그람 행렬 문서 원본 보기

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다음은 '''그람 행렬'''에 관한 설명이다.

실수체에서 정의하는경우 , [[예르겐 페데르센 그람|그람]] 매트릭스(그람 행렬) G는 어떤 [[벡터]] M 과 그들의 집합 V를 예약했을때, 이들의 [[내적]] [[곱집합|곱]]의 모든 경우의 [[행렬]] 표현이다.
즉,

G<sub>(ij)</sub> = V<sub>i</sub><sup>(T)</sup> V<sub>j</sub>

□<sup>(T)</sup>는 [[전치행렬|전치]]

== 그람 행렬식 ==
그람 행렬식(Gram determinant)은 그람 행렬(Gram matrix)의 행렬식이다.
:<math>G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} \langle x_1,x_1\rangle & \langle x_1,x_2\rangle &\dots & \langle x_1,x_n\rangle\\
 \langle x_2,x_1\rangle & \langle x_2,x_2\rangle &\dots & \langle x_2,x_n\rangle\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
 \langle x_n,x_1\rangle & \langle x_n,x_2\rangle &\dots & \langle x_n,x_n\rangle\end{vmatrix}</math>

그람 행렬식은 또한 벡터의 [[외적]] [[외대수|대수]]로 표현될 수 있다.
:<math>G(x_1,\dots,x_n) = \| x_1\wedge\cdots\wedge x_n\|^2</math>

그램 행렬은 [[등거리변환]]에서 벡터 V<sub>i</sub>를 결정한다.


== 정부호행렬 <math>M</math>에 대한 성질 ==
복소수체에서 <math>n \times n</math> 복소수 양의 [[정부호행렬]] <math>M</math>에 대해 다음의 성질이 성립한다.
* 어떠한 [[선형 독립]]인 벡터 <math>x_1, \cdots, x_n</math>가 존재할때, <math>M_{ij} = x_i^*x_j</math>가 성립한다면 <math>M</math>은 그람행렬이다.
* □<sup>*</sup>는 [[켤레전치]]
* [[고윳값]]이 모두 양수이다.

== 같이 보기 ==
* [[에르미트행렬]]
* [[해밀턴 행렬]]
* [[공분산행렬]]
* [[궤도겹침행렬]]

== 참고 ==
* {{springer|title=Gram matrix|id=p/g044750}}
* ''[http://www.owlnet.rice.edu/~fjones/chap8.pdf Volumes of parallelograms] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20200113161813/http://www.owlnet.rice.edu/~fjones/chap8.pdf}}'' by Frank Jones
* [http://mathworld.wolfram.com/GramMatrix.html 매스월드]

[[분류:행렬]]
[[분류:체계 이론]]