군 스킴 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''군 스킴'''(群scheme, {{llang|en|group scheme}}, {{llang|fr|schéma en groupe}})은 군과 유사한 구조를 갖는 [[스킴 (수학)|스킴]]이다. 즉, [[대수군]]의 정의에서 [[대수다양체]]를 스킴으로 대체한 것이다.

== 정의 ==
'''군 스킴'''은 스킴 범주의 [[군 대상]]으로, 또는 특정한 [[함자 (수학)|함자]]로 정의할 수 있다.

=== 군 대상을 통한 정의 ===
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>S</math>가 주어졌다고 하자. <math>S</math> 위의 '''군 스킴'''은 스킴의 범주의 [[조각 범주]] <math>\operatorname{Sch}/S</math> 속의 [[군 대상]]이다. 즉, 군 스킴 <math>(G,m,e,i)</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>G/S</math>는 <math>S</math>-스킴이다.
* <math>m\colon G\times_SG\to G</math>는 <math>S</math>-스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다.
* <math>e\colon S\to G</math>는 <math>S</math>-스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다.
* <math>i\colon G\to G</math>는 <math>S</math>-스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.
이들은 [[군 대상]]의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다.

=== 함자를 통한 정의 ===
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>S</math> 위의 '''군 스킴'''은 다음 조건을 만족시키는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>G\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}</math>
이다.
* <math>\operatorname{Forget}\circ G\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>는 [[표현 가능 함자]]이다. 즉, <math>\operatorname{Forget}\circ G\cong\hom_{\operatorname{Sch}/S}(-,X)</math>가 되는 <math>S</math>-스킴 <math>X</math>가 존재한다.
여기서
:<math>\operatorname{Forget}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Set}</math>
는 [[군 (수학)|군]]의 [[구체적 범주]]의 망각 함자이다.

이 두 정의는 서로 [[동치]]이다. 구체적으로, <math>\operatorname{Sch}/S</math> 속의 군 대상 <math>G</math>가 주어졌을 때, [[표현 가능 함자]] <math>\hom(-,G)</math>는 둘째 정의에 부합한다.

== 성질 ==
[[스킴 (수학)|스킴]]의 범주에서 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주로 가는 표준적인 망각 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Sch} \to \operatorname{Top}</math>
를 생각하자. 이는 [[충실한 함자]]가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 [[위상군]](또는 [[군 (수학)|군]])을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 [[곱 (범주론)|곱]] 또는 [[올곱]]은 [[곱공간]](또는 [[곱집합]])에 대응하지 않는다.

반면, 임의의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, <math>\operatorname{Spec}K</math> 위의 군 스킴 <math>G</math>의 <math>K</math>-[[유리점]]의 집합 <math>G(K)</math>을 취할 수 있다. 이 경우,
:<math>(G \times_{\operatorname{Spec}K} G)(K) = G(K) \times_{\operatorname{Set}} G(K)</math>
이므로, [[집합]] <math>G(K)</math> 위에는 [[군 (수학)|군]]의 구조가 존재한다.

[[복소수체]] <math>\mathbb C</math> 위의 군 스킴 가운데 [[비특이 대수다양체]]를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 [[복소다양체]]를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 [[대수군]]이라고 하며, 이에 대응하는 [[복소다양체]]는 복소수 [[리 군]]을 이룬다.

