극값 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|극점}}
[[파일:Extrema example original.svg|섬네일|함수f(x) = cos(3πx)/x, 0.1≤x≤1.1에서의 극값. 일부 극값은 최대/최솟값이기도 하다.]]
[[해석학 (수학)|해석학]]에서, [[함수]]의 '''극대점'''(極大點, {{llang|en|local maximum point}})은 주위의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. '''극댓값'''(極大값, {{llang|en|local maximum (value)}})은 극대점이 갖는 함숫값이다. 마찬가지로, 함수의 '''극소점'''(極小點, {{llang|en|local minimum point}})은 주위의 모든 점의 함숫값 이하의 함숫값을 갖는 점이며, '''극솟값'''(極小값, {{llang|en|local minimum (value)}})은 극소점이 갖는 함숫값이다. 극대점과 극소점을 통틀어 '''극점'''(極點, {{llang|en|local extremum point}})이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 '''극값'''({{llang|en|local extremum (value)}})이라고 한다. 기하학적으로, [[함수의 그래프]]는 극대점에서 위로 우뚝 솟아있으며, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져있다.

함수의 '''최대점'''(最大點, {{llang|en|global maximum point}})과 '''최소점'''(最小點, {{llang|en|global minimum point}})은 각각 정의역의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. '''최댓값'''(最大값, {{llang|en|global maximum (value)}})과 '''최솟값'''(最小값, {{llang|en|global minimum (value)}})은 각각 최대점과 최소점이 갖는 함숫값이다. 최댓값과 최솟값은 극댓값과 극솟값보다 더 강한 개념이다.

극댓값·극솟값·최댓값·최솟값은 [[최적화 문제]] 등에서 응용된다.

== 정의 ==
[[파일:GraphExample.svg|섬네일|300픽셀|함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>의 그래프. 최소점은 <math>A</math>, 최대점은 <math>J</math>, 극소점은 <math>E</math>, <math>G</math>, 극대점은 <math>B</math>, <math>D</math>, <math>F</math>, <math>J</math>.|대체글=폐구간 [a, b]에 정의된 실숫값 함수 f의 그래프. 대부분의 곳에서 매끄러운 곡선이나, 두 곳의 불연속점 존재. a부터 b까지 A~K의 알파벳이 매겨져있음. A의 x좌표는 a, K의 x좌표는 b. AB는 매끄럽게 상승하는 곡선. BC는 매끄럽게 하강하는 곡선. D는 C 바로 위에 있는 제거 가능 불연속점. CE는 매끄럽게 하강하는 곡선. EF는 매끄럽게 상승하는 곡선. FG는 하강하는 직선. GH는 상승하는 직선. I는 H 바로 위에 있는 비약 불연속점. IJ는 매끄럽게 상승하는 곡선. JK는 매끄럽게 하강하는 곡선.]]
다음이 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* 함수 <math>f\colon X\to\mathbb R</math>
그렇다면, 다음 조건을 만족시키는, <math>x\in X</math>의 근방 <math>x\in U\subseteq X</math>가 존재한다면, <math>x</math>를 <math>f</math>의 '''극대점'''이라고 하며, <math>f(x)</math>를 <math>f</math>의 '''극댓값'''이라고 한다.
* 임의의 <math>y\in U</math>에 대하여, <math>f(y)\le f(x)</math>
마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는, <math>x\in X</math>의 [[근방]] <math>x\in U\subseteq X</math>가 존재한다면, <math>x</math>를 <math>f</math>의 '''극소점'''이라고 하며, <math>f(x)</math>를 <math>f</math>의 '''극솟값'''이라고 한다.
* 임의의 <math>y\in U</math>에 대하여, <math>f(y)\ge f(x)</math>
또한, <math>x\in X</math>가 다음 조건을 만족시키면, <math>x</math>를 <math>f</math>의 '''최대점'''이라고 하며, <math>f(x)</math>를 <math>f</math>의 '''최댓값'''이라고 한다.
* 임의의 <math>y\in X</math>에 대하여, <math>f(y)\le f(x)</math>
마찬가지로, <math>x\in X</math>가 다음 조건을 만족시키면, <math>x</math>를 <math>f</math>의 '''최소점'''이라고 하며, <math>f(x)</math>를 <math>f</math>의 '''최솟값'''이라고 한다.
* 임의의 <math>y\in X</math>에 대하여, <math>f(y)\ge f(x)</math>
또한, 위의 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값의 정의에서 <math>y\ne x</math>인 경우에 한하여 부등호 <math>\le</math>와 <math>\ge</math>를 <math><</math>와 <math>></math>로 대신하면, '''엄격한 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값'''(嚴格한..., {{llang|en|strict ...}})의 정의를 얻는다.

