극한 집합 문서 원본 보기

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[[동역학계 이론]]에서 '''<math>\omega_\pm</math>-극한 집합'''(<math>\omega_\pm</math>-極限集合, {{llang|en|<math>\omega_\pm</math>-limit set}})은 무한한 시간이 경과하였을 때 주어진 초기 상태의 [[동역학계]]가 수렴하게 되는 상태들의 집합이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위에 [[동역학계]]
:<math>\phi\colon T\times X\to X</math>
가 주어졌다고 하자. 여기서 흐름(연속 시간 동역학계)의 경우 <math>T=\mathbb R</math>이며, 사상(이산 시간 동역학계)의 경우 <math>T=\mathbb Z</math>이다.

그렇다면, 초기 조건 <math>x\in X</math>의 '''<math>\omega_+</math>-극한 집합'''({{llang|en|<math>\omega_+</math>-limit set}}) 및 '''<math>\omega_-</math>-극한 집합'''({{llang|en|<math>\omega_-</math>-limit set}})은 다음과 같다.
:<math>\lim_{\omega_+}x=\bigcap_{t\in T}\operatorname{cl}\{\phi(t',x)\colon t'>t\}</math>
:<math>\lim_{\omega_-}x=\bigcap_{t\in T}\operatorname{cl}\{\phi(t',x)\colon t'<t\}</math>
여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]를 뜻한다.

즉, <math>y\in\lim_{\omega_\pm}x</math>임은 다음과 [[동치]]이다.
:<math>y\in\lim_{\omega_\pm}x\iff \exists (t_i)_{i\in\mathbb N}\in T^{\mathbb N}\colon\left(\lim_{i\to\infty}t_i=\pm\infty\land\lim_{i\to\infty}\phi(t_i,x)=y\right)</math>

일부 문헌에서는 <math>\omega_+</math>/<math>\omega_-</math>-극한 집합 대신 <math>\omega</math>/<math>\alpha</math>-극한 집합으로 표기하기도 한다.

== 성질 ==
<math>\omega_\pm</math>-극한 집합은 ([[닫힌집합]]들의 열의 [[교집합]]이므로) 항상 [[닫힌집합]]이다. <math>\phi</math>가 연속적이고, 만약 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]이라면 <math>\omega_\pm</math>-극한 집합은 [[공집합]]이 아닌 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 집합]]이다.

<math>\omega_\pm</math>-극한 집합은 시간 변화에 대하여 불변이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| last = Teschl| given = Gerald| title = Ordinary differential equations and dynamical systems| publisher=American Mathematical Society| | year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Limit set of a trajectory}}

== 같이 보기 ==
* [[극한점]]

[[분류:극한 집합| ]]
[[분류:동역학계]]