== 예 ==
=== 곱셈 군 스킴 ===
스킴 <math>S</math> 위의 군 스킴 <math>\mathbb G_{\operatorname m}</math>은 스킴으로서 원점을 제거한 <math>S</math>-[[아핀 직선]] <math>\mathbb A^1_S\setminus\{0\}</math>이다. 함자로서 이는 다음과 같다.
:<math>\mathbb G_{\operatorname m}\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}</math>
:<math>\mathbb G_{\operatorname m}\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\Gamma(X,\mathcal O_X^\times)</math>
여기서 <math>\Gamma</math>는 [[아벨 군]] [[층 (수학)|층]]의 단면군을 뜻하며, <math>\mathcal O_X^\times</math>는 구조층 <math>\mathcal O_X</math>의 [[가역원군]]층이다. 특히, 만약 <math>S=\operatorname{Spec}R</math>가 [[아핀 스킴]]이라면, 그 군 스킴은 <math>R</math>계수 [[로랑 다항식환]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]이다.
:<math>\mathbb G_{\operatorname m}\cong\operatorname{Spec}[x,x^{-1}] = \operatorname{Spec}R[x,y]/(xy-1)</math>
이 경우, 군 [[이항 연산]]
:<math>\mathbb G_{\operatorname m} \times_{\operatorname{Spec}R} \mathbb G_{\operatorname m} \to \mathbb G_{\operatorname m}</math>
은 다음과 같은 <math>R</math>-[[결합 대수]]의 준동형에 대응한다.
:<math>R[x,x^{-1}] \to R[y,y^{-1},z,z^{-1}] = R[y,y^{-1}] \star_R R[z,z^{-1}]</math>
:<math>x \mapsto yz</math>
마찬가지로, 항등원
:<math>\operatorname{Spec}R \to \mathbb G_{\operatorname m}</math>
은 다음과 같은 <math>R</math>-[[결합 대수]]의 준동형에 대응한다.
:<math>R[x,x^{-1}] \to R</math>
:<math>x \mapsto 1</math>
이는 [[로랑 다항식환]] <math>R[x,x^{-1}]</math>의 [[호프 대수]] 구조에서 유래한다.

보다 일반적으로, 스킴 <math>S</math> 위의 '''[[일반 선형군]] 스킴'''(一般線型郡scheme, {{llang|en|general linear group scheme}}) <math>\operatorname{GL}(n;S)</math>는 함자로서 다음과 같다.
:<math>\operatorname{GL}(n;S)\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}</math>
:<math>\operatorname{GL}(n;S)\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\operatorname{Mat}(n;\Gamma(X,\mathcal O_X^\times))</math>
여기서 <math>\operatorname{Mat}(;)</math>는 [[행렬환]]을 뜻한다. 이 경우 <math>\mathbb G_{\operatorname m}=\operatorname{GL}(1;S)</math>이다.

=== 덧셈 군 스킴 ===
스킴 <math>S</math> 위의 군 스킴 <math>\mathbb G_{\operatorname a}</math>는 스킴으로서 <math>S</math>-[[아핀 직선]] <math>\mathbb A^1_S=\operatorname{Spec}(S[x])</math>이다. 함자로서 이는 다음과 같다.
:<math>\mathbb G_{\operatorname a}\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}</math>
:<math>\mathbb G_{\operatorname a}\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\Gamma(X,\mathcal O_X)</math>
여기서 <math>\Gamma</math>는 [[아벨 군]] [[층 (수학)|층]]의 단면군을 뜻한다.

특히, 만약 <math>S=\operatorname{Spec}R</math>가 [[아핀 스킴]]이라면, <math>\mathbb G_{\operatorname a}=\mathbb A^1_S=\operatorname{Spec}R[x]</math>이다. 이 경우, 군의 [[이항 연산]]
:<math>\mathbb G_{\operatorname a} \times_{\operatorname{Spec}R} \mathbb G_{\operatorname a} \to \mathbb G_{\operatorname a}</math>
은 다음과 같은 [[환 준동형]]에 대응한다.
:<math>R[x] \to R[y,z] = R[y] \star_R R[z]</math>
:<math>x \mapsto y+z</math>
군의 항등원 사상
:<math>\operatorname{Spec}R \to \mathbb G_{\operatorname a}</math>
은 다음과 같은 [[환 준동형]]에 대응한다.
:<math>R[x] \to R</math>
:<math>x \mapsto 0</math>

