균등 비압축성 오일러 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[유체 동역학]]에서, '''균등 비압축성 오일러 방정식'''(均等非壓縮性Euler方程式, {{llang|en|homogeneous incompressible Euler's equations}})은 비압축성 비점성 유체를 다루는 [[편미분 방정식]]이다. 보다 일반적인 [[오일러 방정식]]에서, 유체의 밀도가 [[상수 함수]]인 경우이다.

== 정의 ==
[[리만 계량]]을 갖춘 [[경계다양체]] <math>(M,g)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 '''균등 비압축성 오일러 방정식'''은 어떤 시간 의존 스칼라장
:<math>p \colon \mathbb R \times M \to \mathbb R</math>
:<math>p \colon (t,x) \mapsto p(t,x)</math>
과 시간 의존 [[벡터장]]
:<math>u \colon \mathbb R \times M \to \mathrm TM</math>
:<math>u \colon (t,x) \mapsto u(t,x) \in \mathrm T_xM</math>
에 대한, 다음과 같은 1차 [[편미분 방정식]]이다.<ref name="DKN">{{서적 인용|장=Integrable systems Ⅰ|이름=B. A. | 성=Dubrovin | 이름2=I. M. | 성2=Krichever | 이름3=S. P. | 성3=Novikov | 날짜=2001| 장url=http://www.mi-ras.ru/~snovikov/98.pdf | translator-first = G. | translator-last = Wasserman | 총서= Encyclopaedia of Mathematical Sciences |제목=Dynamical Systems Ⅳ | editor1-first=V. I.|editor1-last=Arnold | editor2-first=S. P.|editor2-last=Novikov| doi=10.1007/978-3-662-06791-8_3 | 출판사=European Mathematical Society | 언어=en}}</ref>{{rp|Example 3}}<ref name="KW">{{서적 인용|제목=The geometry of infinite-dimensional groups | 이름=Boris | 성=Khesin | 이름2=Robert | 성2=Wendt | 출판사=Springer-Verlag | doi=10.1007/978-3-540-77263-7 | 총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | 권=51 |isbn= 978-3-540-77262-0 | 날짜=2009| 언어=en}}</ref>{{rp|90, §3.2, (3.22)}}
:<math>\left(\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla_u\right)u = -(\mathrm dp)^\sharp</math>
:<math>\mathcal L_u \operatorname{vol} = 0</math>
:<math>u \restriction \partial M \in \Gamma(\mathrm T\partial_M)</math>
여기서
* <math>(-)^\sharp \colon \Omega^1(M) \to \mathfrak{Vect}(M)</math>은 [[음악 동형]]의 하나이며, [[1차 미분 형식]]을 [[벡터장]]으로 대응시킨다. 즉, <Math>(\mathrm dp)^\sharp</math>는 스칼라장 <math>p</math>의 [[기울기 (벡터)|기울기]] [[벡터장]]이다. 이 연산을 정의하려면 [[리만 계량]]이 필요하다.
* <math>\operatorname{vol}</math>은 [[리만 계량]] <math>g</math>로 정의된 [[부피 형식]]이다. (만약 <math>M</math>이 [[비가향 다양체]]라도 이는 국소적으로 정의되며, [[방향 (다양체)|방향]]은 중요하지 않다.)
* <math>\mathcal L_u</math>는 (국소적으로 정의된 [[미분 형식]]의) [[리 미분]]이다.
* 방정식 <math>\partial L_u\operatorname{vol} = 0</math>은 [[벡터장]] <math>u</math>의 [[발산 (벡터)|발산]]이 0임을 뜻한다.
* <math>\partial M</math>은 [[경계다양체]] <math>M</math>의 경계이다.
* <math>\mathrm T\partial M</math>은 경계 <Math>\partial M</math>의 [[접다발]]이다. <math>\Gamma(\mathrm T\partial M)</math>은 그 [[단면 (올다발)|단면]]의 집합이며, 이는 <math>M</math>의 경계에 평행한 접벡터들로 구성된다.
* <math>u \restriction \partial M \in \Gamma(\mathrm T\partial M)</math>은 경계다양체 <math>M</math> 위에 정의된 벡터장 <math>u</math>가 <math>M</math>의 경계 <math>\partial M</math>에서 경계와 평행함을 뜻한다.
<math>p</math>는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는 <math>p</math>의 [[도함수]]만이 등장하므로, 만약 어떤 상수 <math>p_0</math>에 대하여 <math>p(t,x) \mapsto p(t,x) + p_0</math>와 같이 치환하더라도 <math>v</math>의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 [[발산 (벡터)|무발산]] 벡터장 <math>v</math>가 주어지면), <math>p</math>는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다.