유계인 닫힌 구간에서 함수가 연속이면 [[최대 최소 정리]]로 최대점,최소점은 항상 유일하게 존재한다.

극소점, 극대점은 존재하지 않을 수 있으며 극대점, 극소점이 최대점, 최소점과 다를 수 있다.

== 일계 도함수 판정법 ==
[[공역]]에 [[부분순서]]가 존재하는 모든 함수가 극대, 극소를 판정할 수 있지만 여기서는 편의상 [[공역]]이 [[실수]]집합 <math>\mathbb{R}</math>인 함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>를 생각하자.(여기서 <math>U</math>는 열린집합이다.) 만약 이 함수가 [[미분가능]]하고 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극값을 가진다면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{0}</math>이다. 즉, <math>\mathbf{x}_0</math>는 함수 <math>f</math>의 [[임계점 (수학)|임계점]]이다. 이렇게 [[임계점 (수학)|임계점]]을 통해 극값을 찾는 방법을 '''일계 도함수 판정법'''이라고 한다. 이때 미분 계수가 [[영행렬|0]]이기 위해서는 <math>1</math>부터 <math>n</math>까지의 모든 <math>i</math>에 대해 <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}=0</math>임을 알 수 있다. 다만, 극값을 가지기 위해서는 [[임계점 (수학)|임계점]]이어야 하지만 [[임계점 (수학)|임계점]]이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 위 그래프의 점 I나 점 K의 경우 [[임계점 (수학)|임계점]]이긴 하지만 극솟값이나 극댓값은 아니다.

=== 증명 ===
'''n=1일 때'''
:극댓값의 정의에 의하여 <math>x\in I\Rightarrow f\left( x\right)\le f\left( x_0\right)</math>를 만족하는 <math>x_0</math>를 포함하는 어떤 [[구간|개구간]] <math>I</math>가 존재한다. [[구간|개구간]]은 [[열린 집합]]이므로 <math>\left( x_0-\delta_1,x_0+\delta_1\right)\in I</math>를 만족하는 어떤 양의 실수 <math>\delta_1</math>이 존재한다. <math>f'\left( x_0\right)</math>가 존재하므로 이를 <math>K</math>라하자. 그렇다면 <math>\lim_{h\to 0}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=K</math>이다. <math>0<h<\delta_1</math>일 때 <math>\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}<0</math>이므로 <math>\lim_{h\to 0^+}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=K\le 0</math>이다.([[함수의 극한|극한]]의 성질 중 함수와 극한의 대소 문단 참고) 마찬가지로 <math>-\delta_1<h<0</math>일 때 <math>\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}>0</math>이므로 <math>\lim_{h\to 0^-}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=K\ge 0</math>이다. <math>K\ge 0</math>인 동시에<math>K\le 0</math>이므로 <math>K=0</math>이다. 극솟값의 경우도 마찬가지이다. 즉, 함수 <math>f</math>가 미분가능하고 <math>x_0</math>에서 극값을 가진다면 <math>f'\left( x_0\right) =0</math>이다.
'''모든 n에 대해'''
:임의의 벡터 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 함수 <math>g:U'\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>을 <math>g\left( t\right) =f\left(\mathbf{x}_0+t\mathbf{h}\right)</math>로 정의하자. 그렇다면 <math>g</math>는 <math>t=0</math>에서 극값을 가져야 한다. 위에서 증명했듯이 <math>g'(0)=0</math>이므로 [[연쇄법칙]]에 의하여 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}=0</math>이다. 임의의 <math>\mathbf{h}</math>에 대해 <math>0</math>이므로 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이다.

