극한 비교 판정법 문서 원본 보기

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[[미적분학]]에서 '''극한 비교 판정법'''(極限比較判定法, {{llang|en|limit comparison test}})은 음이 아닌 [[실수]] 항의 [[급수 (수학)|급수]]의 [[수렴]] 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 두 [[양항 급수]]의 항의 비가 0이 아닌 실수로 수렴한다면, 두 급수의 수렴 여부는 같다.

== 정의와 증명 ==
두 [[양의 실수]] 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>과 <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math>이 주어졌다고 하자 (<math>a_n,b_n>0\forall n\ge0</math>). 또한, [[극한]]
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty)</math>
가 존재하며, 0이 아닌 양의 실수라고 하자. 그렇다면, 두 급수는 둘 다 [[수렴]]하거나, 둘 다 [[발산]]한다. 이를 '''극한 비교 판정법'''이라고 한다.
{{증명}}
극한 비교 판정법은 [[비교 판정법]]의 따름정리다. 가정에 따라, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여
:<math>\frac 12L<\frac{a_n}{b_n}<2L</math>
이다. 즉, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여
:<math>\frac12Lb_n<a_n<2Lb_n</math>
이다. 만약 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>이 수렴한다면, [[비교 판정법]]에 따라 <math>\sum_{n=n_0}^\infty\frac12Lb_n</math> 역시 수렴하며, 따라서 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>은 수렴한다. 반대로, 만약 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>이 수렴한다면, <math>\sum_{n=n_0}^\infty2Lb_n</math> 역시 수렴하며, [[비교 판정법]]에 따라 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math> 역시 수렴한다. 즉, 두 급수의 수렴 여부는 [[동치]]다.
{{증명 끝}}

보다 일반적으로, 두 음이 아닌 [[실수]] 항 <math>a_n,b_n\ge0</math>의 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>과 <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 항상 [[상극한]]과 [[하극한]]
:<math>\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L'\in[0,\infty]</math>
:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L''\in[0,\infty]</math>
이 존재하며, 항상 <math>L''\le L'</math>이다. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>L'<\infty</math>이며, <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math>이 수렴한다면, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> 역시 수렴한다.
* 만약 <math>L''>0</math>이며, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>이 수렴한다면, <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math> 역시 수렴한다.
특히, 만약 <math>0<L''\le L'<\infty</math>라면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 <math>L</math>이 존재한다면, <math>L=L'=L''</math>이다. 따라서 이는 이전 결과를 일반화한다.
{{증명}}
덜 일반적인 결과의 증명과 마찬가지로, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여
:<math>\frac12L''<\frac{a_n}{b_n}<2L'</math>
이라는 사실과 [[비교 판정법]]으로부터 증명될 수 있다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
=== 기하급수와의 비교 ===
급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n-n}</math>를 생각하자. [[기하급수]] <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}</math>가 수렴하고
:<math>\begin{align}\lim_{n\to\infty} \frac{1/(2^n-n)}{1/2^n}
&=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{2^n-n}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-n/2^n}\\
&=\frac{1}{1-0}\\
&=1
\end{align}
</math>
이므로, 원래 급수는 수렴한다.

=== 조화급수와의 비교 ===
급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\ln\left(1+\frac1n\right)</math>를 생각하자. 이를 [[조화급수]]와 비교하면
:<math>\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+1/n)}{1/n}
&=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x\\
&=\lim_{x\to0}\frac{(\ln(1+x))'}{x'}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}\\
&=1
\end{align}</math>
을 얻는다. [[조화급수]] <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math>는 발산하므로, 원래 급수도 발산한다.

마찬가지로, 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\sin\frac1n</math>는
:<math>\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n}
&=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x\\
&=\lim_{x\to0}\frac{(\sin x)'}{x'}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}\\
&=1
\end{align}
</math>
이므로 발산한다.

=== 기타 ===
급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n}</math>를 생각하자. 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}</math>는 수렴한다. ([[적분 판정법]] 또는 [[코시 응집 판정법]]을 사용할 수 있다.) 두 급수의 항의 비의 극한은
:<math>\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n^2+2n)}{1/n^2}
&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+2n}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac n{n+2}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac1{1+2/n}\\
&=\frac1{1+0}\\
&=1
\end{align}
</math>
이다. 극한 비교 판정법에 따라, 원래 급수는 수렴한다.

급수 <math>\sum_{n=3}^\infty\ln\cos\frac\pi n</math>를 생각하자. (이는 음의 실수 항들로 이루어진다.) 0으로 수렴하는 두 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math> 및 <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>에 대하여, 편의상
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1</math>
을 <math>a_n\sim b_n</math>으로 쓰자. 그렇다면,
:<math>\begin{align}\ln\cos\frac\pi n
&=\ln(1+\cos\frac\pi n-1)\\
&\sim\cos\frac\pi n-1\\
&=-2\sin^2\frac\pi{2n}\\
&\sim-\frac{\pi^2}{2n^2}
\end{align}
</math>
이다. <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math>이 수렴하므로, 원래 급수는 수렴한다.

== 같이 보기 ==
* [[수렴판정법]]
* [[비교 판정법]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성1=Tao
|이름1=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=Analysis I
|언어=en
|판=3
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=37
|출판사=Springer
|위치=Singapore
|날짜=2016
|isbn=978-981-10-1789-6
|issn=2366-8725
|doi=10.1007/978-981-10-1789-6
|lccn=2016940817
}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=LimitComparisonTest|제목=Limi comparison test}}

{{전거 통제}}

[[분류:수렴판정법]]