극대 원환면 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''극대 원환면'''({極大圓環面, {{llang|en|maximal torus|맥시멀 토러스}})은 어떤 콤팩트 [[리 군]] 속의 연결 콤팩트 [[닫힌집합|닫힌]] [[아벨 군|아벨]] [[부분군]] 가운데 [[극대 원소]]인 것이다.

== 정의 ==
<math>G</math>가 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]이라고 하자. <math>G</math> 속의, [[원환면]] <math>\mathbb T^n</math>과 [[미분 동형]]인 [[닫힌집합|닫힌]] [[부분군]]
:<math>T\subseteq G</math>
들의 집합을 생각하자. 이들은 [[부분 집합]] 관계에 대하여 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 이 [[부분 순서 집합]]의 [[극대 원소]]를 <math>G</math>의 '''극대 원환면'''이라고 한다.

== 성질 ==
연결 콤팩트 리 군 <math>G</math> 및 그 극대 원환면이 주어졌을 때, 모든 원소 <math>g \in G</math>는 (임의의) 극대 원환면 <math>T</math>의 원소와 켤레 동치이다. 즉, 항상 <Math>x^{-1}gx \in T</math>가 되는 <math>x\in G</math>를 찾을 수 있다.
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'''증명:'''
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임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>x^{-1}gx \in T</math>가 되는 <Math>x\in G</math>를 찾아야 한다. 이러한 <Math>x</math>는
:<math>gx \in xT</math>
이므로, <math>G/T</math> 위의 <Math>G</math>의 [[왼쪽 군 작용]]의 [[고정점]]을 이룬다. <math>T</math>가 [[부분군]]이므로, 반대로 <math>G/T</math>의 모든 고정점 <math>xT</math>은 이러한 <math>x</math>에 대응한다.

<math>G/T</math>가 [[콤팩트 공간]]이므로, [[렙셰츠 고정점 정리]]를 사용하여, <math>g</math>의 작용의 [[렙셰츠 수]]가 0이 아님을 보이면 족하다. [[렙셰츠 수]]는 [[호모토피류]]에 대하여 불변량이다. <math>G</math>가 [[경로 연결 공간]]이므로, <math>g</math>의 작용은 <Math>1_G\in G</math>의 [[군의 작용|작용]](즉, [[항등 함수]])과 [[호모토픽]]하며, 항등 함수의 [[렙셰츠 수]]는 [[오일러 지표]]와 같다. 즉, <math>G/T</math>의 [[오일러 지표]] <math>\chi(G/T)</math>가 0이 아님을 보이면 족하다.

이를 계산하기 위하여, 원소 <Math>t\in T</math> 가운데, <math>t</math>로 생성되는 [[부분군]] <math>t^\mathbb Z</math>가 <math>T</math>의 [[조밀 집합]]을 이루는 것을 고르자. (<math>T</math>가 [[원환면]]이므로, 이는 항상 가능하며, [[거의 모든]] <math>t\in T</math>에 대하여 이러한 성질이 성립한다.) 그렇다면, <Math>t</math>의 작용의 [[고정점]]은 <math>T</math>의 [[정규화 부분군]] <math>\operatorname N_G(T)</math>의 원소이다. 즉, <math>G/T</math> 위의 고정점의 집합은 <math>\operatorname N_G(T)/T</math>이다. <math>T</math>가 극대 원환면이라면, 이는 [[유한 집합]]이다. 그 모든 원소들은 서로 켤레이므로, 같은 지표를 갖는다. 따라서, 고정점 <math>T = 1_GT \in \operatorname N_GT</math>의 지표가 0이 아님을 보이면 족하다. 이는 1임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉, <math>\chi(G/T) = |\operatorname N_G(T)/T| \ge 1</math>이며, 모든 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>x^{-1}gx\in T</math>인 <Math>x\in G</math>가 존재한다.
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=== 존재와 유일성 ===
모든 연결 콤팩트 리 군은 하나 이상의 극대 원환면을 갖는다. 극대 원환면은 일반적으로 유일하지 않지만, 연결 콤팩트 리 군 <math>G</math>의 모든 극대 원환면들은 서로 켤레 동치이다.
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'''증명:'''
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임의의 두 극대 원환면 <Math>T</math>, <math>T'</math>이 주어졌으며, <math>t\in T</math> 및 <Math>t'\in T'</math>에 대하여, <math>t</math>로 생성되는 부분군이 <math>T</math>의 [[조밀 집합]]이며, <Math>t'</math>도 <math>T'</math>에 대하여 마찬가지라고 하자. 그렇다면, 항상 <math>gtg^{-1} = t'</math>인 <math>g\in G</math>를 찾을 수 있으므로, <Math>gTg^{-1} = T'</math>가 된다.</div></div>
즉, 연결 콤팩트 리 군 <math>G</math>의 경우 바일 군이 유일하게 정의된다.

