균등 수렴 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[해석학 (수학)|해석학]] 및 [[일반위상수학]]에서 '''균등 수렴'''(均等收斂, {{llang|en|uniform convergence}}) 또는 '''고른 수렴''' 또는 '''평등 수렴'''(平等收斂) 또는 '''일양 수렴'''(一樣收斂)은 함수열이 모든 점에서 “동일한 속도”로 주어진 함수로 수렴하는 성질이다. [[점별 수렴]]보다 더 강한 개념이며, 점별 수렴이 보존하지 않는 여러 성질을 보존한다. 예를 들어, [[연속 함수]]의 열의 균등 극한은 연속 함수다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[집합]] <math>X</math>
* [[균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>
* [[함수]]의 [[그물 (수학)|그물]] <math>(f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}</math>
* [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>
만약 이들이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>(f_n)_{n\in N}</math>이 <math>f</math>로 '''균등 수렴'''한다고 하며, <math>f</math>를 <math>(f_n)_{n\in N}</math>의 '''균등 극한'''이라고 한다.
* 임의의 측근 <math>\epsilon\in\mathcal E_Y</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>N_\epsilon\in N</math>이 존재한다.
** 임의의 <math>n\gtrsim N_\epsilon</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f_n(x)\approx_\epsilon f(x)</math>
이는 흔히
:<math>f_n\rightrightarrows f</math>
라고 쓴다. 예를 들어, 만약 <math>Y=\mathbb R</math>가 [[실수선]]이며, 함수의 그물 <math>(f_n\colon X\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}</math>이 실수 값 함수의 열이라면, 이 조건은 다음과 같다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon\in\mathbb N</math>이 존재한다.
** 임의의 <math>n\ge N_\epsilon</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>|f_n(x)-f(x)|\le\epsilon</math>

사실, 균등 수렴은 함수 집합 <math>Y^X</math>의 [[균등 수렴 위상]]에서의 [[수렴]]이다. 특히, <math>Y=\mathbb R</math>인 경우, 균등 수렴은 <math>\mathbb R^X</math> 위에 [[균등 거리 함수]]
:<math>d(f,g)=\sup_{x\in X}|f(x)-g(x)|</math>
로부터 유도되는 위상에 대한 수렴이다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
[[집합]] <math>X</math>를 [[정의역]]으로 하고 [[균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>를 [[공역]]으로 하는 [[함수]]의 [[그물 (수학)|그물]] <math>(f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}</math>이 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>로 균등 수렴한다면, <math>(f_n)_{n\in N}</math>은 <math>f</math>로 [[점별 수렴]]한다.

[[집합]] <math>X</math>를 [[정의역]]으로 하고 [[아벨 군|아벨]] [[위상군]] <math>(Y,+)</math>를 [[공역]]으로 하는 함수열 <math>(f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}</math>의 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>이 균등 수렴한다면, <math>(f_n)_{n\in\mathbb N}</math>는 상수 함수 <math>0\colon X\to Y</math>로 균등 수렴한다.

[[집합]] <math>X</math>를 [[정의역]]으로 하고 [[완비 균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>를 [[공역]]으로 하는 [[함수]]의 [[그물 (수학)|그물]] <math>(f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]다.
* <math>f_n</math>은 균등 수렴한다.
* <math>f_n</math>은 (<math>Y^X</math>의 [[균등 수렴 균등 구조]]에 대하여) [[코시 그물]]이다. 즉, 임의의 측근 <math>\epsilon\in\mathcal E_Y</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>N_\epsilon\in N</math>이 존재한다.
** 임의의 <math>m,n\gtrsim N_\epsilon</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f_m(x)\approx_\epsilon f_n(x)</math>
(표준적인 균등 구조를 갖춘) [[실수선]] <math>Y=\mathbb R</math>은 [[완비 균등 공간]]이다. 또한, 함수의 열 <math>(f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}</math>은 그물의 특수한 경우다. 이 경우, 코시 그물 조건은 다음과 같다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon\in\mathbb N</math>이 존재한다.
** 임의의 <math>m,n\ge N_\epsilon</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>|f_m(x)-f_n(x)|\le\epsilon</math>
만약 <math>Y</math>의 완비성을 가정하지 않는다면, 균등 수렴하는 함수 그물은 코시 그물이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, <math>X</math>가 [[한원소 집합]]인 경우를 생각할 수 있다.

