귀납적 차원 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|0차원 공간|일반위상수학 밖에서의 개념|0차원}}
[[일반위상수학]]에서 '''귀납적 차원'''(歸納的次元, {{llang|en|inductive dimension}})은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 [[차원]] 개념이다. 대부분의 경우, [[르베그 덮개 차원]]의 상한과 하한을 정의한다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''작은 귀납적 차원'''({{llang|en|small inductive dimension}}) <math>\operatorname{ind}X</math>는 다음 조건을 만족시키는 최소의 [[정수]] <math>n\in\{-1,0,1,2,\dots\}</math>이다.
* 임의의 <math>x\in X</math> 및 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[열린 근방]] <math>V\ni x</math>가 존재한다.
** <math>\operatorname{cl}V\subseteq U</math>
** <math>\operatorname{ind}\partial V\le n-1</math>
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''큰 귀납적 차원'''({{llang|en|large inductive dimension}}) <math>\operatorname{Ind}X</math>는 다음 조건을 만족시키는 최소의 [[정수]] <math>n\in\{-1,0,1,2,\dots\}</math>이다.
* 임의의 [[닫힌집합]] <math>C\subseteq X</math>의 [[열린 근방]] <math>U\supseteq C</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[열린 근방]] <math>V\supseteq C</math>가 존재한다.
** <math>\operatorname{cl}V\subseteq U</math>
** <math>\operatorname{Ind}\partial V\le n-1</math>

[[공집합]]의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게 <math>\operatorname{ind}\varnothing=-1</math>이다.

== 성질 ==
=== 서로 다른 차원들의 비교 ===
[[T1 공간]] <math>X</math> 또는 [[정칙 공간]] <math>X</math>의 경우, 모든 점의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]가 점의 [[열린 근방]]에 다시 포함되므로,
:<math>\operatorname{ind}X\le\operatorname{Ind}X</math>
이다.<ref name="Charalambous" />{{rp|9, Proposition 2.7}}

임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여,
:<math>\dim X\le\operatorname{Ind}X</math>
이다.<ref name="Charalambous" />{{rp|18, Corollary 3.5}} 여기서 <math>\dim</math>은 [[르베그 덮개 차원]]이다.

[[거리화 가능 공간]] <math>X</math>의 경우,
:<math>\operatorname{ind}X\le\dim X=\operatorname{Ind}X</math>
이다.<ref name="Ostrand">{{저널 인용
|성=Ostrand
|이름=Phillip A.
|제목=Covering dimension in general spaces
|언어=en
|저널=General Topology and its Applications
|권=1
|호=3
|쪽=209–221
|날짜=1971
|issn=0016-660X
|doi=10.1016/0016-660X(71)90093-6
|mr=0288741
|zbl=0232.54044
}}</ref>{{rp|219, Theorem 10}}

[[린델뢰프 공간]] <math>X</math>의 경우,
:<math>\dim X\le\operatorname{ind}X</math>
이다.<ref name="Charalambous" />{{rp|27, Proposition 5.3}}

[[린델뢰프 공간|린델뢰프]] [[완전 정규 공간]] <math>X</math><ref name="Charalambous" />{{rp|171}} 또는 완비 파라콤팩트({{llang|en|completely paracompact}}) [[완전 정규 공간]] <math>X</math><ref name="ChatyrkoAroundThe">{{저널 인용
|성1=Chatyrko
|이름1=Vitalij A.
|성2=Hattori
|이름2=Yasunao
|제목=Around the equality <math>\operatorname{ind}X=\operatorname{Ind}X</math> towards a unifying theorem
|언어=en
|저널=Topology and its Applications
|권=131
|호=3
|쪽=295–302
|날짜=2003
|issn=0166-8641
|doi=10.1016/S0166-8641(02)00358-9
|mr=1983085
|zbl=1030.54023
}}</ref>{{rp|296, Theorem F2}}의 경우,
:<math>\dim X\le\operatorname{ind}X=\operatorname{Ind}X</math>
이다.

'''우리손 정리'''에 따르면, [[제2 가산]] [[정칙 공간]] <math>X</math>의 경우
:<math>\operatorname{ind}X=\dim X=\operatorname{Ind}X</math>
이다.<ref name="EngelkingTheoryOf" />{{rp|51, Theorem 1.7.7}}

=== 부분 집합 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{ind}Y\le\operatorname{ind}X</math>
이다.<ref name="Charalambous" />{{rp|8, Proposition 2.3}} 만약 추가로 <math>Y</math>가 [[닫힌집합]]이거나,<ref name="Charalambous" />{{rp|9, Proposition 2.6}} <math>X</math>가 [[완전 정규 공간]]이라면,<ref name="Charalambous" />{{rp|21, Corollary 3.13}}
:<math>\operatorname{Ind}Y\le\operatorname{Ind}X</math>
이다.

