군 코호몰로지 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''군 코호몰로지'''(群cohomology, {{llang|en|group cohomology}})와 '''군 호몰로지'''(群homology, {{llang|en|group homology}})는 [[군 (수학)|군]] 위에 정의되는 [[코호몰로지]] · [[호몰로지]] 이론이다.<ref>{{서적 인용 |성= Adem |이름= Alejandro | 이름2=R. James |성2=Milgram |title= Cohomology of finite groups |publisher= Springer-Verlag |year= 2004 |isbn=978-3-540-20283-7 |총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften |권=309|issn=0072-7830 |mr=2035696|zbl=1061.20044|판=2|doi=10.1007/978-3-662-06280-7 | 언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | first=Kenneth Stephen | last=Brown | 제목=Cohomology of groups | publisher=Springer-Verlag | year=1982 | isbn=
978-0-387-90688-1 | 총서=Graduate Texts in Mathematics| 권= 87 |issn=0072-5285| mr=0672956|zbl=0584.20036|doi= 10.1007/978-1-4684-9327-6|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | last=Rotman | first=Joseph | year=1995 | title=An introduction to the theory of groups | edition=4 | 총서=Graduate Texts in Mathematics|권= 148 | publisher=Springer-Verlag | isbn=978-0-387-94285-8 | mr=1307623|zbl=0810.20001|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[군 (수학)|군]] <math>G</math>. 이로부터 [[군환]] <math>\mathbb Z[G]</math>를 정의할 수 있다.
* <math>\mathbb Z[G]</math>-[[왼쪽 가군]] <math>_{\mathbb Z[G]}M</math>

임의의 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>G</math>의 <math>M</math>계수 <math>n</math>차 '''군 호몰로지''' <math>\operatorname H_n(G;M)</math> 및 <math>G</math>의 <math>M</math>계수 <math>n</math>차 '''군 코호몰로지''' <math>\operatorname H^n(G;M)</math>는 각각 [[아벨 군]]이다. 이들은 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 [[동치]]이다.
* 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 불변량 함자의 [[왼쪽 유도 함자]] 및 쌍대 불변량 함자의 [[오른쪽 유도 함자]]로서 정의될 수 있다.
* 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 특별한 [[Ext 함자]] 및 [[Tor 함자]]로서 정의될 수 있다.
* 군 (코)호몰로지는 구체적인 [[사슬 복합체|(공)사슬 복합체]]의 (코)호몰로지로서 정의될 수 있다.

=== 유도 함자를 통한 정의 ===
군 코호몰로지는 불변량 함자의 [[왼쪽 유도 함자]]로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 [[오른쪽 유도 함자]]로 정의될 수 있다.

구체적으로, [[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathbb Z[G]</math>의 [[왼쪽 가군]]들의 범주 <math>_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}</math>는 [[단사 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]]이다.

다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]를 정의하자.
:<math>(-)^G\colon{}_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}\to\operatorname{Ab}</math>
:<math>(-)^G\colon M\mapsto M^G=\bigcap_{g\in G}\ker_M(1-g)=\{m\in M\colon\forall g\in M\colon m=gm\}</math>
즉, 이는 [[가군]]을 그 불변량으로 구성된 [[아벨 군]]으로 대응시킨다.

<math>(-)^G</math>는 [[왼쪽 완전 함자]]이다. 그 <math>n</math>번째 [[오른쪽 유도 함자]]를 <math>G</math>의 <math>n</math>차 '''군 코호몰로지'''라고 한다.
:<math>\operatorname H^n(G;-)=\operatorname R^n(-)^G</math>

마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.
:<math>(-)_G\colon{}_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}\to\operatorname{Ab}</math>
:<math>(-)_G\colon M\mapsto\frac M{\operatorname D(M)}</math>
여기서
:<math>\operatorname D(M)=\sum_{g\in G}(1-g)M\subseteq M</math>
이다. 즉, <math>M_G</math>는 <math>M</math>의 '''쌍대 불변량'''({{llang|en|coinvariant}})으로 구성된다.