=== 물리학적 해석 ===
이 방정식은 물리학적으로 다음과 같이 해석된다.
{| class=wikitable
! 기호 || 물리학적 해석 || 단위
|-
| <math>M</math> || 유체가 존재하는 공간 || [길이]
|-
| <math>\partial M</math> || 유체가 존재하는 공간의 벽 || [길이]
|-
| <math>\mathbb R</math> || 시간 || [시간]
|-
| <math>u(t,x)</math> || 시각 <math>t\in\mathbb R</math>에서, 위치 <math>x\in M</math>에서의 유체의 속도 || [길이] [시간]<sup>&minus;1</sup>
|-
| <math>p(t,x)</math> || 압력 ÷ 밀도 || [길이]<sup>2</sup> [시간]<sup>&minus;2</sup>
|-
| <math>\frac\partial{\partial t}+\nabla_v</math> || 물질 미분({{llang|en|material derivative}}) <math>\mathrm D</math>. 공간의 절대 좌표 대신, 공간 속을 움직이는 주어진 유체 입자에 대한 미분 || [시간]<sup>&minus;1</sup>
|-
| <math>\left(\frac\partial{\partial t}+\nabla_v\right) = -(\mathrm dp)^\sharp</math>
| colspan=2 | 유체의 입자에 대한 [[뉴턴의 제2법칙]]. 즉, 단위 부피 속의 유체 입자의 가속도는 이에 가해진 힘 ÷ 질량에 비례함
|-
| <math>\mathcal L_u \operatorname{vol} = 0</math>
| colspan=2 | 유체의 소용돌이도(와도, 渦度, {{llang|en|vorticity}})가 0임. 즉, 소용돌이가 존재하지 않음
|-
| <math>u \restriction \partial M \in \Gamma(\mathrm T\partial M)</math>
| colspan=2 | 유체가 벽에 힘을 가하지 않음
|}

물리학에서는 보통 압력 <math>p(t,x)</math>를 [[중력 퍼텐셜]] <math>\phi</math>와 질량당 [[일 (물리)|일]] <math>w</math>로 구분한다.
:<math>p(t,x) = \phi(t,x) + w(t,x)</math>
즉,
:<math>-(\mathrm dp)^\sharp = -(\mathrm dw)^\sharp + g</math>
이다. 여기서 <math>g = -(\mathrm d\phi)^\sharp</math>는 [[중력 퍼텐셜]] <math>\phi</math>에 대응하는 [[중력장]]이다.

=== 측지선 방정식으로의 형태 ===
오일러 방정식은 어떤 무한 차원 다양체 위의 [[측지선 방정식]]으로 표현될 수 있다.<ref name="KW"/>{{rp|90, Remark Ⅱ.3.6}}

구체적으로, <math>(M,g)</math>이 콤팩트 리만 [[경계다양체]]라고 하고, <math>M</math>의 [[자기 동형|자기]] [[미분 동형]]
:<math>f\colon M \to M</math>
:<math>f(\partial M)\to (\partial M)</math>
들의 공간
:<math>\operatorname{Diff}(M) = \mathcal C^\infty(M,M)</math>
을 생각하자. 이는 [[프레셰 다양체]]를 이루는 [[리 군]]이다. 그 [[실수 리 대수]]는 <math>M</math> 위의 [[벡터장]]의 [[리 대수]]
:<math>\mathfrak{Vect}(M)</math>
이다. 이는 [[리만 계량]]으로부터 [[양의 정부호]] [[이차 리 대수]]를 이룬다. 따라서, 이로부터 <math>\mathcal C^\infty(M,M)</math> 위에 오른쪽 평행 이동 불변 [[리만 계량]]을 부여할 수 있다.

