근방 필터 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''근방 필터'''(近傍filter, {{llang|en|neighbo(u)rhood filter}})는 주어진 점의 모든 [[근방]]들로 구성된 [[필터 (수학)|필터]]이다. 일반위상수학에서 필터는 [[점렬]]과 [[그물 (수학)|그물]]의 일반화로 사용되며, [[필터 (수학)|필터]]가 주어진 점에 '''수렴'''({{llang|en|converge}})하는 것은 [[필터 (수학)|필터]]가 주어진 점의 근방 필터를 [[부분 집합]]으로 포함하는 것이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>의 [[근방]]들의 집합
:<math>\mathcal N_S=\uparrow\left(\mathcal T\cap\uparrow S\right)=\{N\subseteq X\colon S\subseteq U\subseteq N,\;U\in\mathcal T\}</math>
은 [[멱집합]] <math>\mathcal P(X)</math> 속의 [[필터 (수학)|필터]]를 이루며, 이를 <math>S</math>의 '''근방 필터''' 또는 '''근방계'''(近傍系, {{llang|en|neighbo(u)rhood system}}) <math>\mathcal N_S</math>라고 한다. <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>의 '''근방 필터'''는 [[한원소 집합]] <math>\{x\}</math>의 근방 필터를 뜻하며, <math>\mathcal N_x</math>로 표기한다.

근방 필터 <math>\mathcal N_x</math>의 [[공시작 집합]] (즉, <math>\uparrow\mathcal B=\mathcal N_x</math>이 되는 부분 집합 <math>\mathcal B\subseteq\mathcal N_x</math>)을 <math>x</math>의 '''국소 기저'''(局所基底, {{llang|en|local base}})라고 한다.

=== 필터의 수렴 ===
위상 공간 <math>X</math> 위의 [[필터 (수학)|필터]] <math>\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)</math> 및 점 <math>x\in X</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>\mathcal N_x\subseteq\mathcal F</math>라면, <math>\mathcal F</math>가 <math>x</math>로 '''수렴한다'''({{llang|en|converge}})고 하고,
:<math>\mathcal F\to x</math>
로 표기한다. 이 경우, <math>x</math>를 <math>\mathcal F</math>의 '''[[극한]]'''({{llang|en|limit}})이라고 한다.

보다 일반적으로, <math>X</math> 위의 [[필터 기저]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal N_x\subseteq\uparrow\mathcal B</math>라면, <math>\mathcal B</math>가 <math>x</math>로 '''수렴한다'''고 한다.

== 성질 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 자명한 [[필터 (수학)|필터]] <math>\mathcal P(X)</math>는 모든 점에 수렴한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 모든 점 <math>x\in X</math>이 [[가산 집합]]인 국소 기저를 갖는다면, <math>X</math>를 '''[[제1 가산 공간]]'''이라고 한다.

=== 분리 공리 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal P(X)</math> 전체가 아닌, <math>\mathcal P(X)</math> 위의 모든 [[필터 (수학)|필터]]가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다.
* 임의의 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x\ne y</math>라면, <math>\mathcal N_x\setminus\mathcal N_y\ne\varnothing</math>이자 <math>\mathcal N_y\setminus\mathcal N_x\ne\varnothing</math>이다.
* 임의의 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x\in U</math>이자 <math>y\in V</math>이며 <math>U\cap V=\varnothing</math>인 [[열린집합]] <math>U,V\in\mathcal T</math>가 존재한다.
* [[하우스도르프 공간]]이다.

=== 그물과의 관계 ===
임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 [[동치]]이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 [[동치]]이다.

== 예 ==
[[이산 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>의 근방 필터는 [[주 필터]] <math>\uparrow\{x\}</math>이다. [[비이산 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>의 근방 필터는 <math>\mathcal N_x=\{X\}</math>이다.

[[거리 공간]] <math>(X,d)</math>에서, 다음과 같은 집합은 점 <math>x\in X</math>의 국소 기저를 이룬다.
:<math>\{\operatorname{ball}(x,1/n)\colon n\in\mathbb Z^+\}=\left\{\{y\in X\colon d(x,y)<1/n\}\colon n\in\mathbb Z^+\right\}</math>

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=Nets and filters in topology|이름=R. G.|성=Bartle|쪽=551–557|저널=The American Mathematical Monthly|jstor=2307247|권=62|호=8|날짜=1955-10|doi=10.2307/2307247|zbl=0065.37901|mr=0073153|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Defining system of neighbourhoods}}
* {{매스월드|id=NeighborhoodSystemBase|title=Neighborhood System Base}}
* {{매스월드|id=LocalBase|title=Local base}}
* {{nlab|id=topological base|title=Topological base}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Neighborhood_Basis|제목=Definition: neighborhood basis|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Local_Basis|제목=Definition: local basis|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2010/12/09/ultrafilters-in-topology/|제목=Ultrafilters in topology|날짜=2010-12-09|웹사이트=Annoying Precision|이름=Qiaochu|성=Yuan|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]