[[단순 리 군]]과 [[단순 리 대수]]는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다.

=== 차원 ===
연결 콤팩트 리 군 <math>G</math>의 극대 원환면의 차원은 <math>G</math>의 계수와 같다. 즉, 그 [[리 대수]] <math>\mathfrak{lie}(G)</math>를 [[반단순 리 대수]]와 [[아벨 리 대수]]의 [[직합]]
:<math>\mathfrak{lie}(G) = \mathfrak s \oplus \mathfrak a</math>
으로 분해하였을 때, <math>T</math>의 차원은 <math>\mathfrak a</math>의 차원과 <math>\mathfrak s</math>의 [[딘킨 도표]]의 꼭짓점의 수의 합과 같다.
:<math>\dim T = \dim\mathfrak a \oplus |\operatorname V(\operatorname{Dynkin}(\mathfrak s))|</math>

=== 바일 군의 작용 ===
연결 콤팩트 리 군 <math>G</math>의 극대 원환면 <math>T</math>가 주어졌을 때, 그 [[바일 군]]
:<math>\operatorname{Weyl}(G,T) = \operatorname N_G(T)/\operatorname C_G(T)</math>
은 <math>T</math> 위에 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]한다. 이에 대한 [[몫공간]]
:<math>T / \operatorname{Weyl}(G/T)</math>
은 <math>G</math>의 [[켤레류]]의 공간과 동형이다.

== 예 ==
[[유니터리 군]] <math>\operatorname U(n)</math>의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 [[대각 행렬]]로 구성되는 부분군이다.
:<math>T = \left\{\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\theta_1),\exp(\mathrm i\theta_2),\dotsc,\exp(\mathrm i\theta_n)) \colon \theta_1,\theta_2,\dotsc,\theta_n\in\mathbb R\right\} \le \operatorname U(n)</math>
[[특수 유니터리 군]] <math>\operatorname{SU}(n)</math>의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 [[대각 행렬]]로 구성되는 부분군이다.
:<math>T = \left\{\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\theta_1),\exp(\mathrm i\theta_2),\dotsc,\exp(\mathrm i\theta_{n-1}),\exp(-\mathrm i(\theta_1+\theta_2+\dotsb+\theta_{n-1})) \colon \theta_1,\theta_2,\dotsc,\theta_{n-1}\in\mathbb R\right\} \le \operatorname{SU}(n)</math>
[[특수 직교군]] <math>\operatorname{SO}(2n)</math>의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.
:<math>T = \left\{\operatorname{diag}(R(\theta_1),R(\theta_2),\dotsc,R(\theta_n))\colon \theta_1,\dotsc,\theta_n\in\mathbb R\right\} \le \operatorname{SO}(2n)</math>
여기서
:<math>R(\theta) = \begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\
-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}</math>
이다. [[특수 직교군]] <math>\operatorname{SO}(2n+1)</math>의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.
:<math>T = \left\{\operatorname{diag}(R(\theta_1),R(\theta_2),\dotsc,R(\theta_n),0_{1\times1})\colon \theta_1,\dotsc,\theta_n\in\mathbb R\right\} \le \operatorname{SO}(2n+1)</math>

== 같이 보기 ==
* [[카르탕 부분 대수]]
* [[브뤼아 분해]]
* [[바일 지표 공식]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|연도=1972|url=https://archive.org/details/introductiontoli00jame|이름=James E.|성=Humphreys|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=MaximalTorus|title=Maximal torus}}
* {{매스월드|id=MaximalToriTheorem|title=Maximal tori theorem}}
* {{nlab|id=maximal torus|title=Maximal torus}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]