<math>(-)_G</math>는 [[오른쪽 완전 함자]]이다. 그 <math>n</math>번째 [[왼쪽 유도 함자]]를 <math>G</math>의 <math>n</math>차 '''군 호몰로지'''라고 한다.
:<math>\operatorname H_n(G;-)=\operatorname L^n(-)_G</math>

=== Ext와 Tor를 통한 정의 ===
군 코호몰로지는 [[군환]]에 대한 [[Ext 함자]]의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 [[군환]]에 대한 [[Tor 함자]]의 특별한 경우이다.

구체적으로, [[군 (수학)|군]] <math>G</math> 및 <math>\mathbb Z[G]</math>-[[왼쪽 가군]] <math>_{\mathbb Z[G]}M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathbb Z</math>를 자명한 <math>\mathbb Z[G]</math>-[[왼쪽 가군]]으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 <math>g\in G</math> 및 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여 <math>g\cdot n = n</math>이다.) 그렇다면, <math>\mathbb Z[G]</math>-[[왼쪽 가군]]의 범주 <math>_{\mathbb Z[G]}\operatorname{Mod}</math>에서 [[Ext 함자]]를 취할 수 있다. <math>G</math>의 <math>M</math> 계수의 '''군 코호몰로지'''는 다음과 같은 [[Ext 함자]]이다.
:<math>\operatorname H^n(G;M) = \operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)</math>

마찬가지로, <math>\mathbb Z</math>를 자명한 <math>\mathbb Z[G]</math>-[[오른쪽 가군]]으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 <math>g\in G</math> 및 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여 <math>n\cdot g = n</math>이다.) 그렇다면, [[오른쪽 가군]] <math>\mathbb Z_{\mathbb Z[G]}</math>와 [[왼쪽 가군]] <math>_{\mathbb Z[G]}M</math> 사이의 [[Tor 함자]]를 취할 수 있다.
<math>G</math>의 <math>M</math> 계수의 '''군 호몰로지'''는 다음과 같은 [[Tor 함자]]이다.
:<math>\operatorname H_n(G;M) = \operatorname{Tor}_n^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)</math>

=== 군 코호몰로지의 구체적 정의 ===
<math>G</math>가 [[군 (수학)|군]]이고 <math>M</math>이 <math>\mathbb Z[G]</math>-[[군의 가군|가군]]이라고 하자. 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>n</math>차 '''공사슬'''(共사슬, {{llang|en|cochain}})을 <math>G^n\to M</math> 함수로 정의하고, <math>n</math>차 공사슬의 집합을 <math>C^n(G,M)</math>으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 [[아벨 군]]을 이룬다. (여기서 <math>G^n</math>은 군의 [[직접곱]] <math>G\times G\times\dotsb\times G</math>이다.)

'''공경계 준동형'''(共境界準同形, {{llang|en|coboundary homomorphism}}) <math>d^n\colon C^n(G,M)\to C^{n+1}(G,M)</math>을 다음과 같이 정의하자.
:<math> \left(d^n\varphi\right)(g_0,\dots,g_n) = g_0\cdot \varphi(g_1,\dots,g_n) </math>
::<math> {} + \sum_{i=1}^n (-1)^{i} \varphi(g_0,\dots,g_{i-2},g_{i-1}g_i,g_{i+1},\dots,g_n)</math>
::<math> {} + (-1)^{n+1} \varphi(g_0,\dots,g_{n-1}) </math>
이렇게 정의하면
:<math>d^{n+1}\circ d^n=0</math>
임을 알 수 있다. 따라서 <math>C^n</math>은 [[공사슬 복합체]]를 이루며, 이에 따라
:<math>\operatorname H^n(G;M)=\frac{\ker d^n}{\operatorname{im}d^{n-1}}</math>
과 같이 [[코호몰로지 군]] <math>\operatorname H^n(G;M)</math>을 정의할 수 있다. 이를 <math>M</math>계수를 가진 <math>G</math>의 <math>n</math>차 '''군 코호몰로지'''라고 한다.

=== 군 호몰로지의 구체적 정의 ===
<math>G</math>가 [[군 (수학)|군]]이고 <math>M</math>이 <math>\mathbb Z[G]</math>-[[왼쪽 가군]]이라고 하자.

