극점 (기하학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Extreme points.svg|섬네일|오른쪽|하늘색으로 칠해진 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합]]의 극점들은 붉게 칠해진 점들이다. [[크레인-밀만 정리]]에 따라, 이 극점들의 [[볼록 폐포]]는 원래 [[볼록 집합]]과 같다.]]
[[기하학]]에서 '''극점'''(極點, {{llang|en|extreme point}})은 어떤 [[볼록 집합]] 속의 점 가운데, 다른 두 점의 볼록 [[선형 결합]]으로 나타낼 수 없는 것이다. 즉, [[볼록 집합]]의 일종의 ‘귀퉁이’에 해당한다. '''[[크레인-밀만 정리]]'''(Крейн-Мильман定理, {{llang|en|Krein–Milman theorem}})에 따르면, [[실수 국소 볼록 공간]]의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합]]은 그 극점들의 [[볼록 폐포]]와 같다. '''쇼케 정리'''(Choquet定理, {{llang|en|Choquet’s theorem}})에 따르면, [[거리화 가능]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합]] 속의 임의의 점은 그 극점 집합 위에 정의된 [[확률 측도]]의 무게 중심으로 나타내어진다.

== 정의 ==
[[실수 벡터 공간]] <math>V</math> 속의 [[볼록 집합]] <math>S</math>의 부분 집합 <math>F\subseteq S</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''면'''(面, {{llang|en|face}})이라고 한다.<ref name="Simon">{{서적 인용|제목=Convexity: an analytic viewpoint|doi=10.1017/CBO9780511910135|총서=Cambridge Tracts in Mathematics|권=187|이름=Barry|성=Simon|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-110700731-4|날짜=2011|언어=en}}</ref>{{rp|121, Chapter 8}}
* [[공집합]]이 아니다.
* 임의의 두 <math>x,y\in S</math> 및 <math>0<t<1</math>에 대하여, 만약 <math>tx+(1-t)y\in F</math>라면, <math>x,y\in F</math>이다.

[[실수 벡터 공간]] <math>V</math> 속의 [[볼록 집합]] <math>S</math> 속의 점 <math>x\in S</math>에 대하여, 만약 <math>\{x\}</math>가 <math>S</math>의 면이라면, <math>x</math>를 <math>S</math>의 '''극점'''이라고 한다.<ref name="Simon"/>{{rp|120, Chapter 8}}<ref>{{서적 인용|제목=Convex analysis: an introductory text|이름=Jan|성=van Tiel|출판사=Wiley|isbn=978-047190263-8|날짜=1984|언어=en}}</ref>{{rp|23, Definition 2.10}}<ref name="Lang"/>{{rp|369, §A1.3}}

<math>S</math>의 극점의 집합을 <math>\mathcal E(S)</math>로 표기하자.

=== 극점 계수 ===
보다 일반적으로, [[실수 벡터 공간]] <math>V</math> 속의 [[볼록 집합]] <math>S</math> 속의 점 <math>x\in S</math>의 '''극점 계수'''({{llang|en|extreme rank}})는 다음과 같은 [[자연수]]이다.
:<math>\operatorname{ext}(x)=\min
\left\{
k\colon
x=\sum_{i=0}^kt_iy_i,\;
k\in\mathbb Z^+,\;
y_0,\dotsc,y_k\in S,\;
(t_0,\dotsc,t_k)\in\operatorname{int}(\Delta^k)
\right\}</math>
여기서, 임의의 양의 정수 <math>k\in\mathbb Z^+</math>에 대하여
:<math>\operatorname{int}(\Delta^k)\subseteq(\mathbb R^+)^{k+1}</math>
:<math>(t_0,\dotsc,t_k)\in\operatorname{int}(\Delta^k)\overset{\text{def}}\iff t_0+\dotsb+t_k=1</math>
는 <math>k</math>차원 [[단체 (수학)|단체]]의 [[내부 (위상수학)|내부]]이다. 특히, <math>\operatorname{int}(\Delta^0)=\{1\}</math>이며, 임의의 <math>x\in S</math>는 <math>x=1x</math>로 나타내어지므로 항상 <math>\operatorname{ext}(x)\ge0</math>이다.

이 경우, 만약 <math>\operatorname{ext}(x)=n</math>이라면 <math>x</math>를 '''<math>n</math>-극점'''이라고 하자. 즉, 극점의 개념은 0-극점의 개념과 같다.

