <math>SL(n+1,\mathbb C)</math>)의 경우, 기본 표현은 <math>k</math>차 완전 반대칭 텐서 <math>\bigwedge^k\mathbb C^{n+1}</math> (<math>k=1,\dots,n</math>)이다. 이 경우, 기본 무게는 <math>(1,0,0,\dots,0)</math>, <math>(1,1,0,\dots,0)</math> …, <math>(1,1,1,\dots,1)</math>의 꼴이다.
* B<sub>n</sub> = [[스핀 군|Spin(2n+1)]]의 경우, 기본 표현은 <math>2^n</math>차원 디랙 [[스피너]]와 <math>\bigwedge^k\mathbb C^{2n+1}</math> (<math>k=1,\dots,n-1</math>)이다. 이 경우, 기본 무게는 <math>(1/2,1/2,\dots,1/2)</math> (스피너)와 <math>(1,0,\dots,0,0)</math>, …, <math>(1,1,\dots,1,0)</math>이다. (물론 <math>(1,1,\dots,1)=2(1/2,1/2,\dots,1/2)</math>이므로 기본 표현이 아니다.)
* C<sub>n</sub> = [[심플렉틱 군|USp(2n)]]의 경우, 기본 표현은 <math>\bigwedge^k\mathbb C^{2n}</math> (<math>k=1,\dots,n</math>)의 최고 무게 [[기약 표현|기약 성분]]이다. 이는 <math>\binom{2n}k-\binom{2n}{k-2}</math> (<math>k\ge2</math>)차원이다. 물론 <math>k=1</math>인 경우는 그냥 <math>2n</math>차원이다.
* D<sub>n</sub> = [[스핀 군|Spin(2n)]]의 경우, 기본 표현은 <math>2^{n-1}</math>차원 바일 [[스피너]] 두 개와 <math>\bigwedge^k\mathbb C^{2n}</math> (<math>k=1,\dots,n-2</math>)이다. 이 경우, 기본 무게는 <math>(1/2,1/2,\dots,1/2,\pm1/2)</math>와 <math>(1,0,\dots,0,0.0)</math>, …, <math>(1,1,\dots,1,0,0)</math>이다.
* [[F₄|F<sub>4</sub>]]의 경우, 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이다. 여기서 52차원 표현은 [[딸림표현]]이다.
* [[G₂|G<sub>2</sub>]]의 경우, 기본 표현은 7차원 표현과 14차원 표현이다. 여기서 14차원 표현은 [[딸림표현]]이다.
* [[E₆|E<sub>6</sub>]]의 경우, 기본 표현은 27, 27&prime;, 78, 351, 351&prime;, 2925차원 표현이다. 여기서 78차원 표현은 [[딸림표현]]이다.
* [[E₇|E<sub>7</sub>]]의 경우, 기본 표현은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이다. 여기서 133차원 표현은 [[딸림표현]]이다.
* [[E₈|E<sub>8</sub>]]의 경우, 기본 표현은 각각 248, 3875, 30380, 147250, 2450240, 6696000, 146325270, 6899079264차원 표현이다. 여기서 248차원 표현은 [[딸림표현]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[무게 (표현론)]]

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:표현론]]