균등 수렴을 위한 다양한 [[수렴 판정법]]이 존재한다.
* [[바이어슈트라스 M-판정법]]
* 균등 수렴에 대한 [[디리클레 판정법]]
* 균등 수렴에 대한 [[아벨 판정법]]

=== 연속 함수의 보존 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>를 [[정의역]]으로 하고 [[균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>를 [[공역]]으로 하는 [[연속 함수]]의 [[그물 (수학)|그물]] <math>(f_n\colon X\to Y)_{n\in(N,\lesssim)}</math>이 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>로 균등 수렴한다면, <math>f</math> 역시 [[연속 함수]]다.
{{증명}}
임의의 <math>x_0\in X</math> 및 임의의 측근 <math>\epsilon\in\mathcal E_Y</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[열린 근방]] <math>U\ni x_0</math>을 찾아야 한다.
* 임의의 <math>x\in U</math>에 대하여, <math>f(x)\approx_\epsilon f(x_0)</math>
다음을 만족시키는 측근 <math>\epsilon/3\in\mathcal E_Y</math>을 고르자.
:<math>(\epsilon/3)\circ(\epsilon/3)\circ(\epsilon/3)\subset\epsilon</math>
:<math>(\epsilon/3)^{-1}=\epsilon/3</math>
가정에 따라, 다음을 만족시키는 <math>N_\epsilon\in N</math>이 존재한다.
* 임의의 <math>n\gtrsim N_\epsilon</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f_n(x)\approx_{\epsilon/3}f(x)</math>
<math>f_{N_\epsilon}</math>은 [[연속 함수]]이므로, 다음을 만족시키는 [[열린 근방]] <math>U\ni x_0</math>이 존재한다.
* 임의의 <math>x\in U</math>에 대하여, <math>f_{N_\epsilon}(x)\approx_{\epsilon/3}f_{N_\epsilon}(x_0)</math>
이에 따라, 임의의 <math>x\in U</math>에 대하여,
:<math>f(x)\approx_{\epsilon/3}f_{N_\epsilon}(x)\approx_{\epsilon/3}f_{N_\epsilon}(x_0)\approx_{\epsilon/3}f(x_0)</math>
이므로
:<math>f(x)\approx_\epsilon f(x_0)</math>
이다.
{{증명 끝}}

반대로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 공간]] <math>X</math>
* [[연속 함수]]의 [[단조함수|단조]] [[그물 (수학)|그물]] <math>(f_n\colon X\to\mathbb R)_{n\in(N,\lesssim)}</math>. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
** (연속 함수의 그물) 모든 <math>f_n</math>은 [[연속 함수]]다.
** (단조 그물) 임의의 <math>x\in X</math> 및 <math>n\lesssim n'</math>에 대하여, <math>f_n(x)\le f_{n'}(x)</math>
* [[연속 함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>
'''[[디니 정리]]'''에 따르면, 만약 <math>f_n</math>이 <math>f</math>로 [[점별 수렴]]한다면, <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 균등 수렴한다. 이는 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]이라고 가정하지 않으면 참이 아니다. 예를 들어, [[연속 함수]]의 단조열 <math>(x\mapsto x^n)\colon(0,1)\to\mathbb R</math> (<math>n\in\mathbb N</math>)은 [[연속 함수]] 0으로 [[점별 수렴]]하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 단조 그물의 가정 역시 필수적이다. 예를 들어, [[연속 함수]]의 열 <math>(x\mapsto nx\exp(-nx^2))\colon[0,1]\to\mathbb R</math>은 [[연속 함수]] 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다.
{{증명}}
임의의 양의 실수 <math>\epsilon\in\mathbb R^+</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>n\in N</math>에 대하여,
:<math>K_{\epsilon,n}=\{x\in X\colon|f(x)-f_n(x)|\ge\epsilon\}\subseteq X</math>
라고 정의하자. <math>K_{\epsilon,n}</math>은 [[콤팩트 공간]] <math>X</math>의 [[닫힌집합]]이며, 따라서 [[콤팩트 집합]]이다. 임의의 <math>n\lesssim n'</math>에 대하여,
:<math>|f(x)-f_n(x)|=f(x)-f_n(x)\gtrsim f(x)-f_{n'}(x)=|f(x)-f_{n'}(x)|</math>
이므로, <math>K_n\supset K_{n'}</math>이다. 따라서 <math>(K_{\epsilon,n})_{n\in N}</math>은 [[하향 집합]]을 이룬다. 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>(f_n(x))_{n\in N}</math>이 <math>f(x)</math>로 수렴하므로, <math>x\not\in K_{\epsilon,n}</math>인 <math>n\in N</math>이 존재한다. 즉, <math>\textstyle\bigcap_{n\in N}K_{\epsilon,n}=\varnothing</math>이다. [[칸토어 교점 정리]]에 따라, <math>K_{\epsilon,N_\epsilon}=\varnothing</math>인 <math>N_\epsilon\in N</math>이 존재한다. 하향성에 따라, 임의의 <math>n\gtrsim N_\epsilon</math>에 대하여 <math>K_{\epsilon,n}=\varnothing</math>이다. 즉, <math>(f_n)_{n\in N}</math>은 <math>f</math>로 균등 수렴한다.
{{증명 끝}}