양의 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>n</math>차 '''사슬'''({{llang|en|cochain}})의 집합은
<math>C_n(G;M) = \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M</math>
이다.

그 사이에 다음과 같은 '''경계 준동형'''(境界準同形, {{llang|en|boundary homomorphism}})을 정의하자.
:<math>\partial \colon (g_1,g_2,\dotsc,g_n,m)
\mapsto
(g_2,\dotsc,g_n,m)
+
\sum_{i=1}^{n-1} (-)^i (g_1,\dotsc,g_{i-1},g_ig_{i+1},g_{i+2},\dotsc,g_n,m)
+ (-)^n (g_1,\dotsc,g_{n-1},g_nm) </math>
그렇다면, 다음과 같은 [[사슬 복합체]]를 얻는다.
:<math>\dotsb \xrightarrow\partial C_2(G;M)\xrightarrow\partial C_1(G;M) \xrightarrow\partial C_0(G;M) \to 0</math>
(이는 [[막대 복합체]] <math>\operatorname{Bar}_n^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)</math>과 같다.)
그 [[호몰로지 군]]
:<math>\operatorname H_n(G;M)=\frac{\ker\partial_n}{\operatorname{im}\partial_{n+1}}</math>
을 <math>M</math>계수를 가진 <math>G</math>의 <math>n</math>차 '''군 호몰로지'''라고 한다.

=== 구체적 정의의 유도 ===
구체적 정의는 Ext · Tor를 사용한 정의로부터 다음과 같이 유도된다.

우선, [[아벨 군]]의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{Ab}=\operatorname{Mod}_{\mathbb Z}</math>에서, <Math>\mathbb Z</math>-[[결합 대수]] (즉, [[환 (수학)|환]]) <math>\mathbb Z[G]</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_{\mathbb Z[G]}\mathbb Z</math> 및
[[오른쪽 가군]] <math>\mathbb Z[G]_{\mathbb Z[G]}</math>를 생각하자. 그렇다면, 물론
:<math>\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z[G]} \mathbb Z\cong \mathbb Z</math>
이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 [[막대 복합체]]를 생각하자.
:<math>\operatorname{Bar}_n^{\mathbb Z}(\mathbb Z[G],\mathbb Z[G],\mathbb Z) = 
\overbrace{\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z}\dotsb\otimes_{\mathbb Z}
\mathbb Z[G]}^{n+1}\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z
\cong \mathbb Z[\overbrace{G\times\dotsb\times G}^n]
</math>
그렇다면,
:<math> \dotsb \xrightarrow\partial\mathbb Z[G\times G] \xrightarrow\partial \mathbb Z[G] \twoheadrightarrow \mathbb Z</math>
는 <math>\mathbb Z</math>의 분해를 이룬다.

[[막대 복합체]]의 모든 성분들은 <math>\mathbb Z[G]</math>-[[사영 가군]]이므로, [[막대 복합체]] <math>\operatorname{Bar}(\mathbb Z[G],\mathbb Z[G],\mathbb Z)</math>는 <math>\mathbb Z</math>의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, [[Ext 함자]] <math>\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)</math>은 다음과 같은 [[공사슬 복합체]]의 [[코호몰로지]]로 얻어진다.
:<math> 0 \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G], M) \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G\times G], M) \to \dotsb</math>
그런데 <math>\mathbb Z[G^{\times(n+1)}]</math>은 <math>\mathbb Z[G]</math>-[[자유 가군]]이므로, 다음과 같은 표준적인 [[전단사 함수]]가 존재한다.
:<math> \hom_{\operatorname{Set}}(G^{\times n},M) \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G^{\times(n+1)}], M) </math>
여기서 <math>\hom_{\operatorname{Set}}(G^{\times n},M)</math>은 모든 [[함수]] <math>G^n\to M</math>의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 <math>n</math>차 공사슬의 집합과 같다.