== 이계 도함수 판정법 ==
{{참고|헤세 행렬}}
함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>이 <math>C^3</math> 함수이고 <math>\mathbf{x}_0\in U</math>가 함수 <math>f</math>의 [[임계점 (수학)|임계점]]일 때, <math>\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}</math>가 [[양의 정부호]]이면, 즉 모든 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대하여 0 이상이고 <math>\mathbf{h}=\mathbf{0}</math>일때만 0이라면 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극소이다. 반대로 <math>\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}</math>가 [[음의 정부호]]이면, 즉 모든 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대하여 0 이하이고 <math>\mathbf{h}=\mathbf{0}</math>일때만 0이라면 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 '''이계 도함수 판정법'''이라고 한다.

여기서 <math>n=1</math>이라는 조금 특별하고 조금 더 익숙한 경우를 생각해보자. <math>n=1</math>이라면 <math>\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}=\frac{1}{2}f''\left( x_0\right) h^2</math>이므로 <math>f''\left( x_0\right) >0</math>일때만 [[양의 정부호]]이고 <math>f''\left( x_0\right) <0</math>일때만 [[음의 정부호]]이다. 즉, 일변수 함수의 이차 도함수 판정법은 단순히 <math>f''\left( x_0\right)</math>의 부호를 알아보는 것이다.

=== 증명 ===
'''보조정리''': 어떤 <math>n\times n</math> 실수행렬 <math>B=\left[ b_{ij}\right]</math>가 있을 때 이차 함수 <math>H:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\left( h_1,\dots h_n\right)\mapsto\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^nb_{ij}h_ih_j</math>를 정의하자. 만약 <math>H</math>가 [[양의 정부호]]라면 모든 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>가 <math>H\left(\mathbf{h}\right)\ge M\left\Vert\mathbf{h}\right \|^2</math>을 만족하는 양의 실수 <math>M</math>이 존재한다.
:(증명) <math>\left\Vert\mathbf{x}\right\| =1</math>인 <math>\mathbf{x}</math>에 대해 <math>H\left(\mathbf{x}\right)</math>는 [[연속함수|연속]]이므로 [[최대 최소 정리]]에 의하여 최솟값 <math>M</math>을 가진다. 이때 <math>H</math>가 [[양의 정부호]]이므로 <math>M>0</math>이다.<br />{{pad|3em}}<math>H</math>는 [[이차함수]]이므로 <math>\mathbf{0}</math>이 아닌 모든 <math>\mathbf{h}</math>에 대해 <math>H\left(\mathbf{h}\right) =H\left(\frac{\mathbf{h}}{\left\Vert\mathbf{h}\right\|}\left\Vert\mathbf{h}\right\|\right) =H\left(\frac{\mathbf{h}}{\left\Vert\mathbf{h}\right\|}\right)\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2\ge M\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2</math>가 성립한다. <math>\mathbf{h}=\mathbf{0}</math>일때는 자명하다.

<math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{0}</math>이므로 [[테일러 정리]]에 의하여 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) -f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+R_2\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{h}\right)</math>이다. 여기서 <math>\lim_{\mathbf{h}\to\mathbf{0}}\frac{R_2\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{h}\right)}{\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2}=0</math>이다. 만약 <math>\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}</math>가 [[양의 정부호]]라면 '''보조 정리'''에 의하여 <math>\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}\ge M\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2</math>를 만족하는 양의 실수 <math>M</math>이 존재하며 [[함수의 극한|극한]]의 정의에 의하여 <math>0<\left\Vert\mathbf{h}\right\| <\delta\Rightarrow\| R_2\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{h}\right)\| <M\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2</math>을 만족하는 양의 실수 <math>\delta</math>가 존재한다. 따라서 <math>0<\left\Vert\mathbf{h}\right\| <\delta</math>일 때 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) -f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+R_2\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{h}\right) >0</math>, 즉 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) >f\left(\mathbf{x}_0\right)</math>이다. 그러므로 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극소이다. 비슷한 방식으로 <math>\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}</math>가 [[음의 정부호]]이면 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극대이다.