<math>\operatorname{Diff}(M)</math> 가운데, 부피를 보존하는 미분 동형들로 구성된 부분군
:<math>\operatorname{SDiff}(M) \subseteq \operatorname{Diff}(M)</math>
:<math>\operatorname{SDiff}(M) = \{f \in \operatorname{Diff}(M)\colon f^*\left|\operatorname{vol}\right| = \left|\operatorname{vol}\right|\}</math>
이다. 여기서 <math>\left|\operatorname{vol}\right| = \sqrt{\det g}\,\mathrm d^{\dim M}x</math>은 [[리만 계량]] <math>g</math>로 주어지는 부피 밀도이다. 이에 대응되는 [[실수 리 대수]]는
:<math>\mathfrak{SVect}(M) = \{u\in \mathfrak{Vect}(M) \colon \mathcal L_u\left|\operatorname{vol}\right| = \left|\operatorname{vol}\right|,\;u\restriction \partial M \in\mathfrak{Vect}(\partial M)\}</math>
이며, 이는 [[발산 (벡터)|발산]]이 0인 [[벡터장]]들의 [[부분 리 대수]]이다. 그 연속 쌍대 공간의 매끄러운 부분 공간은 다음 공간과 표준적으로 동형이다.
:<math>\mathfrak{SVect}(M)^* \cong \Omega^1(M) / \mathrm d\Omega^0(M)</math>
여기서 <math>\Omega^i(M)</math>는 [[미분 형식]]의 공간이다. 사실, [[리만 계량]]의 [[음악 동형]]을 사용하면, 동치류 공간 <math>\Omega^1(M) / \mathrm d\Omega^0(M)</math>의 각 [[동치류]]에서 표준적인 대표원을 고를 수 있다.

이제, <math>\mathfrak{SVect}(M)</math> 위에 다음과 같은 불변 [[양의 정부호 이차 형식]]을 부여할 수 있다.
:<math>\langle v|v\rangle = \frac12\int_M g(v,v)\,\left|\operatorname{vol}\right|</math>
이는 유체의 (밀도당) [[운동 에너지]]로 해석될 수 있다. 이는 프레셰 [[리 군]] <math>\operatorname{SDiff}(M)</math> 위의 [[리만 계량]]을 정의한다.

이 경우, 오일러 방정식은 <math>\operatorname{SDiff}(M)</math> 위의 [[측지선 방정식]]과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 <math>u</math>가 주어졌을 때,
:<math>\phi(0,x) = x</math>
:<math>\frac\partial{\partial t}\phi(t,x) = u(t,x)</math>
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 <math>x</math>였던 유체 입자의, 시각 <math>t</math>에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
:<math>\phi\colon\mathbb R \to \operatorname{Diff}(M)</math>
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
:<math>u \in \mathfrak{SVect}(M)</math>
이므로
:<math>\phi \colon \mathbb R \to \operatorname{SDiff}(M)</math>
이다. 첫째 오일러 방정식은
:<math>\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi(t,x) = -(\mathrm dp|_{t,\phi(t,x)})^\sharp</math>
인데, 항상 [[부분 적분]]에 따라
:<math>\int_M \langle\mathrm dp,v\rangle = 0\qquad\forall v\in\mathfrak{SVect}(M)</math>
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
:<math>\nabla_uu = 0</math>
을 함의한다. 여기서 <math>\nabla_u</math>는 [[프레셰 다양체]] <math>\operatorname{SDiff}(M)</math> 위의, <math>u</math> 방향의 [[공변 미분]]이다.