== 성질 ==
임의의 [[실수 벡터 공간]] <math>V</math>의 [[볼록 집합]] <math>K\subseteq V</math>의 면들의 족 <math>(F_i)_{i\in I}</math>에 대하여, 그 교집합 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}F_i</math>는 [[공집합]]이 아니라면 항상 면이다.

<div class="mw-collapsed mw-collapsible toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>x,y\in K</math> 및 <math>t\in(0,1)</math>에 대하여,
:<math>\forall i\in I\colon tx+(1-t)y\in F_i</math>
라고 하자. 그렇다면, 면의 정의에 따라서 <math>\forall i\in I\colon x,y\in F</math>이며, 따라서 <math>\textstyle x,y\in\bigcap_{i\in I}F_i</math>이다.
</div></div>

=== 존재 ===
임의의 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[실수 국소 볼록 공간]] <Math>V</math> 속의, [[공집합]]이 아닌 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합]] <math>\varnothing\ne K\subseteq V</math>의 [[닫힌집합|닫힌]] 면 <math>F\subseteq K</math>에 대하여, <math>F</math>에 속하는 <math>K</math>의 극점이 (적어도 하나 이상) 존재한다.<ref name="Simon"/>{{rp|127, 8.13}}
<div class="mw-collapsed mw-collapsible toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>K</math>의 [[닫힌집합|닫힌]] 면들의 (부분 집합 관계의 반대 관계에 대한) [[부분 순서 집합]] <math>(\mathcal F,\supseteq)</math>을 생각하자. [[초른 보조정리]]를 사용할 경우, 다음 두 명제를 보이면 족하다.
* <math>(\mathcal F,\subseteq)</math>는 [[닫힌 원순서 집합|닫힌 부분 순서 집합]]이다.
** 증명: 닫힌 면들의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>(F_i)_{i\in I}</math>의 경우, <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}F_i</math>는 ([[칸토어의 교점 정리]]에 의하여) [[공집합]]이 아니며, (면들의 교집합은 공집합 또는 면이므로) 면이며, ([[닫힌집합]]의 [[교집합]]은 [[닫힌집합]]이므로) [[닫힌집합]]이다.
* <math>(\mathcal F,\supseteq)</math>의 [[최대 원소]]는 [[한원소 집합]]이다.
** 증명: 임의의 닫힌 면 <Math>F\subseteq K</math>가 서로 다른 두 점 <math>x,y\in F</math>, <Math>x\ne y</math>을 갖는다고 하자. [[한-바나흐 정리]]에 따라, <math>\phi(x)\ne\phi(y)</math>인 실수 값 선형 범함수 <math>\phi\colon V\to\mathbb R</math>가 존재한다. <math>F</math>가 [[콤팩트 집합]]이므로 <math>\phi(F)</math>는 [[최댓값]]을 갖는다. 따라서 <math>G=\textstyle\phi^{-1}(\max_{x\in F}\phi(x))</math>는 공집합이 아니며, [[닫힌집합]]이며, 또한 면을 이룬다. 또한, <math>\phi(x)\ne\phi(y)</math>이므로, <math>G</math>는 <math>x</math>와 <math>y</math>를 둘 다 포함할 수 없다. 즉, <math>G\subsetneq F</math>이다. 이에 따라, <math>F</math>는 <math>(\mathcal F,\supseteq F)</math>의 [[최대 원소]]가 될 수 없다.
</div></div>

=== 극점의 볼록 폐포 ===
임의의 [[실수 벡터 공간]] <math>V</math> 속의 [[볼록 집합]] <math>S</math> 속의 두 점 <math>x,y\in S</math> 및 <math>t\in(0,1)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{ext}_S(tx+(1-t)y)<\operatorname{ext}_S(x)+\operatorname{ext}_S(y)</math>

'''크레인-밀만 정리'''에 따르면, 임의의 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[실수 국소 볼록 공간]] <math>V</math> 속의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합]] <math>K\subseteq V</math>은 그 극점들의 [[볼록 폐포]]와 일치한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''<ref name="Simon"/>{{rp|128, Theorem 8.14}}<ref name="Lang">{{서적 인용|이름=Serge|성=Lang|저자링크=서지 랭|제목=Linear algebra|판=2|출판사=Addison-Wesley|날짜=1970|언어=en}}</ref>{{rp|371, Theorem A1.6}}
<div class="mw-collapsible-content">
<math>K=\varnothing</math>은 자명하므로 <math>K\ne\varnothing</math>이라고 가정하자. <math>K</math>의 극점 집합 <math>\mathcal E(K)\subseteq K</math>를 생각하자. 자명하게 <math>\operatorname{co}(\mathcal E(K))\subseteq K</math>이다. (여기서 <math>\operatorname{co}(-)</math>는 [[볼록 폐포]]이다.) 따라서 <math>K\subseteq\operatorname{co}(\mathcal E(K))</math>를 보이면 족하다.