마찬가지로, [[Tor 함자]] <math>\operatorname{Tor}_\bullet^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)</math>은 <math>\mathbb Z_{\mathbb Z[G]}</math>의 사영 분해 <math>\operatorname{Bar}^{\mathbb Z}_\bullet(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z[G])</math>를 사용하면 다음과 같은 [[사슬 복합체]]
:<math>\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)</math>
의 [[호몰로지]]로 계산된다.
:<math>
\dotsb\to
\mathbb Z[G^{\times3}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M
\to
\mathbb Z[G^{\times2}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M
\to
\mathbb Z[G] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong M</math>
그런데
:<math>\mathbb Z[G^{\times(n+1)}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M</math>
이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 <math>n</math>차 사슬의 집합과 같다.

== 성질 ==
=== 낮은 차수의 군 (코)호몰로지 ===
군 코호몰로지의 [[공사슬 복합체]]는 다음과 같이 시작한다.
:<math>C^0(G;M) = M</math>
:<math>C^1(G;M) = \hom_{\operatorname{Set}}(G,M)</math>
:<math>C^2(G;M) = \hom_{\operatorname{Set}}(G\times G,M)</math>
:<math>\mathrm d^0(m) \colon g \mapsto gm - m \qquad(m\in M,\;g\in G)</math>
:<math>\mathrm d^1(\phi) \colon (g,h) \mapsto g\phi(h) - \phi(gh) + \phi(g)\qquad(g,h\in G,\;\phi\in \hom_{\operatorname{Set}}(G,M))</math>

마찬가지로, 군 호몰로지의 [[사슬 복합체]]는 다음과 같이 시작한다.
:<math>C_0(G;M) = M</math>
:<math>C_1(G;M) = \mathbb Z[G] \otimes_{\mathbb Z} M</math>
:<math>C_2(G;M) = \mathbb Z[G\times G] \otimes_{\mathbb Z} </math>
:<math>\partial_0 \colon C_1(G;M) \to C_0(G;M)</math>
:<math>\partial_1 \colon (g,m) \mapsto m - gm</math>
:<math>\partial_2 \colon (g,h,m) \mapsto (h,m) - (gh,m) + (g,hm)</math>

이에 따라, 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 다음과 같이 해석된다. (마지막 열은 <math>G</math>의 <math>M</math> 위의 작용이 자명할 경우에 대한 특별한 해석이다.)

{| class=wikitable
! 공사슬 종류 !! 기호 !! 해석 !! 자명한 작용일 경우의 해석
|-
! 0차 완전 공사슬
| <math>\operatorname{im} \mathrm d_{-1}</math>
| colspan=2 | <math>0\in M</math>
|-
! 0차 닫힌 사슬
| <math>\ker\partial_0</math>
| colspan=2 | 임의의 원소 <math>m\in M</math>
|-
! 0차 닫힌 공사슬
| <math>\ker\mathrm d_0 </math>
| rowspan=2 | '''불변량''': <math>m\in M</math> 가운데, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>gm=m</math>인 것
| rowspan=2 | 임의의 원소 <math>m\in M</math>
|-
! 0차 완전 사슬
| <math>\operatorname{im}\partial_1</math>
|-
! 1차 닫힌 공사슬
| <math>\ker\mathrm d_1</math>
| '''교차 준동형'''({{llang|en|crossed homomorphism}}): [[함수]] <math>\phi\colon G\to M</math> 가운데, <math>\phi(gh) = \phi(g) + g\phi(h)</math>인 것
| [[군 준동형]] <math>(G,\cdot) \to (M,+)</math>
|-
! 1차 완전 공사슬
| <math>\operatorname{im}\mathrm d_0</math>
| '''주 교차 준동형'''({{llang|en|principal crossed homomorphism}}, <math>m\in M</math>에 대하여, <math>g\mapsto (g-1)m</math> 꼴의 교차 준동형)들의 선형 결합
| [[상수 함수]] <math>g\mapsto0</math>
|-
! 1차 닫힌 사슬
| <math>\ker\partial_1</math>
| 선형 결합 <math>\textstyle\sum_i\alpha_i(g_i,m)</math> 가운데, <math>\textstyle\sum_i \alpha_ig_im_i = \sum_i\alpha_i m_i</math>인 것
| 선형 결합 <math>\textstyle\sum_i\alpha_i(g_i,m)</math>
|-
! 1차 완전 사슬
| <math>\operatorname{im}\partial_2</math>
| <math>(h,m) - (gh,m) + (g,hm)</math> 꼴의 선형 결합들의 합 (<math>g,h\in G,\;m\in M</math>)
| <math>\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\{g+h-gh \colon g,h\in G\} \otimes_{\mathbb Z}M</math>의 원소
|}

