국소 볼록 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{구별2|국소 볼록 집합|이}}
[[함수해석학]]에서 '''국소 볼록 공간'''(局所볼록空間, {{llang|en|locally convex space}})은 그 위상이 일련의 [[반노름]]들에 대한 [[시작 위상]]으로 유도되는 [[위상 벡터 공간]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=바나하공간론|저자=조총만|총서=대우학술총서|권=485|isbn=978-89-8910318-9|출판사=아카넷|url=http://www.acanet.co.kr/book/book_detail.php?book_id=284|날짜=2000|언어=ko|확인날짜=2017-01-01|보존url=https://web.archive.org/web/20160805201245/http://www.acanet.co.kr/book/book_detail.php?book_id=284|보존날짜=2016-08-05|url-status=dead}}</ref>{{rp|§5, 38–49}} [[함수해석학]]에서 다루는 가장 일반적인 공간 가운데 하나이다.

== 정의 ==
<math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. <math>K</math>-'''국소 볼록 공간'''은 특별한 종류의 <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]]이며, 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 [[동치]]이다.

=== 볼록 집합을 통한 정의 ===
<math>K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 <math>0\in V</math>의 [[근방]] <math>\tilde B\ni 0</math>에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 집합 <math>B\subseteq V</math>가 존재한다면, <math>V</math>를 <math>K</math>-'''국소 볼록 공간'''이라고 한다.
* 0의 [[근방]]이다.
* <math>0\in B\subseteq\tilde B</math>
* ([[볼록 집합|볼록성]]) <math>\textstyle B=\{tx+(1-t)y\colon (x,y,t)\in B\times B\times[0,1]\}</math>
* (균형성) <math>\textstyle B=\bigcup_{\lambda\in K}^{|\lambda|\le1}\lambda B</math>
* (흡수성) <math>\textstyle V=\bigcup_{\lambda\in K}\lambda B</math>

=== 반노름을 통한 정의 ===
<math>K</math>-'''국소 볼록 공간''' <math>V</math>는 다음 성질들을 만족시키는 <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]]이다.
* <math>V</math>의 [[위상 공간 (수학)|위상]]은 일련의 [[반노름]]들 <math>\{\nu_i\}_{i\in I}</math>로 유도된다. 즉, 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는다.
*: <math>\left\{v+\epsilon\bigcap_{i\in\tilde I}U_i\colon \tilde I\subseteq I,\;|\tilde I|<\aleph_0,\;\epsilon\in\mathbb R^+,\;v\in V\right\}</math>
*: <math>U_i=\{v\colon\nu_i(v)<1\}\subseteq V\qquad\forall i\in I</math>
국소 볼록 공간을 정의하는 데이터는 [[벡터 공간]] 구조 및 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 구조만을 포함하고, 반노름들을 포함하지 않는다. 일반적으로, 같은 국소 볼록 위상이 서로 다른 반노름들의 집합으로 유도될 수 있다.

임의의 반노름 집합 <math>\{\nu_i\}_{i\in I}</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 [[원순서]]를 정의할 수 있다.
:<math>\nu_i\lesssim\nu_j\iff \sup_{v\in V}^{\nu_j(v)\ne0}\frac{\nu_i(v)}{\nu_j(v)}<\infty</math>
임의의 반노름 집합 <math>\{\nu_i\}_{i\in I}</math>에 대하여,
:<math>\left\{\sum_{i\in\tilde I}\nu_i\colon \tilde I\subseteq I,\;|\tilde I|<\aleph_0\right\}</math>
는 원래 반노름 집합과 같은 위상을 정의하며, 또한 [[상향 원순서 집합]]을 이룬다. 즉, 국소 볼록 공간을 정의하는 반노름 집합이 항상 [[상향 원순서 집합]]이라고 가정할 수 있다.

== 성질 ==
=== 분리 공리 ===
반노름 집합 <math>\{\nu_i\}_{i\in I}</math>로 정의되는 국소 볼록 공간 <math>V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[하우스도르프 공간]]이다.
* <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}\nu_i^{-1}(0)=\{0\}</math>. 즉, 모든 반노름으로 재었을 때 0인 벡터는 영벡터이다.

=== 연속성과 유계성 ===
두 국소 볼록 공간 <math>V</math>, <math>W</math>이 각각 [[반노름]] [[상향 원순서 집합]] <math>\{\mu_i\}_{i\in I}</math>, <math>\{\nu_j\}_{j\in J}</math>로 정의된다고 하자. 임의의 [[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math> 및 <math>j\in J</math>에 대하여, <math>\nu_j\circ T</math>는 <math>V</math> 위의 [[반노름]]이다.

그렇다면, 임의의 [[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[연속 함수]]이다.
* (유계성) 임의의 <math>j\in J</math>에 대하여, <math>\nu_j\circ T\lesssim\mu_i</math>인 <math>i\in I</math>가 존재한다. 즉, 다음이 성립해야 한다.
*: <math>\sup_{v\in V}^{\mu_j(v)\ne0}(\nu(Tv)_j/\mu_i(v))<\infty</math>
이는 [[노름 공간]]에서 [[연속 함수|연속성]]이 [[유계 작용소|유계성]]으로 나타내어지는 것의 일반화이다.

== 예 ==
흔히 볼 수 있는 대부분의 [[위상 벡터 공간]]들은 국소 볼록 공간이다. [[프레셰 공간]]은 [[완비 균등 공간|완비]] [[거리화 가능]] 국소 볼록 공간이다. [[바나흐 공간]]과 [[힐베르트 공간]]은 [[프레셰 공간]]의 특수한 경우이므로 역시 국소 볼록 공간이다.

임의의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 및 임의의 실수 [[선형 변환]]들의 집합 <math>F=\{f_\alpha\colon V\to\mathbb R\}</math>에 대한 [[시작 위상]]은 국소 볼록 공간이다. 이 경우 [[반노름]]들은 <math>|f_\alpha|</math>가 된다.

=== 국소 볼록 공간이 아닌 위상 벡터 공간의 예 ===
[[구간]] <math>[0,1]</math> 위의 [[르베그 공간]] <math>L^p[0,1]</math>은 <math>0<p<1</math>에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다. (원점의 유일한 [[볼록 집합|볼록]] [[근방]]은 공간 전체이다.) 마찬가지로, 수열 공간 <math>\ell^p</math> 역시 <math>0<p<1</math>에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다.

== 역사 ==
[[존 폰 노이만]]이 1934년에 "볼록 선형 집합"({{llang|en|convex linear set}})이라는 이름으로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=John|성=von Neumann|저자링크=존 폰 노이만|제목=On complete topological spaces|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=37|호=1|쪽=1–20|날짜=1935-01|jstor=1989693|doi=10.1090/S0002-9947-1935-1501776-7|mr=1501776|issn=0002-9947|언어=en}}</ref>{{rp|4, Definition 2b}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Recent developments in the theory of locally convex vector spaces|이름=Jean A.|성=Dieudonné|저자링크=장 디외도네|mr=0062334|zbl=0053.25701|doi=10.1090/S0002-9904-1953-09752-X|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=59|쪽=495–512|issn=0273-0979|날짜=1953|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Locally convex space}}
* {{eom|title=Locally convex topology}}
* {{매스월드|id=LocallyConvex|title=Locally convex}}
* {{nlab|id=locally convex space|title=Locally convex space}}

{{함수 해석학}}

[[분류:위상 벡터 공간]]