그린 정리 문서 원본 보기

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[[미적분학]]에서 '''그린 정리'''({{llang|en|Green’s theorem}})는 평면 [[영역 (해석학)|영역]] 위의 [[이중 적분]]과, 그 영역의 경계선 위의 [[선적분]] 사이의 관계에 대한 [[정리]]이다. [[스토크스 정리]]의 특수한 경우다.

== 정의 ==
[[연속 미분 가능 함수]] <math>(P,Q)\colon D\to\mathbb R^2</math>의 정의역 <math>D\subseteq\mathbb R^2</math>가 어떤 [[유계 집합|유계]] [[영역 (해석학)|영역]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]라고 하자. 또한, 경계선 <math>\partial D</math>가 양의 [[방향 (다양체)|방향]]을 가지며, 유한 개의 조각마다 [[매끄러운 다양체|매끄러운]] [[단순 닫힌곡선]]들로 이루어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립하며, 이를 '''그린 정리'''라고 한다.
:<math>\oint_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy</math>
만약 <math>D</math>가 [[단일 연결 공간]]이라면, <math>\partial D</math>는 하나의 단순 닫힌곡선이며, 그 방향은 반시계 방향이다. 만약 <math>D</math>가 단일 연결 공간이 아니라면, <math>\partial D</math>는 여러 개의 단순 닫힌곡선이며, 가장 바깥쪽의 하나는 반시계 방향, 남은 곡선들은 시계 방향이다.

그린 정리는 [[곡면]] 위의 [[면적분]]과 그 경계선 위의 [[선적분]]의 관계에 대한 정리인 [[켈빈-스토크스 정리]]의 특수한 경우이다.

== 예시 ==
평면위의 각 점마다 벡터가 다음과 같이 할당되어 있다.<ref>{{서적 인용 |성1=George B. |이름1=Thomas |저자링크= |공저자= |성2=Ross L. |이름2=Finney |제목=Calculus and Analytic Geometry |edition=9 |연도= 1999 |출판사=ADDISON WESLEY |위치= |ISBN=978-0-201-35036-4|쪽=1136}}</ref>
:<math>\mathbf{F}(x,y) = (x-y)\mathbf{i} + x\mathbf{j}</math>
적분영역 <math>D</math>는 원점을 중심으로 반지름이 1인 [[단위원]]이다.
:<math>\mathbf{r}(t) = (\cos t)\mathbf{i} + (\sin t)\mathbf{j}</math>

이 벡터함수에 대해 그린정리의 좌변과 우변을 각각 계산하여 등식이 성립하는지 확인한다.

=== 우변 ===
벡터함수의 편미분들을 계산한다.
:<math>\frac{\partial F_1}{\partial y} = -1,\,\frac{\partial F_2}{\partial x} = 1</math>
:<math>\iint_{D} \left( \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} \right)dA = \iint_{D} (1-(-1))dxdy = 2\iint_{D} dxdy = 2\pi</math>
마지막의 등식이 성립하는 이유는 이중적분이 그냥 면적이 되기 때문이다.

=== 좌변 ===
원위의 점을 따라가며 형성되는 벡터함수 값을 찾는다.
:<math>F_1 = \cos t - \sin t,\, F_2 = \cos t</math>
[[선적분]]에 필요한 [[연쇄법칙]](Chain rule)을 계산한다.
:<math>dx = d(\cos t) = -\sin t dt, \, dy = d(\sin t) = \cos t dt</math>
반시계 방향으로 회전하며 우변을 적분한다.
:<math>\int_{C}{F_1 dx + F_2 dy} = \int_{t=0}^{t=2\pi}(\cos t - \sin t)(-\sin t dt)+(\cos t)(\cos t dt) = \int_{0}^{2\pi}(-\sin t \cos t +1)dt = 2\pi</math>
좌변과 우변이 같음을 확인할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* 그린의 항등식

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=그린 정리}}
* {{매스월드|id=Green'sTheorem|title=Green's theorem}}
* {{매스월드|id=CurlTheorem|title=Curl theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=greenstheorem|title=Green's theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfGreensTheorem|title=Proof of Green's theorem}}
* {{proofwiki|id=Green's Theorem|제목=Green's theorem}}

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:수리물리학]]