군 표현의 지표 문서 원본 보기

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[[군 표현론]]에서, [[군 표현]]의 '''지표'''(指標, {{llang|en|character|캐릭터}})는 [[공액류]]에 대한, 표현 행렬의 [[대각합]]인 [[유함수]]이다.

== 정의 ==
<math>G</math>가 [[군 (수학)|군]]이고, <math>V</math>가 [[체 (수학)|체]] <math>k</math>에 대한 [[벡터 공간]]이고, <math>\rho\colon G\to\operatorname{GL}(V)</math>가 [[군 표현]]이라고 하자. <math>G</math>의 [[공액류]]의 집합을 <math>[G]</math>로 쓰자. 그렇다면 표현 <math>\rho</math>의 '''지표''' <math>\chi_\rho\colon[G]\to k</math>는 다음과 같은 함수다.
:<math>\chi_\rho([g])=\operatorname{tr}\rho(g)</math>. (<math>g\in G</math>, <math>[g]\in G</math>는 <math>g</math>의 [[공액류]])

== 성질 ==
표현 <math>\rho</math>의 차원은 <math>\dim\rho=\chi_\rho(1)</math>이다.

지표는 군 표현의 [[직합]]과 [[텐서곱]]을 준수한다. 즉,
:<math>\chi_{\rho\oplus\sigma}=\chi_\rho+\chi_\sigma</math>
:<math>\chi_{\rho\otimes\sigma}=\chi_\rho\chi_\sigma</math>
이다.

표현의 텐서 제곱 <math>\rho\otimes\rho</math>는 다음과 같이 [[대칭행렬|대칭]] 및 [[반대칭행렬|반대칭]] 성분으로 분해할 수 있다.
:<math>\rho\otimes\rho=\operatorname{Sym}^2(\rho)+\rho\wedge\rho</math>.
이 경우,
:<math>\chi_{\rho\wedge\rho}(g)=\frac12\left((\chi_\rho)^2(g)-\chi_\rho(g^2)\right)</math>
:<math>\chi_{\operatorname{Sym}^2(\rho)}(g)=\frac12\left((\chi_\rho)^2(g)+\chi_\rho(g^2)\right)</math>
이다.

[[복소수]] [[벡터 공간]] 위 표현의 경우, 다음이 성립한다.
:<math>\chi_{\rho^*}=\bar\chi_\rho</math>.
여기서 <math>\rho^*</math>는 복소 표현의 행렬 원소들의 ([[전치행렬|전치]] 없는) [[복소켤레]] 표현이고, <math>\bar\chi_\rho</math>는 <math>\chi_\rho</math>의 [[복소켤레]]이다.

== 역사 ==
[[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]가 1896년에 [[유한군]]의 지표론을 제창하였다.<ref>{{저널 인용|언어=de|이름=F. G.|성=Frobenius|제목=Über Gruppencharaktere|저널=Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin|연도=1896|쪽=985-1021}}</ref> 이는 [[군 표현]]이 정의되기 이전이었고, [[군 표현론]]의 시초로 여겨진다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last = Isaacs | first = I.M. | title=Character Theory of Finite Groups | publisher=Dover | year=1994 | isbn=0-486-68014-2}}
* {{서적 인용| last = James | first = Gordon | 공저자=Martin Liebeck | title=Representations and Characters of Groups|판=2판| year=2001 | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-00392-X}}
* {{서적 인용| last=Serre | first = Jean-Pierre | authorlink = 장피에르 세르 | title=Linear Representations of Finite Groups | url=https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr | publisher=Springer-Verlag | year=1977 | isbn=0-387-90190-6}}
== 같이 보기 ==
* [[지표표]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CharacterTable|title=Character table|저자=Todd Rowland, Eric Wolfgang Weisstein}}
* {{매스월드|id=GroupCharacter|title=Group character}}
* {{eom|title=Character of a representation of a group}}

{{전거 통제}}

[[분류:표현론]]