기둥 집합 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]과 [[측도론]]에서, '''기둥 집합'''은 유한 개의 연속 범함수만으로 정의될 수 있는, [[위상 벡터 공간]]의 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>의 '''기둥 집합''' <math>C\subseteq V</math>은 다음과 같은 꼴로 표현되는 부분 집합 <math>C\subseteq V</math>이다.
:<math>C = \phi^{-1}(S)</math>
여기서
* <math>\phi\colon V \to \mathbb R^n</math>은 어떤 [[전사 함수|전사]] [[연속 함수|연속]] [[선형 변환]]이다.
* <math>S \subseteq\mathbb R^n</math>는 [[보렐 집합]]이다.
즉, 어떤 <math>\phi_1,\dotsc,\phi_n\in V^*</math>에 대하여
:<math>C = \{x\in V\colon (\phi_1(x),\dotsc,\phi_n(x)) \in S\}</math>
가 된다. (여기서 <math>(-)^*</math>는 [[연속 쌍대 공간]]을 뜻한다.)

<math>V</math>의 기둥 집합들의 족을 <math>\operatorname{Cyl}(V)</math>라고 표기하자.

== 성질 ==
기둥 집합은 이는 유한 [[합집합]] · 유한 [[교집합]] · [[여집합]]에 대하여 닫혀 있다. 특히, 공집합(0개의 집합들의 [[합집합]])과 <math>V</math> 전체(0개의 집합들의 [[교집합]])는 <math>V</math>의 기둥 집합이다.

정의에 따라, 모든 기둥 집합은 [[보렐 집합]]이다.

기둥 집합은 일반적으로 가산 무한 합집합 또는 교집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 따라서 [[시그마 대수]]를 이루지 못한다. 그러나 <math>\operatorname{Cyl}(V)</math>로 생성되는 [[시그마 대수]] <math>\sigma(\operatorname{Cyl}(V))</math>를 생각할 수 있다. 만약 <math>V</math>가 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[바나흐 공간]]이라면, 기둥 집합의 족으로 생성되는 [[시그마 대수]]는 <math>V</math>의 [[보렐 시그마 대수]]와 일치한다.<ref name="Eldredge">{{저널 인용|제목=Analysis and probability on infinite-dimensional spaces|이름=Nathan|성=Eldredge|날짜=2016|arxiv=1607.03591}}</ref>{{rp|Lemma 4.4}} 그러나 이는 분해 불가능 [[바나흐 공간]]에 대하여 성립하지 않는다.<ref name="Eldredge"/>{{rp|Exercise 4.5}}

== 예 ==
임의의 집합 <Math>S</math>에 대하여, 이를 [[정규 직교 기저]]로 갖는 [[힐베르트 공간]]
:<math>H = \ell^2(S)</math>
을 생각하자. 이 공간이 [[분해 가능 공간]]일 [[필요 충분 조건]]은 <math>S</math>가 [[가산 집합]]인 것이다.

이제, 어떤 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, 다음과 같은 집합족을 생각하자.
:<math>\mathcal S(\kappa) \subseteq\operatorname{Pow}(H)</math>
:<math>\mathcal S(\kappa) = \{ \pi_A^{-1}(T) \colon A\subseteq S,\;|A|<\kappa,\;T\in\operatorname{Borel}(\ell^2(A))\}</math>
여기서
* <math>\pi_A\colon\ell^2(S) \to \ell^2(A)</math>는 자연스러운 사영 사상이다.
* <math>\operatorname{Borel}(-)</math>은 [[보렐 시그마 대수]]이다.
그렇다면,
* 정의에 따라 <math>\mathcal S(\aleph_0) = \operatorname{Cyl}(H)</math>이다.
* <math>\mathcal S(\aleph_1) = \sigma(\operatorname{Cyl}(H))</math>이다.<ref name="Eldredge"/>{{rp|Exercise 4.5}}
* 자명하게 <math>\mathcal S(|S|^+) = \operatorname{Borel}(H)</math>이다. 여기서 <math>|S|^+</math>는 <math>S</math> 바로 다음의 [[기수 (수학)|기수]]이다.
특히, 유한 차원 힐베르트 공간(=[[유클리드 공간]], <math>|S|<\aleph_0</math>)의 경우
:<math>\operatorname{Cyl}(\mathbb R^n) = \sigma(\operatorname{Cyl}(\mathbb R^n)) = \operatorname{Borel}(\mathbb R^n)</math>
이며, [[분해 가능 공간|분해 가능]] 무한 차원 힐베르트 공간(<math>|S|=\aleph_0</math>)의 경우
:<math>\operatorname{Cyl}(H) \subsetneq \sigma(\operatorname{Cyl}(H)) = \operatorname{Borel}(H)</math>
이지만, 분해 불가능 힐베르트 공간의 경우
:<math>\operatorname{Cyl}(H) \subsetneq \sigma(\operatorname{Cyl}(H)) \subsetneq \operatorname{Borel}(H)</math>
이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:측도론]]
[[분류:함수해석학]]