군의 작용 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''군의 작용'''(群의作用, {{llang|en|group action}})은 어떤 [[군 (수학)|군]]으로부터, 어떤 집합의 [[대칭군 (군론)|대칭군]]으로 가는 [[군 준동형]]이다. 대략, 어떤 공간 위에 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.

== 정의 ==
[[모노이드]] <math>M</math>의, [[집합]] <math>X</math> 위의 '''왼쪽 작용'''({{llang|en|left action of <math>M</math> on <math>X</math>}})은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 <math>M\times X\to X</math>로 정의할 수 있으며, 또 특정한 [[모노이드 준동형]]으로, 또는 [[함자 (수학)|함자]]로도 생각할 수 있다. [[모노이드]] <math>M</math>의 작용을 갖춘 집합을 '''<math>M</math>-집합'''({{llang|en|<math>M</math>-set}})이라고 한다. 두 <math>M</math>-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 '''등변 함수'''(等變函數, {{llang|en|equivariant function}})라고 한다. <math>M</math>-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 [[범주 (수학)|범주]]가 존재하며, 이를 <math>M\text{-Set}</math> 또는 <math>\operatorname{Set}^M</math>으로 쓴다.

모든 [[군 (수학)|군]]은 [[모노이드]]를 이루며, '''군의 작용'''({{llang|en|group action}})은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, [[반군]]의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 <math>M</math>의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 [[항등 함수]]가 아니게 작용할 수 있다.)

=== 함수를 통한 정의 ===
[[모노이드]] <math>M</math>의, [[집합]] <math>X</math> 위의 '''왼쪽 작용'''({{llang|en|left action of <math>M</math> on <math>X</math>}})은 다음 조건들을 만족시키는 [[함수]] <math>\cdot\colon M\times X\to X</math>이다.
* (모노이드 항등원은 [[항등 함수]]) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>1_M\cdot x=x</math>. 여기서 <math>1_M\in M</math>은 <math>M</math>의 항등원이다.
* (모노이드 연산은 [[함수의 합성]]) 임의의 <math>m,n\in M</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>(mn)\cdot x=m\cdot(n\cdot x)</math>
[[모노이드]] <math>M</math>의, [[집합]] <math>X</math> 위의 '''오른쪽 작용'''({{llang|en|right action of <math>G</math> on <math>X</math>}})은 다음 조건들을 만족시키는 [[함수]] <math>\cdot\colon X\times M\to X</math>이다.
* (모노이드 항등원은 [[항등 함수]]) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\cdot1_M=x</math>. 여기서 <math>1_M\in M</math>은 <math>M</math>의 항등원이다.
* (모노이드 연산은 [[함수의 합성]]) 임의의 <math>m,n\in M</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\cdot(mn)=(x\cdot m)\cdot n</math>

[[모노이드]] <math>M</math>의 작용을 갖춘 두 집합 <math>X</math>, <math>Y</math>이 주어졌다고 하자. 그 사이의 '''등변 함수''' <math>f\colon X\to Y</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]이다.
:<math>\forall x\in X,m\in M\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x)</math>
여기서 좌변은 <math>Y</math> 위의 작용이고, 우변은 <math>X</math> 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.
:<math>\begin{matrix}
M\times X&\to&X\\
{\scriptstyle M\times f}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\
M\times Y&\to&Y
\end{matrix}</math>

=== 준동형을 통한 정의 ===
추상적으로, 모노이드 <math>M</math>의, 집합 <math>X</math> 위의 '''왼쪽 작용'''은 <math>M</math>에서 <math>X</math> 위의 [[자기 함수]]들의 [[모노이드]] <math>\operatorname{End}X</math>로 가는 [[모노이드 준동형]]
:<math>\phi\colon M\to\operatorname{End}X</math>
이며, <math>M</math>의 <math>X</math> 위의 '''오른쪽 작용'''은 [[반대 모노이드]] <math>M^{\operatorname{op}}</math>에서 <math>\operatorname{End}X</math>로 가는 [[모노이드 준동형]]
:<math>M^{\operatorname{op}}\to\operatorname{End}X</math>
이다. 만약 <math>G</math>가 [[군 (수학)|군]]일 경우, 왼쪽 작용은 <math>X</math>의 [[대칭군 (군론)|대칭군]] (=[[자기 동형군]]) <math>\operatorname{Sym}X</math>으로 가는 [[군 준동형]]
:<math>G\to\operatorname{Sym}X</math>
을 이루며, 오른쪽 작용은 [[반대군]]에서의 [[군 준동형]]
:<math>G^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Sym}X</math>
을 이룬다.