=== 합집합 ===
[[완비 정규 공간]] <math>X</math> 및 [[부분 집합]] <math>Y,Z\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>X=Y\cup Z</math>라면,
:<math>\operatorname{ind}X\le\operatorname{ind}Y+\operatorname{ind}Z+1</math>
:<math>\operatorname{Ind}X\le\operatorname{Ind}Y+\operatorname{Ind}Z+1</math>
이다.<ref name="ChatyrkoAdditionAnd" />{{rp|2203, 2206}} 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 '''우리손 부등식'''이라고 한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[닫힌집합]] <math>Y,Z\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>X=Y\cup Z</math>라면,
:<math>\operatorname{ind}X\le\max\{\operatorname{ind}Y,\operatorname{ind}Z\}+1</math>
이다.<ref name="ChatyrkoAdditionAnd">{{저널 인용
|성1=Chatyrko
|이름1=Vitalij A.
|성2=Hattori
|이름2=Yasunao
|제목=Addition and product theorems for ind
|언어=en
|저널=Topology and its Applications
|권=155
|호=17–18
|쪽=2202–2210
|날짜=2008
|issn=0166-8641
|doi=10.1016/j.topol.2007.05.028
|mr=2458005
|zbl=1161.54017
}}</ref>{{rp|2203, (1)}} 만약 추가로 <math>X</math>가 [[정규 공간]]이라면,
:<math>\operatorname{Ind}X\le\operatorname{Ind}Y+\operatorname{Ind}Z</math>
이다.<ref name="ChatyrkoAdditionAnd" />{{rp|2206}}

=== 곱공간 ===
[[제2 가산]] [[정칙 공간]] <math>X,Y</math>의 경우, 귀납적 차원이 [[르베그 덮개 차원]]과 일치하므로
:<math>\operatorname{ind}(X\times Y)\le\operatorname{ind}(X)+\operatorname{ind}(Y)</math>
:<math>\operatorname{Ind}(X\times Y)\le\operatorname{Ind}(X)+\operatorname{Ind}(Y)</math>
이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 [[닫힌집합]] <math>A,B\subseteq X</math>에 대하여, <math>\operatorname{ind}(A\cup B)\le\max\{\operatorname{ind}A,\operatorname{ind}B\}</math>
* 임의의 [[닫힌집합]] <math>A,B\subseteq Y</math>에 대하여, <math>\operatorname{ind}(A\cup B)\le\max\{\operatorname{ind}A,\operatorname{ind}B\}</math>
그렇다면,
:<math>\operatorname{ind}(X\times Y)\le\operatorname{ind}X+\operatorname{ind}Y</math>
이다.<ref name="ChatyrkoAdditionAnd" />{{rp|2203, (2)}} 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 [[거리화 가능 공간]]이 존재하며,<ref name="Charalambous">{{서적 인용
|성1=Charalambous
|이름1=Michael G.
|제목=Dimension theory. A selection of theorems and counterexamples
|언어=en
|총서=Atlantis Studies in Mathematics
|권=7
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2019
|isbn=978-3-030-22231-4
|issn=1875-7634
|doi=10.1007/978-3-030-22232-1
|mr=3970309
|zbl=1471.54001
}}</ref>{{rp|Chapter 20}} 위 조건을 만족시키지 않는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이 존재한다.<ref name="Charalambous" />{{rp|Chapter 14}}

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{ind}X=0</math>이라면,
:<math>\operatorname{ind}(X\times Y)=\operatorname{ind}Y</math>
이다.<ref name="Charalambous" />{{rp|12, Exercise 2.27}}

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X,Y</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{Ind}X=0</math>이라면,
:<math>\operatorname{Ind}(X\times Y)\le\operatorname{Ind}Y</math>
이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math> 및 [[곱공간]]
:<math>X=\prod_{i\in I}X_i</math>
에 대하여, 만약 모든 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>\operatorname{ind}X_i=0</math>이라면, <math>\operatorname{ind}X=0</math>이다.<ref name="Charalambous" />{{rp|12, Exercise 2.28}}

=== 스톤-체흐 콤팩트화 ===
[[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 및 그 [[스톤-체흐 콤팩트화]] <math>\beta X</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{Ind}X=\operatorname{Ind}\beta X</math>
이다.<ref name="EngelkingTheoryOf">{{서적 인용
|성=Engelking
|이름=Ryszard
|제목=Theory of dimensions finite and infinite
|언어=en
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=10
|출판사=Lemgo
|위치=Heldermann Verlag
|날짜=1995
|isbn=3-88538-010-2
|mr=1363947
|zbl=0872.54002
}}</ref>{{rp|137, Theorem 2.2.10}}