=== 적분과의 호환 ===
[[리만 적분 가능 함수]]의 열 <math>(f_n\colon[a,b]\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}</math>이 [[함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>로 균등 수렴한다면, <math>f</math> 역시 [[리만 적분 가능 함수]]이며, 또한
:<math>\int_a^bf\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n\,dx</math>
이다.

=== 미분과의 호환 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[미분 가능 함수]]의 열 <math>(f_n\colon[a,b]\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}</math>
* [[함수]] <math>g\colon[a,b]\to\mathbb R</math>
또한, 이들이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)\in\mathbb R</math>이 존재하는 <math>x_0\in[a,b]</math>가 존재한다.
* <math>f_n'</math>은 <math>g</math>로 균등 수렴한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
* <math>f_n</math>은 어떤 [[미분 가능 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>로 균등 수렴한다.
* <math>f'=g</math>

=== 정칙 함수의 보존 ===
[[복소평면]]의 [[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb C</math>를 [[정의역]]으로 하는 [[복소수]] 값 [[정칙 함수]]의 열 <math>(f_n\colon U\to\mathbb C)_{n\in\mathbb N}</math>이 [[함수]] <math>f\colon U\to\mathbb C</math>로 균등 수렴한다면, <math>f</math>는 [[정칙 함수]]다. 이는 [[모레라 정리]]의 따름정리다.

== 예 ==
함수열
:<math>f_n\colon[0,1]\to\mathbb R\qquad(n\in\mathbb Z^+)</math>
을 생각하자. 만약
:<math>f_n(x)=x/n\qquad(\forall n\in\mathbb Z^+,\;x\in[0,1])</math>
라면, <math>f_n</math>은 0으로 균등 수렴한다. 반면, 만약
:<math>f_n(x)=x^n\qquad(\forall n\in\mathbb Z^+,\;x\in[0,1])</math>
라면, <math>f_n</math>은 함수
:<math>f\colon[0,1]\to\mathbb R</math>
:<math>f(x)=\begin{cases}0&x\in[0,1)\\1&x=1\end{cases}</math>
로 [[점별 수렴]]하지만, 균등 수렴하지 않는다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성1=Bourbaki
|이름1=Nicolas
|제목=General topology. Chapters 1–4
|언어=en
|판=Reprint of the 1966 edition
|총서=Elements of Mathematics (Berlin)
|출판사=Springer-Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-540-19374-X
|mr=0979294
|zbl=0683.54003
}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=UniformConvergence|title=Uniform convergence}}
* {{eom|title=Uniform convergence}}

{{급수}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:일반위상수학]]
[[분류:급수]]
[[분류:수렴]]