특히, 만약 <math>G</math>의 <math>M</math> 위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname H^0(G;M) = M</math>
:<math>\operatorname H_0(G;M) = 0</math>
:<math>\operatorname H^1(G;M) = \hom_{\operatorname{Grp}}(G,M)</math>
:2차 군 코호몰로지 <math>\operatorname H^1(G;M)</math>는 [[군 (수학)|군]] <math>(G,\cdot)</math>의 [[아벨 군]] <math>(M,+)</math>에 대한 [[군의 확대|확대]]들을 분류한다.

=== 위상 코호몰로지와의 관계 ===
만약 <math>G</math>의 <math>M</math> 위의 [[군의 작용|작용]]이 자명하다면, 군 호몰로지와 군 코호몰로지는 각각 ([[이산 위상]]을 부여한 [[위상군]]으로서의) [[분류 공간]] <math>\mathrm BG</math>의 [[특이 호몰로지]] 및 [[특이 코호몰로지]]와 동형이다.
:<math>\operatorname H_k(G;M)=\operatorname H^\text{sing}_k(\mathrm BG;M)</math>
:<math>\operatorname H^k(G;M)=\operatorname H_\text{sing}^k(\mathrm BG;M)</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
<math>G</math>의 [[분류 공간]]은 [[단체 집합]] <math>\operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Set}}(1,G,1)</math>이다. 그 정수 계수 [[단체 호몰로지]]는 [[사슬 복합체]]
:<math>\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z)</math>
로 주어지며, <math>M</math>계수 단체 호몰로지는 [[사슬 복합체]]
:<math>\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}M</math>
으로 주어진다. 그런데 이는 군 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체와 같다.

마찬가지로, [[분류 공간]] <math>\operatorname BG</math>의 <math>M</math>계수 단체 코호몰로지는 [[공사슬 복합체]]
:<math>\hom_{\mathbb Z}\left(\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z),M\right)</math>,
로 주어진다. 그런데 이는 <math>G</math>의 <math>M</math>계수 군 코호몰로지와 같다.
</div></div>
보다 일반적으로, 만약 <math>G</math>의 작용이 자명하지 않다면, <math>M</math>은 <math>\mathrm BG</math> 위의 일종의 [[층 (수학)|층]] <math>\underline M</math>을 정의하며, 이 층의 [[층 코호몰로지|층 (코)호몰로지]]는 <math>G</math>의 <math>M</math>계수 군 (코)호몰로지와 같다.
:<math>\operatorname H^\bullet(G;M) \cong \operatorname H^\bullet(\mathrm BG;\underline M) </math>
:<math>\operatorname H_\bullet(G;M) \cong \operatorname H_\bullet(\mathrm BG;\underline M) </math>

== 예 ==
=== 자유군 ===
<math>k</math>개의 원소로 생성되는 [[자유군]] <math>F_k</math>을 생각하자. 자명한 작용을 가진 [[아벨 군]] <math>M</math>에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H^n(F_k;M)=\operatorname H_n(F_k;M)=\begin{cases}
M&n=0\\
M^{\oplus k}&n=1\\
0&n>1
\end{cases}</math>

=== 순환군 ===
<math>k</math>차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(k)</math>을 생각하자. 자명한 작용을 가진 [[아벨 군]] <math>M</math>에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H^n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\operatorname H_n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\begin{cases}
M&n=0\\
(\ker n)\subseteq M&2\nmid n\\
M/nM&2\mid n>0\\
\end{cases}</math>
여기서 <math>\ker n=\{m\in M\colon nm=0\}</math>은 <math>M</math>의 <math>n</math>-[[꼬임 부분군]]이다.

