그람-슈미트 과정 문서 원본 보기

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[[파일:Gram–Schmidt process.svg|thumb|300px|그람-슈미트 과정의 기본 원리]]
'''그람-슈미트 과정'''(Gram-Schmidt過程, {{llang|en|Gram-Schmidt process}}) 또는 '''그람-슈미트 단위직교화'''(Gram-Schmidt單位直交化, {{llang|en|Gram-Schmidt orthonormalization}})는 [[내적공간]]에서 유한 개의 [[일차독립]] 벡터 집합을 [[정규 직교 기저]]로 변환하는 방법이다. <math>\mathbf{v}</math>에서 <math>\mathbf{u}</math> 위로 정사영한 <math>\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,(\mathbf{v})</math>를 빼서 [[직교 성분]]을 구할 수 있다는 것을 이용한 것이다.

== 과정 ==
[[파일:Gram-Schmidt orthonormalization process.gif|frame|right|그람-슈미트 과정의 시각화]]
[[내적공간]] <math>V</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_k\}</math>이 주어졌다고 하자. [[사영 연산자]]를 다음과 같이 정의한다.
:
:<math>\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,(\mathbf{v}) = {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}</math>
:
:<math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle</math>는 벡터  '''u''' 와 '''v'''에 대한 [[내적 공간|내적]]이고, <math>\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \mathbf{u}^\top \mathbf{v}</math> (혹은 <math>\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \mathbf{u}^* \mathbf{v}</math>) 로 정의된다.
:
먼저 각 벡터 <math>\mathbf{v}_i</math>를 <math>\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_{i-1}</math>와 직교적인 벡터 <math>\mathbf{u}_i</math>으로 만든다. 구체적으로는 다음과 같은 연산을 거친다.
:<math>\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1</math>
:<math>\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,(\mathbf{v}_2)</math>
:<math>\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,(\mathbf{v}_3)-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,(\mathbf{v}_3)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,(\mathbf{v}_k)</math>
이렇게 생성된 <math>\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_k\}</math> 집합은 직교적이다. 이제, 벡터 <math>\mathbf{e}_i</math>를
:<math>\mathbf{e}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{\|\mathbf{u}_i\|}</math>
로 정의하면 <math>V</math>의 [[정규 직교 기저]] <math>\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_k\}</math>를 얻는다.
:<math>{\|{ }\|}</math>는 [[노름]]

== 역사 ==
원래 [[피에르시몽 라플라스]]와 [[오귀스탱 루이 코시|오귀스탱루이 코시]]의 논문에 등장하였다. 이후 덴마크의 [[예르겐 페데르센 그람]]({{llang|da|Jørgen Pedersen Gram}})과 독일계 에스토니아 태생의 [[에르하르트 슈미트]]({{llang|de|Erhard Schmidt}})가 명시적으로 이를 다루었으며, 이들의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[QR 분해]]
* [[이와사와 분해]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Orthogonalization}}

{{선형대수학}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:함수해석학]]