극분해 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]과 [[함수해석학]]에서 '''극분해'''(極分解, {{llang|en|polar decomposition}})는 복소수 [[정사각 행렬]] 또는 두 [[복소수 힐베르트 공간]] 사이의 [[유계 작용소]]를, “절댓값”과 “편각”으로 분해하는 과정이다. 여기서, “절댓값” 성분은 항상 음이 아닌 [[고윳값]]을 가지는 [[자기 수반 작용소]]이며, “편각” 성분은 그 [[핵 (수학)|핵]]의 직교 여공간과 [[치역]] 사이의 [[유니터리 변환]]을 정의한다.

== 정의 ==
[[복소수 힐베르트 공간]] <math>H</math> 위의 [[유계 작용소]]
:<math>A\colon H\to H</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>A</math>의 '''극분해'''는 다음과 같은 조건들을 만족시키는 [[순서쌍]] <math>(U,P)</math>이다.
* <math>U,P\colon H\to H</math>는 [[유계 작용소]]이다.
* <math>A=U\circ P</math>이다.
* <math>U\colon H\to H</math>의 경우, <math>H/\ker U\to H</math>는 [[등거리 변환]]이다. (그러나 [[단사 함수]]일 필요도, [[전사 함수]]일 필요도 없다.)
* <math>P</math>는 [[유계 작용소|유계]] [[자기 수반 작용소]]이며, 임의의 <math>v\in H</math>에 대하여 <math>\langle v|H|v\rangle\in[0,\infty)\subseteq\mathbb C</math>이다.
* <math>(\ker U)^\perp = \operatorname{cl}(PH)</math>이다. (여기서 <math>\operatorname{cl}(-)</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이다.)

사실, 항상
:<math>P=\sqrt{A^*A}=|A|</math>
임을 보일 수 있다.

== 성질 ==
[[복소수 힐베르트 공간]] <math>H</math> 위의 [[유계 작용소]] <math>A\colon H\to H</math>의 극분해 <math>(U,P)</math>는 항상 존재하며, 항상 유일하다.

=== 폰 노이만 대수의 경우 ===
<math>P</math>는 <math>\{A\}</math>로 생성되는 [[C* 대수]]의 원소이다. <math>U</math>는 <math>\{A\}</math>로 생성되는 [[폰 노이만 대수]]의 원소이다. 만약 <math>A</math>가 <math>\operatorname B(H,H)</math>의 [[가역원]]이라면 (즉, [[전단사 함수]]이며 [[유계 작용소|유계]] 역함수를 갖는다면), <math>U</math>는 <math>\{A\}</math>로 생성되는 [[C* 대수]]의 원소이다.

이에 따라, 임의의 [[폰 노이만 대수]]의 원소의 극분해를 마찬가지로 정의할 수 있다. 또한, [[C* 대수]]의 [[가역원]]의 경우 마찬가지로 극분해를 정의할 수 있다.

=== 유한 차원의 경우 ===
만약 <math>H</math>가 유한 차원이며 <math>A</math>가 [[가역 행렬]]이라면, <math>A</math>의 극분해 <math>(U,P)</math>에서 <math>U</math>는 [[유니터리 작용소]]가 된다. 그러나 만약 <math>H</math>가 무한 차원이라면 그럴 필요는 없다.

또한, <math>H</math>가 유한 차원일 때,
:<math>\det A=\det U\det P</math>
이므로
:<math>\det P=|\det A|\in[0,\infty)</math>
:<math>\det U\in\{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}</math>
이다.

== 예 ==
=== 유한 차원 ===
임의의 복소수 <math>z\in\mathbb C</math>를 [[유계 작용소]] <math>z\cdot\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>로 간주할 때, 그 극분해는 절댓값과 편각으로의 분해와 같다.
:<math>z=\exp(\mathrm i\theta)\cdot r\qquad(r\in[0,\infty))</math>

보다 일반적으로, <math>\mathbb C^n</math> 위의 [[대각 행렬]]
:<math>\operatorname{diag}\left(r_1\exp(\mathrm i\theta_1),\dotsc,r_n\exp(\mathrm i\theta_n)\right)\colon\mathbb C^n\to\mathbb C^n\qquad\left(\theta_1,\dotsc,\theta_n\in\mathbb R,\;r_1,\dotsc,r_n\in\mathbb R_{\ge0}\right)</math>
의 극분해는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{diag}\left(r_1\exp(\mathrm i\theta_1),\dotsc,r_n\exp(\mathrm i\theta_n)\right)=\operatorname{diag}\left(\exp(\mathrm i\theta_1),\dotsc,\exp(\mathrm i\theta_n)\right)\operatorname{diag}(r_1,\dotsc,r_n)</math>

=== 무한 차원 ===
[[르베그 공간]]
:<math>H=\ell^2(\mathbb N;\mathbb C)</math>
을 생각하자. 그 위의 시프트 연산자
:<math>A\colon(z_0,z_1,\dotsc)\mapsto(0,z_0,z_1,\dotsc)</math>
를 생각하자. 이 경우,
:<math>A^*A=1</math>
이므로 극분해 <math>(P,U)</math>는
:<math>P=1</math>
:<math>U=A</math>
이다. 특히, <math>U</math>는 [[유니터리 작용소]]가 되지 못한다.

== 같이 보기 ==
* [[카르탕 대합]]
* [[행렬 분해]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Polar decomposition}}
* {{매스월드|id=PolarDecomposition|title=Polar decomposition|이름= Mohammad Sal |성=Moslehian}}
* {{nlab|id=polar decomposition|title=Polar decomposition}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:행렬 분해]]
[[분류:행렬론]]