[[모노이드]] <math>M</math>의 작용을 갖춘 두 집합
:<math>\phi_X\colon M\to\operatorname{End}X</math>
:<math>\phi_Y\colon M\to\operatorname{End}Y</math>
이 주어졌다고 하자. 그 사이의 '''등변 함수''' <math>f\colon X\to Y</math>는 다음 그림을 가환하게 만드는 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>이다.
:<math>\begin{matrix}
M&\xrightarrow{\phi_X}&\operatorname{End}X\\
{\scriptstyle\phi_Y}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\circ\\
\operatorname{End}Y&\xrightarrow[\circ f]{}&\hom(X,Y)
\end{matrix}</math>

=== 범주론적 정의 ===
[[범주론]]적으로, <math>M</math>의 '''작용'''은 <math>M</math>을 하나의 대상을 갖는 [[작은 범주]]로 간주하였을 때, [[함자 (수학)|함자]]
:<math>F\colon M\to\operatorname{Set}</math>
와 동치이다. 이 경우, <math>M</math>이 작용하는 집합은 범주 <math>M</math>의 유일한 대상 <math>\bullet_M</math>의 <math>F</math>에 대한 [[상 (수학)|상]] <math>F(\bullet_M)\in\operatorname{Set}</math>이며, <math>m\in M</math>의 작용은 <math>F</math>에 대한 [[상 (수학)|상]] <math>F(m)\colon F(\bullet_M)\to F(\bullet_M)</math>이다.

두 <math>M</math>-집합
:<math>F\colon M\to\operatorname{Set}</math>
:<math>G\colon M\to\operatorname{Set}</math>
사이의 '''등변 함수''' <math>F\Rightarrow G</math>는 두 함자 사이의 [[자연 변환]]과 [[동치]]이다. 구체적으로, 자연 변환 <math>\eta\colon F\Rightarrow G</math>에 대응하는 등변 함수는 <math>\eta</math>의 성분
:<math>\eta_{\bullet_M}\colon F(\bullet_M)\to G(\bullet_M)</math>
이다.

따라서, <math>M</math>-집합의 범주 <math>\operatorname{Set}^M</math>은 사실 ([[작은 범주]]로 간주한) <math>M</math>에서 <math>\operatorname{Set}</math>로 가는 함자 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.

=== 궤도와 안정자군 ===
군 <math>G</math>가 집합 <math>X</math>에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. <math>x\in X</math>의 '''궤도'''(軌道, {{llang|en|orbit}}) <math>G\cdot x</math>는 다음과 같다.
:<math>G\cdot x = \{ g\cdot x \colon g \in G \}</math>
궤도는 <math>G</math> 위의 [[동치 관계]]
:<math>x\sim y\iff \exists g\in G\colon g\cdot x=y</math>
의 [[동치류]]와 같으며, <math>X</math>는 궤도들로 [[집합의 분할|분할]]된다.

임의의 <math>x\in X</math>의 '''안정자군'''(安定子群, {{llang|en|stabilizer subgroup}}) <math>G_x</math>는 다음과 같다.
:<math>G_x = \{g \in G \colon g\cdot x = x\}</math>
즉, 안정자군 <math>G_x</math>는 <math>G</math>의 원소 중 <math>x</math>를 [[고정점]]으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.

=== 작용 준군 ===
[[모노이드]] <math>M</math>이 [[집합]] <math>X</math> 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>를 정의할 수 있다.
* <math>\mathcal C</math>의 대상은 <math>X</math>의 원소이다.
* <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>\hom_{\mathcal C}(x,y)=\{m\in M\colon mx=y\}</math>이다.
* <math>x\in X</math> 위의 항등 사상은 <math>1_M\in\hom_{\mathcal C}(x,x)</math>이다.
이를 '''작용 범주'''(作用範疇, {{llang|en|action category}}, {{lang|en|translation category}})라고 한다.<ref>{{서적 인용|제목=The K-book: an introduction to algebraic K-theory|이름=Charles A.|성=Weibel|isbn=978-0-8218-9132-2|출판사=American Mathematical Society|날짜=2013-05-18|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=145|url=https://math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html|언어=en|zbl=1273.19001 }}</ref>{{rp|315, 3.3.1}} 만약 <math>M</math>이 [[군 (수학)|군]]이라면, <math>X</math> 위의 작용 범주는 [[준군]]을 이룬다. 이를 '''작용 준군'''(作用準群, {{llang|en|action groupoid}}, {{lang|en|translation groupoid}})이라고 한다.

작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.

== 성질 ==
군의 왼쪽 작용 <math>\cdot\colon G\times X\to X</math>이 주어졌을 때,
* <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g\cdot\colon X\to X</math>는 [[전단사 함수]]이다.
* (역원은 [[역함수]]) <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^{-1}\cdot=(g\cdot)^{-1}</math>이다. 여기서 <math>(g\cdot)^{-1}</math>는 전단사 함수의 [[역함수]]이다.