=== 해밀턴 방정식으로의 형태 ===
오일러 방정식은 또한 무한 차원 [[선형 푸아송 다양체]] 위의 [[해밀턴 방정식]]으로 간주할 수 있다.<ref name="KW"/>{{rp|91–95, §Ⅱ.3.3}}

<math>M</math>이 (경계가 없는) [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]]라고 하자. <math>\mathfrak{SVect}(M)</math>의 연속 쌍대 공간(의 매끄러운 부분 공간)
:<math>\mathfrak{SVect}(M)^* \cong \Omega^1(M) / \mathrm d\Omega^0(M)</math>
이 주어졌다고 하자. 이는 [[리 대수]]의 [[연속 쌍대 공간]](의 부분 공간)이므로, 자연스럽게 [[선형 푸아송 다양체]]를 이루며, 그 [[푸아송 괄호]]는 다음과 같다.<ref name="DKN"/>{{rp|(1.95)}}
:<math>\{\alpha_i(x),\alpha_j(y)\} = (\partial_j\alpha_i - \partial_i\alpha_j)\delta(x-y)</math>

그렇다면, 여기에는 <math>\mathfrak{SVect}(M)</math> 위의 [[양의 정부호]] [[쌍선형 형식]]
:<math>\langle u,u'\rangle = \int_M g(u,u')</math>
으로부터 자연스러운 [[이차 형식]]<ref name="KW"/>{{rp|91, Lemma Ⅱ.3.7}}
:<math>H \colon \Omega^1(M) / \mathrm d\Omega^0(M) \to \mathbb R</math>
:<math>H([\alpha]) = \int_M g^{-1}(\alpha,\alpha) </math>
을 정의할 수 있다. 이를 [[푸아송 다양체]] 위의 [[해밀토니언]]으로 삼아, 다음과 같은 [[해밀턴 방정식]]을 적을 수 있다.<ref name="KW"/>{{rp|92, (Ⅱ.3.24)}}<ref name="DKN"/>{{rp|(1.93), Example 3}}
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} [\alpha] = - \mathcal L_{\alpha^\sharp} [\alpha]</math>
여기서
* <math>[\alpha]\in\Omega^1(M)/\mathrm d\Omega^1(M)</math>은 <math>M</math> 위의 [[1차 미분 형식]]의 [[동치류]]이다.
* <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math>은 ([[음악 동형]]에 대한) [[벡터장]] <math>\alpha^\sharp </math>의 [[발산 (벡터)|발산]]이 0인 (<math>\mathcal L_{\alpha^\sharp}\operatorname{vol} = 0</math>) 유일한 대표원 <math>\alpha\in[\alpha]</math>이다.
* <math>\mathcal L_{\alpha^\sharp}</math>는 [[벡터장]] <math>\alpha^\sharp</math>에 대한 [[리 미분]]이다.
구체적으로, 이 방정식은 <math>\Omega^1(M)/\mathrm d\Omega^0(M)</math>에 정의된다. 이를 <math>\Omega^1(M)</math> 위에 제약({{llang|en|constraint}})을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, <math>\alpha^\sharp \in \mathfrak{SDiff}(M)</math>인 임의의 [[1차 미분 형식]] <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math>에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.<ref name="KW"/>{{rp|92, (Ⅱ.3.25)}}<ref name="DKN"/>{{rp|(1.94), Example 3}}
:<math>\frac\partial{\partial t}\alpha(t,x) = - \mathcal L_{\alpha^\sharp} \alpha(t,x) - \mathrm dp(t,x)</math>
여기서 <math>p \in \mathcal C^\infty(\mathbb R\times M,\mathbb R)</math>은 <math>u</math>의 제약을 위한 보정항이다.

이 방정식은 오일러 방정식과 [[동치]]이다.<ref name="KW"/>{{rp|92, Corollary Ⅱ.3.8}} 즉, 속도장 <math>u \in \mathfrak{SVect}(M)</math>에 대하여 [[음악 동형]]으로
:<math>\alpha = u^\flat</math>
로 놓으면,
:<math>\frac\partial{\partial t}u = -\nabla_uu-(\mathrm dp)^\sharp</math>
가 되어, 오일러 방정식을 얻는다.

== 성질 ==
<math>M</math>이 (경계가 없는) [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유향 다양체|유향]] [[매끄러운 다양체]]라고 하자.