[[귀류법]]을 사용하여, <math>x\in K\setminus\operatorname{co}(\mathcal E(K))</math>라고 하자. [[한-바나흐 정리]]에 의하여, <math>\{x\}</math>와 <math>\operatorname{co}(\mathcal E(K))</math>를 분리하는, 즉
:<math>\inf_{e\in\operatorname{co}(\mathcal E(K))}\phi(e)>\phi(x)</math>
가 성립하는 실수 값 선형 [[범함수]]
:<math>\phi\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>
가 존재한다. <math>K</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합]]이므로 그 [[상 (수학)|상]] <math>\phi(K)</math> 역시 콤팩트 볼록 집합, 즉 [[닫힌구간]] <math>[s,t]\subseteq\mathbb R</math>이며, <Math>s\le\phi(e)c\le t</math>이다. 즉, <math>F=\phi^{-1}(t)</math>는 <math>K</math>의 [[닫힌집합|닫힌]] 면이며, 정의에 따라 <math>F\cap\operatorname{co}(\mathcal E(K))=\varnothing</math>이다. 그런데 <math>F</math>에 속하는 <math>K</math>의 극점이 존재한다. 즉, <math>\varnothing\ne F\cap \mathcal E(K)\subseteq F\cap\operatorname{co}(\mathcal E(K))</math>이며, 이는 [[모순]]이다.
</div></div>
[[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 [[불 대수]] [[소 아이디얼]] 정리를 가정할 때, [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 볼록 공간]]에 대한 크레인-밀만 정리는 [[선택 공리]]와 동치이다.

또한, '''에드거 정리'''({{llang|en|Edgar’s theorem}})에 따르면, [[반사 바나흐 공간]] <math>V</math> 속의 임의의 [[유계 집합|유계]] [[볼록 집합|볼록]] [[닫힌집합]] <math>K</math>는 스스로의 극점의 [[볼록 폐포]]와 일치한다. (일반적으로, [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]인 것은 [[콤팩트 집합]]인 것보다 더 약한 조건이다.)

'''밀만 정리'''({{llang|en|Milman’s theorem}})에 따르면, [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[실수 국소 볼록 공간]] <math>V</math> 속의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합]] <math>K\subseteq V</math>의 부분 집합 <math>T\subseteq K</math>에 대하여, 만약 <math>T</math>를 포함하는 최소의 [[볼록 집합|볼록]] [[닫힌집합]]이 <math>K</math>라면, <math>K</math>의 모든 극점은 <math>T</math>의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]에 속한다.<ref name="Simon"/>{{rp|138, Theorem 9.4}}

=== 극점 위의 측도 ===
임의의 실수 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math> 속의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq V</math> 속의 [[베르 집합]] <math>A\in\operatorname{Baire}(K)</math> 및 [[측도]] <math>\mu\colon\operatorname{Baire}(A)\to[0,\infty]</math> 및 <math>v\in V</math>가 주어졌을 때, 만약
:<math>\forall f\in V^*\colon f(x_0)=\int_A\phi\,\mathrm d\mu</math>
가 성립한다면, <math>v</math>를 <math>\mu</math>의 '''무게 중심'''(-中心, {{llang|en|barycenter}})이라고 하자. (여기서 <Math>V^*</math>는 [[연속 쌍대 공간]]이다.)

다음이 주어졌다고 하자.
* [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[실수 국소 볼록 공간]] <math>V</math>
* <math>V</math> 속의 [[거리화 가능]] [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[볼록 집합]] <math>K\subseteq V</math>
그렇다면, '''쇼케 정리'''({{llang|en|Choquet’s theorem}})에 따르면 다음이 성립한다.<ref name="Simon"/>{{rp|168, Theorem 10.7}}
* <math>K</math>의 극점의 집합 <math>\mathcal E(K)</math>는 <math>K</math>의 [[보렐 집합]]이다.
* 임의의 <math>x\in K</math>에 대하여, <math>x</math>를 무게 중심으로 갖는 [[확률 측도]] <math>\mu\colon\operatorname{Baire}(\mathcal E(K))\to[0,1]</math>가 존재한다.

== 예 ==
[[한원소 집합]]의 유일한 점은 0-극점이다.

