기본 동치 문서 원본 보기

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[[모형 이론]]에서 '''기본 동치'''(基本同値, {{llang|en|elementary equivalence}})는 두 [[구조 (논리학)|구조]]가 같은 [[1차 논리]] 문장들을 만족시키는 관계이다.

== 정의 ==
같은 언어의 [[구조 (논리학)|구조]] <math>M</math>, <math>N</math>에 대하여,  다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 만약 이 조건이 성립하면 <math>M</math>과 <math>N</math>이 서로 '''기본 동치'''라고 한다.
* 모든 [[1차 논리]] 문장 <math>\phi</math>에 대하여, <math>M\models\phi\iff N\models\phi</math>
* 모든 [[1차 논리]] 문장 <math>\phi</math>에 대하여, <math>M\models\phi\implies N\models\phi</math>
* 모든 [[1차 논리]] 문장 <math>\phi</math>에 대하여, <math>N\models\phi\implies M\models\phi</math>
(문장이란 자유 변수를 포함하지 않는 공식을 의미한다.)

같은 언어에 대한 구조 <math>M</math>과 <math>N</math> 사이의 '''기본 매장'''(基本埋藏, {{llang|en|elementary embedding}})은 다음 성질을 만족시키는 함수
:<math>j\colon M\to N</math>
이다.
* <math>k</math>개의 자유 변수 <math>\vec x</math>를 갖는 임의의 [[1차 논리]] 공식 <math>\phi</math> 및 임의의 <math>\vec m\in M^k</math>에 대하여, 만약 <math>M\models\phi[\vec m/\vec x]</math>라면 <math>N\models\phi[j(\vec m)/\vec x]</math>이다.
만약 <math>M\subset N</math>이고 부분 집합 포함 함수가 기본 매장을 이룬다면, <math>M</math>이 <math>N</math>의 '''기본 부분 구조'''(基本部分構造, {{llang|en|elementary substructure}})라고 한다.

== 성질 ==
구조의 기본 동치는 [[동치 관계]]이다.

기본 매장은 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[단사 함수]]이다. 이는 1차 논리가 등호를 포함하며, 따라서 <math>m_1\ne m_2\implies j(m_1)\ne j(m_2)</math>이기 때문이다.
* [[준동형사상|강준동형사상]]이다.
* 기본 동치이다.

같은 언어에 대한 두 구조 <math>M</math>, <math>N</math>에 대하여, <math>M\subset N</math>이라면 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>M</math>은 <math>N</math>의 기본 부분 구조이다.
* (타르스키-보트 조건 {{llang|en|Tarski–Vaught criterion}}) 임의의 <math>k+1</math>개 자유 변수를 갖는 1차 논리 공식 <math>\phi(x,\vec y)</math> 및 <math>\vec b\in N^k</math>에 대하여, <math>N\models\phi(a,\vec b)</math>인 <math>a\in M</math>이 존재한다.

== 예 ==
[[초곱|워시 정리]]에 따라, 어떤 모형 <math>M</math>과 그 [[초곱|초거듭제곱]] <math>M^n/\mathcal U</math>은 서로 기본 동치이다.

하나의 이항 관계 <math>\langle\le\rangle</math>의 구조로서, [[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math> 및 [[실수]]의 집합 <math>\mathbb R</math>는 서로 기본 동치이다. 그러나 이들은 [[순서체]]의 언어 <math>\langle+,\cdot,-,0,1,\le\rangle</math>의 구조로는 서로 기본 동치가 아니다.

[[실수체]] <math>\mathbb R</math>와 [[초실수체]] <math>^*\mathbb R</math>는 순서체의 언어의 구조로서 서로 기본 동치이다.

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/elementary+embedding|제목=Elementary embedding|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/elementary+embedding|제목=Elementary equivalence|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{eom|title=Fraïssé characterization of elementary equivalence}}
* {{eom|title=Keisler-Shelah isomorphism theorem}}

[[분류:모형 이론]]