만약 <math>M</math>이 홀수 차원이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 <math>u \in \Omega^1(M)</math>에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
:<math>I(u) = \int_M u \wedge (\mathrm du)^{(\dim M-1)/2}</math>
그렇다면, 임의의 <math>\phi \in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>에 대하여
:<math>I(u) = I(u+\mathrm d\phi)</math>
이므로, 이는 사실 <math>\Omega^1(M)/\mathrm d\Omega^0(M)</math> 위의 실수 값 함수를 정의한다.
:<math>I \colon \frac{\Omega^1(M)}{\mathrm d\Omega^0(M)} \to \mathbb R</math>

마찬가지로, 만약 <math>M</math>이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 [[부피 형식]] <math>\omega\in\Omega^{\dim M}(M)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 <math>u \in \Omega^1(M)</math> 및 임의의 다항식 <math>P \in \mathbb R[x]</math>에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
:<math>\tilde P(u) = \int_M P\left(\frac{(\mathrm du)^{(\dim M)/2}}\omega\right)\omega</math>
이 역시 마찬가지로 실수 값 함수
:<math>\tilde P \colon \frac{\Omega^1(M)}{\mathrm d\Omega^0(M)} \to \mathbb R</math>
를 정의한다.

공간
:<math>\Omega^1(M)/\mathrm d\Omega^0(M) \cong \mathfrak{SVect}(M)^*</math>
은 [[리 대수]]의 쌍대 공간이므로, 이를 [[선형 푸아송 다양체]]로 여길 수 있으며, 특히 리 군 <math>\operatorname{SDiff}(M)</math>의 [[쌍대딸림표현]]을 갖는다. <math>I</math>와 <math>\tilde P</math>는 <math>\operatorname{SDiff}(M)</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대하여 불변량이며, 따라서 이 위의 [[해밀턴 방정식]]인 오일러 방정식의 [[운동 상수]]이다.<ref name="KW"/>{{rp|92, Proposition Ⅱ.3.9}} 특히, 홀수 차원의 경우, <math>I</math>는 <math>M</math> 위의 [[리만 계량]]이나 [[부피 형식]]에 의존하지 않으므로, 이는 임의의 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 [[운동 상수]]를 이룬다. 짝수 차원의 경우, <math>\tilde P</math>는 <math>M</math>의 [[부피 형식]]에만 의존하므로, 이는 같은 부피 형식을 정의하는 서로 다른 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 무한히 많은 [[운동 상수]]들을 이룬다.

== 예 ==
실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 '''[[버거스 방정식]]'''({{llang|en|Burgers equation}})이라고 하며, 다음과 같다.
:<math>0 = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial t} + \frac12 \frac{\partial (u^2)}{\partial x}</math>
이는 [[특성곡선법]]으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}x(t) = u(t,x(t))</math>
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}u(t,x(t)) = 0</math>
이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 <math>u</math>는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>x(t) = u_0t + x_0\qquad(u_0,x_0 \in \mathbb R)</math>
즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.
:<math>u(x,t) = f(x-u(t,x)t)</math>
여기서 <math>f</math>는 <math>u</math>의 초기 조건인 임의의 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math> 함수이다.

만약 <math>f(x) = ax+b</math>일 때, 그 해는 다음과 같다.<ref>{{서적 인용| 이름=Subrahmanyan|성= Chandrasekhar|저자링크=수브라마니안 찬드라세카르|날짜=1943-11-08 | 제목=On the decay of plane shock waves | 총서=Ballistic Research Laboratories Report | 권=423 | url= https://en.wikisource.org/wiki/On_the_Decay_of_Plane_Shock_Waves | 언어=en}}</ref>
:<math>u(x,t) = \frac{ax+b}{at+1}</math>

== 역사 ==
[[오일러 방정식]]은 [[레온하르트 오일러]]가 1757년에 발표하였으며, 최초로 연구된 [[편미분 방정식]] 가운데 하나이다. [[버거스 방정식]]은 [[얀 버거스]]({{llang|nl|Jan Burgers}})의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:유체역학]]
[[분류:편미분 방정식]]