=== 헤세 행렬식과의 관계 ===
[[파일:Hessian Determinant.svg|프레임|그림과 같은 대각선상에 위치한 부분행렬들의 [[행렬식]]들이 이차 도함수 판정법에 이용된다.]]
[[헤세 행렬]]에서 그림과 같이 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 <math>\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}</math>가 [[양의 정부호]]이고 음과 양이 번갈아서 나올 경우 [[음의 정부호]]이다. 즉, 이차 도함수 판정법에 따라서 부분 행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극소이고 부분행렬들의 행렬식이 음과 양이 반복될 경우 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극대이다. 만약 두 경우 모두 아니라면 [[임계점 (수학)|임계점]] <math>\mathbf{x}_0</math>는 [[안장점]]으로 극대이지도 극소이지도 않다.

예를 들어, 이변수 함수 <math>f\left( x,y\right) :U\sub\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math>이고 <math>C^3</math>함수일 경우 만약 <math>\left( x_0,y_0\right)</math>에서 극소라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.
# <math>\frac{\partial f}{\partial x}\left( x_0,y_0\right) =\frac{\partial f}{\partial y}\left( x_0,y_0\right) =0</math>
# <math>\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left( x_0,y_0\right) >0</math>
# <math>\left( x_0,y_0\right)</math>에서 <math>D=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)\left(\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\right) -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right)^2>0</math> 이때 <math>D</math>는 <math>f</math>의 [[헤세 행렬]]의 [[행렬식]]이다.
마찬가지로 <math>\left( x_0,y_0\right)</math>에서 극대라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.
# <math>\frac{\partial f}{\partial x}\left( x_0,y_0\right) =\frac{\partial f}{\partial y}\left( x_0,y_0\right) =0</math>
# <math>\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left( x_0,y_0\right) <0</math>
# <math>\left( x_0,y_0\right)</math>에서 <math>D>0</math>
그리고 <math>\left( x_0,y_0\right)</math>가 이 조건들을 만족시키지 않는 임계점이라면, 즉, <math>\left( x_0,y_0\right)</math>에서 <math>D<0</math>라면 <math>\left( x_0,y_0\right)</math>는 [[안장점]]이다.

만약 <math>D=0</math>이라면 이차 도함수 판정법만으로는 극대와 극소를 판별할 수 없는데, 이때 <math>D=0</math>인 [[임계점 (수학)|임계점]]을 '''퇴화 극점''' 또는 '''변질 극점'''이라고 말한다. 반대로 이차 도함수 판정법으로 극대, 극소, 안장점인지의 여부를 판별할 수 있는 <math>D\ne 0</math>인 [[임계점 (수학)|임계점]]을 '''정상적인 임계점''' 또는 '''비퇴화 임계점'''이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[최대 최소 정리]]
* [[라그랑주 승수법]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |isbn=0-495-38362-7 |제목=Calculus(Metric International Version, 6th Edition) |저자=James Stewart |출판사=Brooks/Cole, Cengage Learning |연도=2009}}
* {{서적 인용 |isbn=0-7167-4992-0 |제목=Vector Calculus(Fifth Edition) |저자=Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba |출판사=W. H. Freeman and Company |연도=2003}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Extremum}}
* {{eom|title=Maximum and minimum points}}
* {{매스월드|id=Extremum|title=Extremum}}
* {{매스월드|id=Maximum|title=Maximum}}
* {{매스월드|id=Minimum|title=Minimum}}
* {{매스월드|id=LocalExtremum|title=Local Extremum}}
* {{매스월드|id=LocalMaximum|title=Local Maximum}}
* {{매스월드|id=LocalMinimum|title=Local Minimum}}
* {{매스월드|id=GlobalExtremum|title=Global Extremum}}
* {{매스월드|id=GlobalMaximum|title=Global Maximum}}
* {{매스월드|id=GlobalMinimum|title=Global Minimum}}
* {{nlab|id=extremum|title=Extrema}}
* {{플래닛매스|urlname=extremum|title=Extremum}}
* {{proofwiki|id=Definition:Local Maximum|제목=Definition:Local maximum}}
* {{proofwiki|제목=Definition:Extremum/Functional}}
* {{proofwiki|id=Definition:Functional/Weak Extremum|제목=Definition:Functional/Weak extremum}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:수학적 최적화]]
[[분류:미적분학]]