=== 0차원 ===
[[경계 (위상수학)|경계]]가 [[공집합]]일 [[필요충분조건]]은 [[열린닫힌집합]]인 것이다. 따라서, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{ind}X=0</math>
* <math>X</math>는 [[열린닫힌집합]]들로 구성된 [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Charalambous" />{{rp|10, Proposition 2.9}}
* <math>\dim X=0</math>
* <math>\operatorname{Ind}X=0</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.
* 만약 <math>\operatorname{ind}X=0</math>이라면, <math>X</math>는 [[완비 정칙 공간]]이다.
* 만약 <math>\operatorname{ind}X=0</math>이며, <math>X</math>가 [[콜모고로프 공간]]이라면, <math>X</math>는 [[완전 분리 공간]]이자 [[티호노프 공간]]이다.
* 반대로, 만약 <math>X</math>가 [[완전 분리 공간]]이자 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라면, <math>\operatorname{ind}X=0</math>이다.<ref name="Engelking" />{{rp|362, Theorem 6.2.9}}
* 만약 <math>\dim X=0</math>이라면, <math>X</math>는 [[정규 공간]]이다.
* 만약 <math>\dim X=0</math>이며, <math>X</math>가 [[T1 공간]]이거나 [[정칙 공간]]이라면, <math>\operatorname{ind}X=0</math>이다.
* 반대로, 만약 <math>\operatorname{ind}X=0</math>이며, <math>X</math>가 [[린델뢰프 공간]] <math>X</math>이라면, <math>\dim X=0</math>이다.

[[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Engelking" />{{rp|362, Theorem 6.2.9}}
* <math>\operatorname{ind}X=0</math>
* [[완전 분리 공간]]이다.

[[국소 콤팩트]] [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>이 주어졌을 때, <math>X</math>는 항상 [[서로소 집합|서로소]] [[린델뢰프 공간|린델뢰프]] [[열린닫힌집합]]들의 합집합이다. 따라서, <math>X</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|362, Theorem 6.2.10}}
* [[완전 분리 공간]]이다.
* <math>\operatorname{ind}X=0</math>
* <math>\dim X=0</math>

작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 '''0차원 공간'''(零次元空間, {{llang|en|zero-dimensional space}})이라고 한다. [[르베그 덮개 차원]]이 0인 위상 공간은 흔히 '''강한 0차원 공간'''(强-零次元空間, {{llang|en|strongly zero-dimensional space}})이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 [[T1 공간|T1 조건]]을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 [[티호노프 공간|티호노프 조건]]을 추가한다.

=== 매장 ===
[[T1 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Engelking" />{{rp|363, Theorem 6.2.16}}<ref name="Hart">{{서적 인용
|편집자-성1=Hart
|편집자-이름1=Klaas Pieter
|편집자-성2=Nagata
|편집자-이름2=Jun-iti
|편집자-성3=Vaughan
|편집자-이름3=Jerry E.
|제목=Encyclopedia of general topology
|언어=en
|출판사=Elsevier
|위치=Amsterdam
|날짜=2004
|isbn=0-444-50355-2
|mr=2049453
|zbl=1059.54001
}}</ref>{{rp|323, §f-6}}
* <math>\operatorname{ind}X=0</math>
* 두 점 [[이산 공간]]의 [[곱공간]] <math>\{0,1\}^{\operatorname{Clopen}(X)}</math>의 [[부분 집합]]과 [[위상 동형]]이다. (여기서 <math>\operatorname{Clopen}(X)</math>는 [[열린닫힌집합]]들의 집합이다.)
이 경우, 곱공간으로의 [[매장 (수학)|매장]]은 다음과 같이 잡을 수 있다.
:<math>\mu\colon X\to\{0,1\}^{\operatorname{Clopen}(X)}</math>
:<math>\mu(x)_U=
\begin{cases}
1 & x\in U\\
0 & x\not\in U
\end{cases}
</math>

모든 0차원 [[제2 가산]] [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]은 [[실수]]들의 집합과 [[위상 동형]]이다. 구체적으로, [[제2 가산]] [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]](=[[분해 가능]] [[거리화 가능 공간]]) <math>X</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="EngelkingTheoryOf" />{{rp|20, Theorem 1.3.15}}
* <math>\operatorname{ind}X=0</math>
* <math>X</math>는 [[칸토어 집합]] <math>C\cong\{0,1\}^{\aleph_0}</math>의 [[부분 집합]]과 [[위상 동형]]이다.
* <math>X</math>는 [[무리수]] 집합 <math>\mathbb R\setminus\mathbb Q\cong\mathbb N^{\aleph_0}</math>의 [[부분 집합]]과 [[위상 동형]]이다.

