기본 대칭 다항식 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서, '''기본 대칭 다항식'''(基本對稱多項式, {{llang|en|elementary symmetric polynomial}})은 주어진 차수에 대하여, 이 차수의 모든 가능한 항들을 (계수 1로서) 정확히 하나씩 포함하는 다변수 [[대칭 다항식]]이다. 모든 [[대칭 다항식]]은 기본 대칭 다항식들로 유일하게 구성된다.

== 정의 ==
차수 <math>k\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>n</math>개의 변수 <math>x_1,\dotsc,x_n</math>에 대한 <math>k</math>차 '''기본 대칭 다항식'''은 다음과 같은 [[대칭 다항식]]이다.
:<math>e_k(x_1,\dotsc,x_n) = \sum_{1\le i_1<i_2<\dotsb <i_k\le n}x_{i_1}\dotsm x_{i_k}
\in\mathbb Z[x_1,\dotsc,x_n]
</math>
특히, <math>k>n</math>이라면 <math>e_k(x_1,\dotsc,x_n) = 0</math>이다. 즉, 0이 아닌 기본 대칭 다항식은 <math>e_0,\dotsc,e_n</math>이다. (항상 <math>e_0(x_1,\dotsc,x_n) = 1</math>이다.)

== 성질 ==
임의의 [[가환환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>n</math>개의 변수에 대한 [[대칭 다항식]]의 [[가환환]]
:<math>K[x_1,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n)}
=\{p\in K[x_1,\dotsc,x_n] \colon 
\forall\sigma\in\operatorname{Sym}(n)\colon
p(x_1,\dotsc,x_n)
=p(x_{\sigma(1)},\dotsc,x_{\sigma(n)})\}</math>
을 정의할 수 있다. 이 경우, 기본 대칭 다항식을 통한 [[환 준동형]]
:<math>K[y_1,\dotsc,y_n] \to K[x_1,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n)}</math>
:<math>y_i \mapsto e_i(x_1,\dotsc,x_n)</math>
을 생각할 수 있다. 이 환 준동형은 항상 [[가환환]]의 [[동형 사상]]이다.

다시 말해, 임의의 대칭 다항식
:<math>p \in K[x_1,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n)}</math>
에 대하여,
:<math>p(x_1,\dotsc,x_n) = q(e_1(x_1,\dotsc,x_n),\dotsc,e_n(x_1,\dotsc,x_n))</math>
이 되는 다항식 <math>q \in K[y_1,\dotsc,y_n]</math>이 유일하게 존재한다.

== 예 ==
낮은 값의 <math>n</math>에 대한 기본 대칭 다항식은 다음과 같다.
;<math>n=1</math>
:<math>e_0(x) = 1</math>
:<math>e_1(x) = x</math>
;<math>n=2</math>
:<math>e_0(x,y) = 1</math>
:<math>e_1(x,y) = x+y</math>
:<math>e_2(x,y)=xy</math>
;<math>n=3</math>
:<math>e_0(x) = 1</math>
:<math>e_1(x,y,z) = x+y+z</math>
:<math>e_2(x,y,z) = xy+yz+xz</math>
:<math>e_3(x,y,z) = xyz</math>
;<math>n=4</math>
:<math>e_0(x,y,z,w) = 1</math>
:<math>e_1(x,y,z,w) = x+y+z+w</math>
:<math>e_2(x,y,z,w) = xy+yz+zw+wx+xz+yw</math>
:<math>e_3(x,y,z,w) = xyz+yzw+zwx + wxy</math>
:<math>e_4(x,y,z,w) = xyzw</math>

== 같이 보기 ==
* [[대칭 다항식]]
* [[뉴턴 항등식]]
* [[뉴턴의 부등식]]
* [[매클로린의 부등식]]
* [[대칭 함수]]
* [[표현론 (수학)]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Macdonald|이름= I. G. |날짜=1995|제목= Symmetric functions and Hall polynomials|판=2|출판사=Clarendon Press|isbn= 0-19-850450-0|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Elementary symmetric polynomial}}
* {{매스월드|id=ElementarySymmetricPolynomial|title=Elementary symmetric polynomial}}
* {{nlab|id=elementary symmetric polynomial|title=Elementary symmetric polynomial}}
* {{수학노트|title=초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)}}
* {{groupprops|제목=Elementary symmetric polynomial}}
* {{플래닛매스|urlname=ElementarySymmetricPolynomial|title=Elementary symmetric polynomial}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfFundamentalTheoremOfSymmetricPolynomials|title=Proof of fundamental theorem of symmetric polynomials}}
* {{proofwiki|id=Definition:Elementary Symmetric Polynomial|제목=Elementary symmetric polynomial}}
* {{proofwiki|id=Fundamental Theorem_of Symmetric Polynomials|제목=Fundamental theorem of symmetric polynomials}}

[[분류:다항식]]
[[분류:대칭함수]]