이는 [[순환군]]의 [[분류 공간]]인 <math>\mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(k)</math>의 [[특이 호몰로지]]와 같다. 특히, <math>k=2</math>일 경우 이는 무한 차원 [[실수 사영 공간]] <math>\operatorname{RP}^\infty</math>의 [[특이 호몰로지]]이다.

=== 자유 아벨 군 ===
<math>k</math>차 [[자유 아벨 군]] <math>\mathbb Z^{\oplus k}</math>을 생각하자. 자명한 작용을 가진 [[아벨 군]] <math>M</math>에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H^n(\mathbb Z^{\oplus k};M)=\operatorname H_n(\mathbb Z^{\oplus k};M)=M^{\oplus\binom kn}</math>
여기서 <math>\textstyle\binom kn</math>은 [[이항 계수]]이다. 이는 [[자유 아벨 군]]의 [[분류 공간]]인 [[원환면]] <math>\mathbb T^k</math>의 [[특이 호몰로지]]와 같다.

== 같이 보기 ==
* [[포스트니코프 탑]]

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=A cohomological viewpoint on elementary school arithmetic|이름=Daniel C.|성=Isaksen|url=http://www.math.wayne.edu/~isaksen/Expository/carrying.pdf|저널=The American Mathematical Monthly|권=109|호=9|issn=0002-9890|날짜=2002-11|쪽=796–805|jstor=3072368|doi=10.2307/3072368|mr=1933702|zbl=1026.20029|언어=en|확인날짜=2014-01-16|보존url=https://web.archive.org/web/20140116122708/http://www.math.wayne.edu/~isaksen/Expository/carrying.pdf|보존날짜=2014-01-16|url-status=dead}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cohomology of groups}}
* {{nlab|id=group cohomology|title=Group cohomology}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Cohomology_group|제목=Cohomology group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/First_cohomology_group|제목=First cohomology group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Second_cohomology_group|제목=Second cohomology group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
*** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Second_cohomology_group_for_trivial_group_action|제목=Second cohomology group for trivial group action|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_cohomology_of_finite_cyclic_groups|제목=Group cohomology of finite cyclic groups|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_cohomology_of_Klein_four-group|제목=Group cohomology of Klein four-group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_cohomology_of_elementary_abelian_groups|제목=Group cohomology of elementary abelian groups|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_cohomology_of_dicyclic_groups|제목=Group cohomology of dicyclic groups|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_cohomology_of_symmetric_groups|제목=Group cohomology of symmetric groups|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_cohomology_of_free_groups|제목=Group cohomology of free groups|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Homology_group|제목=Homology group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Homology_group_for_trivial_group_action|제목=Homology group for trivial group action|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Kunneth_formula_for_group_homology | 제목=Group cohomology of elementary abelian groups|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.arizona.edu/~sharifi/groupcoh.pdf|제목=Group and Galois cohomology|이름=Romyar|성=Sharifi|언어=en|확인날짜=2013-04-01|보존url=https://web.archive.org/web/20140211150910/http://math.arizona.edu/~sharifi/groupcoh.pdf#|보존날짜=2014-02-11|url-status=dead}}
* {{서적 인용|url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/CFT.pdf|제목=Class field theory|이름=James S.|성=Milne|날짜=2013-03-23|판=4.02|언어=en|확인날짜=2013-04-01|보존url=https://web.archive.org/web/20130619104611/http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/CFT.pdf|보존날짜=2013-06-19|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://wwwf.imperial.ac.uk/~buzzard/maths/research/notes/definition_of_group_cohomology_and_homology.pdf|제목=Notes on the definitions of group cohomology and homology | 이름=Kevin | 성=Buzzard | 날짜=2012-02-09 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.stanford.edu/~conrad/210BPage/handouts/dexact.pdf | 제목=The bar resolution | 이름=Brian |성=Conrad | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/75472/kuenneth-formula-for-group-cohomology-with-nontrivial-action-on-the-coefficient | 제목=Kuenneth-formula for group cohomology with nontrivial action on the coefficient|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:군론]]
[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:대수적 수론]]