[[실수]]들의 집합 <math>X\subseteq\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{ind}X=0</math>
* (둘 이상의 점을 갖는) [[구간]]을 포함하지 않는다.

'''뇌벨링-폰트랴긴 정리'''에 따르면, [[제2 가산]] [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{ind}X<\infty</math>
* <math>X</math>는 [[유클리드 공간]]의 [[부분 집합]]과 [[위상 동형]]이다.

사실, 모든 <math>n</math>차원 이하의 [[제2 가산]] [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]은 <math>(2n+1)</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^{2n+1}</math>에 [[매장 (수학)|매장]]할 수 있다. 구체적으로, [[제2 가산]] [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="EngelkingTheoryOf" />{{rp|95, Theorem 1.11.5}}
* <math>\operatorname{ind}X\le n</math>
* <math>X</math>는 <math>\{x\in\mathbb R^{2n+1}\colon|\{i\colon x_i\in\mathbb Q\}|\le n\}</math>의 [[부분 집합]]과 [[위상 동형]]이다.

== 예 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{ind}X=-1</math>
* <math>\dim X=-1</math>
* <math>\operatorname{Ind}X=-1</math>
* <math>X=\varnothing</math>

[[유클리드 공간]], [[단체 (수학)|단체]], [[초구]]의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다.
:<math>\operatorname{ind}\mathbb R^n=\dim\mathbb R^n=\operatorname{Ind}\mathbb R^n=n</math>
:<math>\operatorname{ind}\Delta_n=\dim\Delta_n=\operatorname{Ind}\Delta_n=n</math>
:<math>\operatorname{ind}\mathbb S^n=\dim\mathbb S^n=\operatorname{Ind}\mathbb S^n=n</math>

보다 일반적으로, 임의의 <math>n</math>차원 [[다양체]]의 작은·큰 귀납적 차원 및 [[르베그 덮개 차원]]은 <math>n</math>이다.

<math>[0,1]^{\aleph_0}</math>의 작은·큰 귀납적 차원은 <math>\infty</math>이다.
:<math>\operatorname{ind}[0,1]^{\aleph_0}=\dim[0,1]^{\aleph_0}=\operatorname{Ind}[0,1]^{\aleph_0}=\infty</math>

[[조르겐프라이 직선]] <math>S</math> 및 [[조르겐프라이 평면]] <math>S\times S</math>의 작은·큰 귀납적 차원은 0이다.<ref name="Sipacheva">{{arXiv 인용
|성=Sipacheva
|이름=Ol'ga
|제목=The covering dimension of the Sorgenfrey plane
|언어=en
|날짜=2021
|doi=10.48550/arXiv.2110.08867
|arxiv=2110.08867
}}</ref>{{rp|2}} [[조르겐프라이 직선]]의 [[르베그 덮개 차원]]은 0이지만, [[조르겐프라이 평면]]의 [[르베그 덮개 차원]]은 무한하다.<ref name="Sipacheva" />{{rp|2, Theorem 1}}
:<math>\operatorname{ind}S=\dim S=\operatorname{Ind}S=\operatorname{ind}S\times S=\operatorname{Ind}S\times S=0</math>
:<math>\dim S\times S=\infty</math>

[[이산 공간]]과 모든 [[비이산 공간]]의 작은·큰 귀납적 차원 및 [[르베그 덮개 차원]]은 0 이하이다. [[시에르핀스키 공간]]의 [[르베그 덮개 차원]]과 큰 귀납적 차원은 0이지만, ([[정칙 공간]]이 아니므로) 작은 귀납적 차원은 무한하다.

[[거리화 가능 공간]] <math>X</math>에 대하여, 만약
:<math>|X|<2^{\aleph_0}</math>
라면, <math>\operatorname{ind}X=0</math>이다.
{{증명}}
임의의 점 <math>x\in X</math> 및 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>가 주어졌다고 하자.
:<math>\operatorname{ball}(x,r)\subseteq U</math>
인 <math>r>0</math>을 잡자. <math>|X|<2^{\aleph_0}</math>이므로,
:<math>d(x,y)\ne s\forall y\in X</math>
인 <math>0<s<r</math>이 존재한다. 따라서,
:<math>\partial\operatorname{ball}(x,s)=\{y\in X\colon d(x,y)=s\}=\varnothing</math>
이다.
{{증명 끝}}

[[순서 위상]]을 가한 [[전순서 집합]] <math>(X,\le)</math>의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.<ref name="Charalambous" />{{rp|12, Exercise 2.24}}
:<math>\operatorname{ind}X\le 1</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Inductive dimension}}
* {{eom|title=Dimension theory}}

== 같이 보기 ==
* [[르베그 덮개 차원]]

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]
[[분류:차원]]
[[분류:차원론]]