기댓값 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률론}}
[[확률론]]에서 [[확률 변수]]의 '''기댓값'''(期待값, {{llang|en|expected value}},<math>\operatorname{E}</math>)은 각 사건이 벌어졌을 때의 이득과 그 사건이 벌어질 확률을 곱한 것을 전체 사건에 대해 합한 값이다. 이것은 어떤 확률적 사건에 대한 [[평균 (통계학)|평균]]의 의미로 생각할 수 있다. 이 경우 ''''모 평균''''으로 다룰수있다.

[[모 평균]](population mean) μ는 [[모 집단]]의 [[평균]]이다. 모두 더한 후 전체 데이터 수 n으로 나눈다. [[확률 변수]]의 [[기댓값]]이다.

== 정의 ==
[[확률공간]] <math>(P,\mathcal P,\mu)</math> 위의 실수값 [[확률 변수]] <math>X\colon P\to\mathbb R</math>의 '''기댓값''' <math>\operatorname{E}[X]</math>은 그 [[르베그 적분]]이다.
:<math>\operatorname E[X]=\int_PX\,d\mu</math>

예를 들어,  [[이산 확률 변수]]일 경우에는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{E}[X] = \sum_i p_i x_i</math>
여기서 <math>x_i</math>는 가능한 모든 사건, <math>p(x_i)</math>는 <math>x_i</math> 사건이 일어날 확률을 의미한다. [[연속 확률 변수]]일 경우에는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\ \operatorname{d}x</math>
이 때 <math>f(x)</math>는 [[확률밀도함수]]를 나타낸다.

== 성질 ==
=== 선형성 ===
기댓값은 선형 연산자이다. 즉 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)</math> (가산성)
:<math>\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)</math> (동차성)

== 예 ==
예를 들어, 주사위를 한 번 던졌을 때, 각 눈의 값이 나올 확률은 1/6이고, 주사위값의 기댓값은 각 눈의 값에 그 확률을 곱한 값의 합인
:<math>1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3.5</math>
가 된다.

== 같이 보기 ==
* [[기대효용가설]]
* [[표준오차]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Mathematical expectation}}
* {{매스월드|id=ExpectationValue|title=Expectation value}}

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:확률론]]