=== 1의 거듭제곱근 군 스킴 ===
양의 정수 <math>n</math>에 대하여, '''1의 <math>n</math>제곱근 군 스킴'''({{llang|en|group scheme of <math>n</math>th roots of unity}}) <math>\mathbb\mu_n</math>은 <math>n</math>제곱 사상 <math>\mathbb G_{\operatorname m}\to\mathbb G_{\operatorname m}</math>의 [[핵 (수학)|핵]]이다. 함자로서 이는 다음과 같다.
:<math>\mathbb\mu_n\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}</math>
:<math>\mathbb\mu_n\colon(X,\mathcal O_X)\to\{s\in\Gamma(X,\mathcal O_X)\colon s^n=1_{\Gamma(X,\mathcal O_X)}\}</math>
특히, 만약 <math>S=\operatorname{Spec}R</math>가 [[아핀 스킴]]이라면, <math>\mathbb\mu_n=\operatorname{Spec}(R[x]/(x^n-1))</math>이다.

=== 상수 군 스킴 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. 스킴 <math>S</math> 위의 '''상수 군 스킴'''({{llang|en|constant group scheme}}) <math>G_S</math>는 스킴으로서 [[분리합집합]] <math>S^{\sqcup G}</math>이다 (즉, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 <math>G</math>에 [[이산 위상]]을 준다면 <math>G\times S</math>이다). 그 위의 군 스킴의 구조는 <math>G</math>의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다.
:<math>G_S\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}</math>
:<math>G_S \colon X \mapsto G^{\times\operatorname{conn\,comp}(X)}</math>
여기서 <math>\operatorname{conn\,comp}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[연결 성분]]의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 [[연결 성분]]의 수만큼의 군 [[직접곱]]에 대응시킨다.

특히, <math>G</math>가 [[자명군]]인 경우, [[항등 사상]]을 갖춘 <math>S/S</math>는 <math>S</math> 위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든 <math>S</math> 위의 스킴을 [[자명군]]에 대응시킨다.

=== 대각화 가능 군 스킴 ===
[[아벨 군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. 스킴 <math>S</math> 위의 '''대각화 가능 군 스킴'''({{llang|en|diagonalizable group scheme}}) <math>\operatorname{Diag}(G)</math>는 함자로서 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Diag}(G)\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}</math>
:<math>\operatorname{Diag}(G)\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\hom_{\operatorname{Ab}}\left(G,(\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times\right)</math>
만약 <math>S=\operatorname{Spec}R</math>가 [[아핀 스킴]]이라면, <math>\operatorname{Diag}G=\operatorname{Spec}(R[G])</math>는 [[군환]] <math>R[G]</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]이다.

=== 아핀 군 스킴 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가환환|가환]] [[호프 대수]] <math>H</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}H</math>는 표준적으로 <math>\operatorname{Spec}R</math>-군 스킴을 이룬다. 반대로, <math>\operatorname{Spec}R</math> 위의 모든 [[아핀 스킴|아핀]] 군 스킴은 <math>R</math> 위의 [[가환환|가환]] [[호프 대수]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 [[호프 대수]]로서의 연산과 다음과 같이 대응한다.
{| class=wikitable
|-
! 군 스킴 !! 호프 대수
|-
| 곱 <math>\Delta^{\operatorname{op}}\colon\operatorname{Spec}H\times_R\operatorname{Spec}H=\operatorname{Spec}(H\otimes_RH)\to \operatorname{Spec}H</math>
| 쌍대곱 <math>\Delta\colon H\to H\otimes_RH</math>
|-
| 항등원 <math>\epsilon^{\operatorname{op}}\colon\operatorname{Spec}R\to\operatorname{Spec}H</math>
| 쌍대항등원 <math>\epsilon\colon H\to R</math>
|-
| 역원 <math>S^{\operatorname{op}}\colon\operatorname{Spec}H\to\operatorname{Spec}H</math>
| 앤티포드 <math>S\colon H\to H</math>
|-
| <math>\operatorname{Spec}R</math>-스킴의 구조 사상 <math>\eta^{\operatorname{op}}\operatorname{Spec}H\to\operatorname{Spec}R</math>
| 항등원 <math>\eta\colon R\to H</math>
|-
| [[대각 사상]] <math>\operatorname{diag}_{\operatorname{Spec}H/R}=\nabla^{\operatorname{op}}\colon\operatorname{Spec}H\to\operatorname{Spec}H\times_R\operatorname{Spec}H=\operatorname{Spec}(H\otimes_RH)</math>
| 곱 <math>\nabla\colon H\otimes_RH\to H</math>
|}

