극한 기수 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''극한 기수'''(極限基數, {{llang|en|limit cardinal}})는 바로 다음 기수 연산만으로 도달할 수 없는 [[기수 (수학)|기수]]이다.

== 정의 ==
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''극한 기수'''라고 한다.
* <math>\kappa=\lambda^+</math>인 기수 <math>\lambda</math>가 존재하지 않는다.
극한 기수가 아닌 기수를 '''따름 기수'''(따름基數, {{llang|en|successor cardinal}})라고 한다. (일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 기수를 '''강극한 기수'''(強極限基數, {{llang|en|strong limit cardinal}})라고 한다.
* 모든 기수 <math>\lambda<\kappa</math>에 대하여, <math>2^\lambda<\kappa</math>
* 모든 기수 <math>\lambda,\mu<\kappa</math>에 대하여, <math>\lambda^\mu<\kappa</math>
(일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

== 성질 ==
임의의 [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\alpha</math>는 [[극한 순서수]]이다.
* <math>\aleph_\alpha</math>는 극한 기수이다. (<math>\aleph</math>는 [[알레프 수]])
* <math>\beth_\alpha</math>는 강극한 기수이다. (<math>\beth</math>는 [[베트 수]])

모든 강극한 기수는 극한 기수이다. 만약 [[일반화 연속체 가설]]이 성립한다면, 모든 극한 기수는 강극한 기수이다.

만약 [[선택 공리]]가 성립한다면, 모든 따름 기수는 [[정칙 기수]]이다.<ref name="Jech">{{서적 인용|성1=Jech|이름1=Thomas|제목=Set theory|url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4|언어=en|판=3|총서=Springer Monographs in Mathematics|출판사=Springer|위치=Berlin|날짜=2003|isbn=978-3-540-44085-7|issn=1439-7382|doi=10.1007/3-540-44761-X|mr=1940513|zbl=1007.03002|id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|49, Corollary 5.3}}

== 예 ==
가산 극한 기수는 0과 <math>\aleph_0</math> 밖에 없다. 이들은 둘 다 강극한 기수이다.

최소의 비가산 극한 기수는 <math>\aleph_\omega</math>이며, 최소의 비가산 강극한 기수는 <math>\beth_\omega</math>이다.

[[알레프 수]]의 [[고정점]](즉, <math>\aleph_\kappa=\kappa</math>인 <math>\kappa</math>)은 항상 극한 기수이다. [[베트 수]]의 [[고정점]]은(즉, <math>\beth_\kappa=\kappa</math>인 <math>\kappa</math>)은 항상 강극한 기수이다. (이는 등식에 따라 <math>\kappa</math>가 [[극한 순서수]]이기 때문이다.) 그러나 이 명제들의 역은 성립하지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[도달 불가능한 기수]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Cardinal number}}
* {{nlab|id=cardinal number|제목=Cardinal number}}
* {{플래닛매스|urlname=limitcardinal|제목=Limit cardinal}}

{{집합론}}
{{전거 통제}}

[[분류:기수]]