귀진 완전열 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''귀진 완전열'''(Gysin完全列, {{llang|en|Gysin exact sequence}})은 [[초구]] [[올뭉치]]에 대하여 존재하는, 밑공간과 전체 공간의 [[코호몰로지]]를 잇는 [[긴 완전열]]이다.

== 정의 ==
올이 <math>k</math>차원 [[초구]](또는 [[호몰로지 초구]])인 [[세르 올뭉치]]
:<math>\mathbb S^k\hookrightarrow E\stackrel\pi\twoheadrightarrow B</math>
를 생각하자. 또한, <math>B</math>가 [[경로 연결]] [[CW 복합체]]이며 [[기본군]] <math>\pi_1(B)</math>는 [[코호몰로지 환]] <math>\operatorname H^\bullet(B)</math> 위에 자명하게 [[군의 작용|작용]]한다고 하자. (이는 [[세르 스펙트럼 열]]이 존재하기 위한 [[충분조건]]이다.) 이 경우, [[초구]]는 오직 0차 및 <math>k</math>차 [[코호몰로지]]만을 가지므로, [[세르 스펙트럼 열]]의 둘째 쪽은 다음과 같다.
:<math>
E^{\bullet,\bullet}_2=\cdots=E^{\bullet,\bullet}_{k+1}=\left|\underline{\begin{matrix}
\operatorname H^0(B)&\operatorname H^1(B)&\cdots\\
0&0&\cdots\\
\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots\\
\operatorname H^0(B)&\operatorname H^1(B)&\cdots
\end{matrix}}\right.</math>
이 스펙트럼 열은 2번째 쪽부터 <math>k+1</math>번째 쪽까지는 그대로이며, <math>k+2</math>번째 쪽에서 퇴화한다.
:<math>
E^{\bullet,\bullet}_{k+2}=\cdots=E^{\bullet,\bullet}_\infty=\left|\underline{\begin{matrix}
\ker d^{0,k}_{k+1}&\ker d^{1,k}_{k+1}&\cdots\\
0&0&\cdots\\
\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots\\
\operatorname H^0(B)&\operatorname H^1(B)&\cdots&\operatorname H^k(B)&\operatorname{coker}d^{0,k}_{k+1}&\operatorname{coker}d^{1,k}_{k+1}&\cdots
\end{matrix}}\right.</math>

이 스펙트럼 열은 <math>\operatorname H^{p+q}(E)</math>로 수렴하게 된다. 따라서,
:<math>\frac{\operatorname H^n(E)}{F^n\operatorname H^n(E)}=\ker d^{n-k,k}_{k+1}</math>
:<math>F^{n+1}\operatorname H^{n+1}(E)=\operatorname{coker}d^{n-k,k}_{k+1}</math>
가 되고, [[완전열]]
:<math>0\to\frac{\operatorname H^n(E)}{F^n\operatorname H^n(E)}\to\operatorname H^{n-k}(B)\xrightarrow{d^{n-k,k}_{k+1}}\operatorname H^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname H^{n+1}(E)\to0</math>
이 존재한다. 이제 이들을 다음과 같이 잇자.
:<math>\cdots\to\operatorname H^n(E)\twoheadrightarrow\frac{\operatorname H^n(E)}{F^n\operatorname H^n(E)}\to\operatorname H^{n-k}(B)\xrightarrow{d^{n-k,k}_{k+1}}\operatorname H^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname H^{n+1}(E)\hookrightarrow\operatorname H^{n+1}(E)\to\cdots
</math>
이제 <math>\operatorname H^\bullet(E)/F^\bullet\operatorname H^\bullet(E)</math> 및 <math>F^\bullet\operatorname H^\bullet(E)</math>를 생략하면, 다음과 같은 [[긴 완전열]]을 얻는다.
:<math>\cdots\to\operatorname H^n(E)\to\operatorname H^{n-k}(B)\xrightarrow{d^{n-k,k}_{k+1}}\operatorname H^{n+1}(B)\to \operatorname H^{n+1}(E)\to\cdots
</math>
이를 '''귀진 완전열'''이라고 한다.

== 성질 ==
귀진 완전열
:<math>\cdots\to\operatorname H^n(E)\xrightarrow{\pi_*}\operatorname H^{n-k}(B)\xrightarrow{e(E)\smile}\operatorname H^{n+1}(B)\xrightarrow{\pi^*}\operatorname H^{n+1}(E)\to\cdots
</math>
에서 각 준동형은 다음과 같이 해석할 수 있다.
* <math>e(E)\smile\colon\operatorname H^\bullet(B)\to\operatorname H^{\bullet+k+1}(B)</math>은 초구 올뭉치 <math>E</math>의 [[오일러 특성류]]와의 [[합곱]]이다. 구체적으로, <math>\mathbb S^k</math> [[올다발]] <math>E</math>가 주어졌다면, 그 [[연관 다발]], 즉 각 올의 (임의의 [[내적]]에 대한) 단위 초구가 <math>E</math>가 되는 <math>k+1</math>차원 실수 [[벡터 다발]] <math>\tilde E\twoheadrightarrow B</math>을 정의할 수 있다. <math>E</math>의 [[오일러 특성류]]는 <math>\tilde E</math>의 [[오일러 특성류]] <math>e(\tilde E)\in\operatorname H^{k+1}(B;\mathbb Z)</math>와 같다.
* <math>\pi^*\colon\operatorname H^\bullet(B)\to H^\bullet(E)</math>는 코호몰로지에 의한 <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow B</math>의 [[당김 (코호몰로지)|당김]]이다.
* <math>\pi_*\colon\operatorname H^{\bullet+k}(E)\to\operatorname H^\bullet(B)</math>는 '''귀진 준동형'''(Gysin準同型, {{llang|en|Gysin homomorphism}})이라고 한다. 실수 계수 코호몰로지의 경우, [[드람 코호몰로지]]를 사용한다면 이는 <math>E</math> 위의 [[미분 형식]]을 <math>E</math>의 올 <math>\mathbb S^k</math>에 대하여 적분한 것이다.

== 역사 ==
스위스의 수학자 베르너 귀진({{llang|de|Werner Gysin}}, 1915~?)이 1941년 박사 학위 논문에서 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | 성=Gysin | 이름=Werner | title=Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002053314 |mr=0006511 | 날짜=1941 | journal=Commentarii Mathematici Helvetici | issn=0010-2571 | 권=14 | 호=1| 쪽=61–122 | doi=10.1007/BF02565612|zbl=0026.27003 |언어=de}}</ref> 이는 귀진이 출판한 유일한 논문이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름1=Raoul|성1=Bott|저자링크1=라울 보트|이름2=Loring Wuliang|성2=Tu|저자링크2=로링 투|제목=Differential forms in algebraic topology |날짜=1982|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=82|issn=0072-5285|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-1-4419-2815-3 |doi=10.1007/978-1-4757-3951-0|mr=658304|zbl= 0496.55001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Gysin sequence}}
* {{nlab|id=Gysin map}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]