[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 속에서, [[닫힌 공]]
:<math>\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{\mathbb R^n}(\vec 0,1))=\left\{\vec v\in\mathbb R^n\colon \|\vec v\|\le1\right\}</math>
의 0-극점들은 [[초구]]
:<math>\mathbb S^{n-1}=\{\vec v\in\mathbb R^n\colon\|\vec v\|=1\}</math>
이며, 나머지 모든 점([[열린 공]])은 1-극점이다.

=== 비(非)유계 집합에 대한 크레인-밀만 정리의 반례 ===
실수선 <math>\mathbb R</math> 속의 닫힌 반직선
:<math>\mathbb R_{\ge}=\{t\in\mathbb R\colon t\ge0\}</math>
은 [[닫힌집합]]이며 [[볼록 집합]]이지만 [[유계 집합]]이 아니다. 그 속의 0-극점들은 <math>0\in\mathbb R_{\ge}</math> 밖에 없으며, 나머지 점들은 모두 1-극점들이다. 이 경우 <math>\{0\}</math>의 [[볼록 폐포]]는 <math>\{0\}\ne\mathbb R_{\ge}</math>이므로, 크레인-밀만 정리가 실패한다.

보다 일반적으로, <math>n</math>차원 [[유클리드 공간]] 속의 닫힌 반공간
:<math>\mathbb R_{\ge}\times\mathbb R^{n-1}\subseteq\mathbb R^n</math>
은 <Math>k\le n-2</math>일 경우 <math>k</math>-극점을 갖지 않는다. 구체적으로, [[경계 (위상수학)|경계]]의 점
:<math>x\in\partial(\mathbb R_{\ge}\times\mathbb R^{n-1})=\{0\}\times\mathbb R^{n-1}</math>
은 <math>n-1</math>-극점이며, 나머지 점들은 <math>n</math>-극점이다.

=== 비(非) 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리의 반례 ===
크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합]]을 가지는, [[완비 거리화 가능]] 실수 [[위상 벡터 공간]]이 존재한다.<ref>{{저널 인용|제목=A compact convex set with no extreme points|이름=James W.|성=Roberts|저널=Studia Mathematica|권=60|호=3|쪽=255–266|날짜=1977|issn=0039-3223|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm60/sm60119.pdf|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
[[유클리드 공간]]에 대한 크레인-밀만 정리는 [[헤르만 민코프스키]]가 20세기 초에 증명하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Hermann|성=Minkowski|저자링크=헤르만 민코프스키|제목=Geometrie der Zahlen|출판사=Druck und Verlag von B. G. Teubner|날짜=1910|url=https://archive.org/details/geometriederzahl00minkrich|언어=de}}</ref>

[[바나흐 공간]]에 대한 크레인-밀만 정리는 [[마르크 크레인]]과 다비트 핀후소비치 밀만({{llang|ru|Дави́д Пи́нхусович Ми́льман}}, <bdi>{{llang|he|דוד פינחוסוביץ' מילמן}}</bdi>, 1912~1982)이 1940년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Mark|성=Krein|저자링크=마르크 크레인|이름2=David|성2=Milman|날짜=1940|제목=On extreme points of regular convex sets|저널=Studia Mathematica|권=9|호=1|쪽=133–138|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm9/sm9111.pdf|issn=0039-3223|언어=en}}</ref>{{rp|134}}

밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용| last=Мильман | first=Д. П. | 날짜=1947 | 제목=Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества |  journal=Доклады Академии Наук СССР | volume=57 | pages=119–122 | 언어=ru}}</ref>

쇼케 정리는 귀스타브 쇼케({{llang|fr|Gustave Choquet}}, 1915~2006)가 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=ExtremePoint|title=Extreme point|이름=Christopher|성=Stover}}
* {{매스월드|id=ExtremeSet|title=Extreme set|이름=Christopher|성=Stover}}
* {{매스월드|id=Krein-MilmanTheorem|title=Krein-Milman theorem|이름=Christopher|성=Stover}}
* {{매스월드|id=MilmansTheorem|title=Milman’s theorem|이름=Christopher|성=Stover}}
* {{서적 인용|제목=Convex sets and their integral representations|이름=Anna Munk|성=Ebbesen|출판사=[[코펜하겐 대학교]]|기타=학사 학위 논문 (지도 교수 Magdalena Musat)|날짜=2012-06-08|언어=en}}

[[분류:기하학]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:볼록기하학]]
[[분류:볼록 껍질]]