== 같이 보기 ==
* [[안정점]]
* [[기하 불변량 이론 몫]]
* [[불변량 이론]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last1=Waterhouse | first1=William C. | title=Introduction to affine group schemes | publisher=Springer-Verlag | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90421-4 | 날짜=1979 | volume=66 | doi=10.1007/978-1-4612-6217-6 | mr=0547117 | issn=0072-5285 | 언어=en}}
* {{서적 인용|성1=Gabriel|이름=Peter|성2= Demazure|이름2= Michel |title=Introduction to algebraic geometry and algebraic groups |url=https://archive.org/details/introductiontoal0000dema|publisher=North-Holland |location=Amsterdam |날짜=1980|isbn=0-444-85443-6 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | 장url=http://math.stanford.edu/~conrad/papers/luminysga3.pdf | 이름=Brian | 성=Conrad | 장=Reductive group schemes | 제목=Autour des schémas en groupes. École d’été “Schémas en groupes”. Volume I | url=http://smf4.emath.fr/Publications/PanoramasSyntheses/2014/42-43/html/smf_pano-synth_42-43.php | zbl=06479627 | isbn=978-2-85629-794-0 | 출판사=Société Mathématique de France | 총서=Panoramas et Synthèses | 권=42 | 언어=en | 확인날짜=2016-04-01 | 보존url=https://web.archive.org/web/20160420135113/http://smf4.emath.fr/Publications/PanoramasSyntheses/2014/42-43/html/smf_pano-synth_42-43.php | 보존날짜=2016-04-20 | url-status=dead }}
* {{서적 인용
 | editor1-first = M. | editor1-last = Demazure
 | editor2-first=A. | editor2-last=Grothendieck | editor2-link = 알렉산더 그로텐디크
 | title = Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 1
 | 총서=Lecture Notes in Mathematics |권=151 | issn=0075-8434
 | year = 1970
 | publisher = Springer
 |doi=10.1007/BFb0058993
 |isbn=978-3-540-05179-4
 | 언어=fr
}}
* {{서적 인용
 | editor1-first = M. | editor1-last = Demazure
 | editor2-first=A. | editor2-last=Grothendieck | editor2-link = 알렉산더 그로텐디크
 | title = Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 2
 | 총서=Lecture Notes in Mathematics |권=152 | issn=0075-8434
 | year = 1970
 | publisher = Springer
 |doi=10.1007/BFb0059005
 |isbn=978-3-540-05180-0
 |언어=fr
}}
* {{서적 인용
 | editor1-first = Demazure
 | editor1-last = Michel
 | editor2-first=A. | editor2-last=Grothendieck | editor2-link = 알렉산더 그로텐디크
 | title = Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 3
 |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=153 | issn=0075-8434
 | year = 1970
 | publisher = Springer
 |doi=10.1007/BFb0059027
 |isbn=978-3-540-05181-7
 |언어=fr
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Group scheme}}
* {{nlab|id=group scheme|title=Group scheme}}
* {{nlab|id=diagonalizable group scheme|title=Diagonalizable group scheme}}
* {{nlab|id=unipotent group scheme|title=Unipotent group scheme}}
* {{nlab|id=multiplicative group scheme|title=Multiplicative group scheme}}
* {{웹 인용|url=https://ayoucis.wordpress.com/2014/07/09/group-schemes-and-affine-group-schemes/|제목=Group schemes and affine group schemes|날짜=2014-07-09|웹사이트=Hard Arithmetic|이름=Alex|성=Youcis|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수군]]
[[분류:스킴 이론]]