=== 왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계 ===
임의의 모노이드 <math>M</math>에 대하여, 왼쪽 <math>M</math>-작용은 오른쪽 <math>M^{\operatorname{op}}</math>-작용과 같다. 여기서 <math>M^{\operatorname{op}}</math>은 <math>M</math>의 [[반대 모노이드]]이다. 특히, [[가환 모노이드]]는 스스로의 [[반대 모노이드]]와 표준적으로 [[동형]]이므로, [[가환 모노이드]]의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.

모든 군 <math>G</math>는 그 [[반대군]]과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형
:<math>{}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname{op}}</math>
이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 <math>G</math>-작용을 왼쪽 <math>G</math>-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 <math>G</math>-작용 <math>r\colon X\times G\to X</math>에 대하여,
:<math>\ell\colon G\times X\to X</math>
:<math>\ell(g,x)=r(x,g^{-1})</math>
로 정의한다면, <math>\ell</math>은 왼쪽 <math>G</math>-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 <math>G</math>-작용 <math>\ell\colon G\times X\to X</math>가 주어졌을 때
:<math>r\colon X\times G\to X</math>
:<math>r(x,g)=\ell(g^{-1},x)</math>
는 오른쪽 <math>G</math>-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 [[동치]]이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)

=== 궤도-안정자군 정리 ===
안정자군 <math>G_x</math>는 G의 [[부분군]]이므로 그 [[왼쪽 잉여류]]를 생각할 수 있다. '''궤도-안정자군 정리'''(軌道-安定子群定理, {{llang|en|orbit–stabilizer theorem}})에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.
* <math>G\cdot x</math>의 원소 <math>g\cdot x</math>를 왼쪽 잉여류 <math>gG_x</math>로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 <math>g,h\in G</math>에 대하여, <math>g\cdot x=h\cdot x</math>라면 <math>gG_x=hG_x</math>이다.
* 이 함수는 [[전단사 함수]]이다. 즉, 임의의 <math>g,h\in G</math>에 대하여, <math>gG_x=hG_x</math>라면 <math>g\cdot x=h\cdot x</math>이다.
특히, 만약 <math>G</math>가 [[유한군]]이면, [[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]에 의해 다음이 성립한다.
:<math>|G\cdot x| = [G:G_x] = |G| / |G_x|</math>

=== 보편대수학적 성질 ===
[[모노이드]] <math>M</math>에 대하여, <math>M</math>-집합은 <math>M</math>의 각 원소 <math>m\in M</math>에 대하여 1항 연산 <math>m\cdot</math>을 가지며, 대수적 관계
:<math>1\cdot x=x\qquad\forall x\in X</math>
:<math>m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad\forall x\in X</math>
를 만족시키는 [[대수 구조]]이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, <math>M</math>-집합들은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다.

집합 <math>X</math> 위의 [[자유 대수|자유]] <math>M</math>-집합은 [[곱집합]] <math>M\times X</math>이며, 그 위의 작용은
:<math>m\cdot(n,x)=(mn,x)</math>
이다.

=== 범주론적 성질 ===
[[모노이드]] <math>M</math>에 대하여, <math>M</math>-집합의 범주 <math>\operatorname{Set}^M</math>은 ([[작은 범주]]에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) [[그로텐디크 토포스]]를 이룬다.<ref name="EM"/> 특히, 이는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이며 [[데카르트 닫힌 범주]]이다.

<math>\operatorname{Set}^M</math>의 [[시작 대상]]은 (유일한 작용을 갖춘) [[공집합]]이다.
<math>\operatorname{Set}^M</math>의 [[끝 대상]]은 (유일한 작용을 갖춘) [[한원소 집합]]이다. <math>\operatorname{Set}^M</math>의 <math>\operatorname{Set}^M</math>의 [[부분 대상 분류자]] <math>R_M</math>은 <math>M</math> 위의 오른쪽 [[모노이드 아이디얼]]들의 집합
:<math>R_M=\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\}</math>
이다.<ref name="EM"/> 이 위의 <math>M</math>의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.
:<math>M\times R_M\to R_M</math>
:<math>(m,I)\mapsto mI</math>

망각 함자
:<math>U\colon\operatorname{Set}^M\to\operatorname{Set}</math>
가 존재한다. 이는 [[왼쪽 수반 함자]] <math>F</math>와 [[오른쪽 수반 함자]] <math>G</math>를 갖는다.<ref name="EM">{{저널 인용|url=http://176.58.104.245/NOTES/categories/M-Set.pdf|제목=The category of ''M''-sets|저널=Italian Journal of Pure and Applied Mathematics|issn=1126-8042|성=Ebrahimi |이름=M. Mehdi|성2=Mahmoudi|이름2=M. |날짜=2001|권=9|쪽=123-132|언어=en}}</ref>
:<math>F\dashv U\dashv G</math>
왼쪽 수반 함자 <math>F</math>는 [[자유 대수]] 함자이다. 즉, 집합 <math>X</math>를 <math>M\times X</math>로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 <math>G</math>는 집합 <math>X</math>를 함수들의 집합 <math>X^M</math>으로 대응시킨다. <math>M</math>의 <math>X^M</math> 위의 작용은 다음과 같다.
:<math>(m\cdot f)(n)=f(mn)</math>

== 종류 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 집합 <math>X</math> 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.

=== 추이적 작용 ===
군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 '''''n''-추이적 작용'''(''n''-推移的作用, {{llang|en|''n''-transitive action}})이라 한다.
* 임의의 서로 다른 원소들 <math>x_1,\dots,x_n\in X</math> 및 임의의 서로 다른 원소들 <math>y_1,\dots,y_n\in X</math>에 대하여, <math>g\cdot x_k=y_k</math> (<math>\forall k\in\{1,\dots,n\}</math>)인 <math>g\in G</math>가 존재한다.
만약 여기서 이러한 <math>g</math>가 유일하다면, 이를 '''''n''-정추이적 작용'''(''n''-正推移的作用, {{llang|en|sharply ''n''-transitive action}})이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 ''n''-정추이적 작용이라고 한다.
* 임의의 서로 다른 원소들 <math>x_1,\dots,x_n\in X</math> 및 임의의 서로 다른 원소들 <math>y_1,\dots,y_n\in X</math>에 대하여, <math>g\cdot x_k=y_k</math> (<math>\forall k\in\{1,\dots,n\}</math>)인 유일한 <math>g\in G</math>가 존재한다.
1-추이적 작용은 단순히 '''추이적 작용'''(推移的作用, {{llang|en|transitive action}})이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 '''정추이적 작용'''(正推移的作用, {{llang|en|sharply transitive action}}) 또는 '''정칙 작용'''(正則作用, {{llang|en|regular action}})이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 [[동치]]이며, [[아벨 군]]의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.

=== 충실한 작용과 자유 작용 ===
군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 '''충실한 작용'''(忠實-作用, {{llang|en|faithful action}}) 또는 '''효과적 작용'''(效果的作用, {{llang|en|effective action}})이라고 한다.
* 임의의 <math>g,h\in G</math>에 대하여, 만약 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>g\cdot x=h\cdot x</math>라면, <math>g=h</math>
* 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, 만약 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>g\cdot x=x</math>라면, <math>g=1_G</math>
* 단사 군 준동형이다.

군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 '''자유 작용'''(自由作用, {{llang|en|free action}}) 또는 '''반정칙 작용'''(半正則作用, {{llang|en|semiregular action}})이라고 한다.
* 임의의 <math>g,h\in G</math>에 대하여, 만약 <math>g\cdot x=h\cdot x</math>인 <math>x\in X</math>가 존재한다면, <math>g=h</math>
* 임의의 <math>g,h\in G</math>에 대하여, 만약 <math>g\cdot x=x</math>인 <math>x\in X</math>가 존재한다면, <math>g=1_G</math>

== 같이 보기 ==
* [[군의 표현]]
* [[가군]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Group action}}
* {{eom|title=Action of a group on a manifold}}
* {{eom|title=Stabilizer}}
* {{eom|title=Transitive group}}
* {{eom|title=Orbit}}
* {{매스월드|id=GroupAction|title=Group action}}
* {{매스월드|id=TransitiveGroupAction|title=Transitive group action}}
* {{매스월드|id=FaithfulGroupAction|title=Faithful group action}}
* {{매스월드|id=GroupOrbit|title=Group orbit}}
* {{매스월드|id=Stabilizer|title=Stabilizer}}
* {{매스월드|id=G-Set|title=G-set}}
* {{매스월드|id=GroupSet|title=Group set}}
* {{nlab|id=G-set}}
* {{nlab|id=action|title=Action}}
* {{nlab|id=action groupoid|title=Action groupoid}}
* {{웹 인용|url=https://gowers.wordpress.com/2011/11/06/group-actions-i/|제목=Group actions I|이름=Timothy|성=Gowers|저자링크=윌리엄 티머시 가워스|날짜=2011-11-06|웹사이트=Gowers's Weblog|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://gowers.wordpress.com/2011/11/09/group-actions-ii-the-orbit-stabilizer-theorem/|제목=Group actions II: the orbit-stabilizer theorem|이름=Timothy|성=Gowers|저자링크=윌리엄 티머시 가워스|웹사이트=Gowers's Weblog|날짜=2011-11-09|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]
[[분류:반군론]]
[[분류:표현론]]