국소체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 수론]]에서 '''국소체'''(局所體, {{llang|en|local field}})는 [[위상체]]의 한 종류다. [[대역체]]의 [[완비화 (환론)|완비화]]로 얻어진다.

== 정의 ==
[[위상체]] <math>K</math>에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상체를 '''국소체'''라고 한다.
* [[이산 공간]]이 아닌 [[국소 콤팩트 공간]]이다.
* 실수체 또는 복소수체이거나, 아니면 어떤 이산 [[값매김]](discrete valuation)에 대하여 [[완비 거리 공간]]을 이루고, 또한 그 [[이산 값매김환]]의 [[잉여류체]]가 [[유한체]]이다.
* 다음 목록 가운데 하나와 [[동형]]이다.
** ([[아르키메데스 체]]) [[실수체]] <math>\mathbb R</math> 또는 [[복소수체]] <math>\mathbb C</math>
** ([[체의 표수]]가 0인 비아르키메데스 체) [[p진수]] <math>\mathbb Q_p</math>의 [[유한 확대]]
** ([[체의 표수]]가 양수인 비아르키메데스 체) [[유한체]] 계수의 [[형식적 로랑 급수]]체 <math>\mathbb F_{p^n}((x))</math>

=== 비아르키메데스 국소체 ===
비아르키메데스 국소체 <math>K</math>의 이산 값매김 <math>|\cdot|</math>에 대하여,
:<math>\mathcal O_K=\{a\in K\colon |a|\le1\}</math>
은 [[이산 값매김환]]을 이루며, 이를 <math>K</math>의 '''[[대수적 정수환]]'''이라고 한다. <math>\mathcal O_K</math>의 [[가역원군]]은
:<math>\mathcal O_K^\times=\{a\in K\colon|a|=1\}</math>
이며, <math>\mathcal O_K</math>의 유일한 0이 아닌 [[소 아이디얼]]은
:<math>\mathfrak m=\{a\in K\colon|a|<1\}</math>
이다. <math>\mathcal O_K</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이므로 <math>\mathfrak m</math>은 [[주 아이디얼]]인데, <math>\mathfrak m</math>의 생성원을 균일화자({{llang|en|uniformizer}}) <math>\varpi\in\mathcal O_K</math>라고 한다. <math>\mathcal O_K</math>의 [[잉여류체]] <math>\mathcal O_K/\mathfrak m</math>는 [[유한체]]이다.

비아르키메데스 국소체 <math>K</math>의 '''<math>n</math>차 가역원군'''({{llang|en|<math>n</math>th unit group}})은 다음과 같다.
:<math>U^{(n)}_K=1+\mathfrak m^n=\left\{u\in\mathcal O^\times_K:u\equiv1\pmod{\mathfrak m^n}\right\}</math>
0차 가역원군은 (통상적) 가역원군 <math>\mathcal O^\times_K</math>이다. 이에 대하여
:<math>\mathcal O^\times_K=U^{(0)}_K\supseteq U^{(1)}_K\supseteq\cdots</math>
이며,
:<math>\mathcal O^\times_K/U^{(n)}_K\cong(\mathcal O/\mathfrak m^n)^\times</math>
이다.

=== 가역원군의 구조 ===
국소체 <math>K</math>의 [[가역원군]]의 구조는 다음과 같다. 만약 <math>K</math>가 [[아르키메데스 체]]일 경우,
:<math>\mathbb R^\times\cong(\mathbb Z/(2))\times\mathbb R</math>
:<math>\mathbb C^\times\cong(\mathbb R/(2\pi))\times\mathbb R</math>
는 매우 익숙한 [[아벨 군]]이다.

만약 <math>K</math>가 비아르키메데스 체일 경우,
:<math>K^\times\cong(\varpi)\times\mu_{q-1}\times U^{(1)}_K</math>
이다. 여기서 <math>(\varpi)</math>는 <math>K</math>의 정수환의 유일 [[극대 아이디얼]]이며, <math>\mu_{q-1}</math>은 <math>K</math>의 정수환의 잉여류체 <math>\mathcal O_K/(\varpi)</math>의 [[1의 거듭제곱근]]들의 군이며, <math>U^{(1)}_K</math>는 1차 가역원군이다. 구체적으로, 만약 <math>K</math>가 <math>\mathbb Q_p</math>의 차수가 <math>d</math>인 [[유한 확대]]라면
:<math>K^\times\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/(q-1)\oplus\mathbb Z/p^a\oplus\mathbb Z_p^d</math>
이다. 여기서 <math>q</math>는 <math>K</math>의 정수환의 잉여류체의 크기다. 만약 <math>K=\mathbb F_{p^n}((x))</math>이라면
:<math>\left(\mathbb F_{p^n}((x))\right)^\times\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/(p^n-1)\oplus\mathbb Z_p^{\mathbb N}</math>
이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
| last=Serre
| first=Jean-Pierre
| authorlink=장피에르 세르
| title=Local fields
| year=1995
| publisher=Springer
| series=Graduate Texts in Mathematics
| volume=67
| isbn=0-387-90424-7
| 언어=en
}}
* {{서적 인용
| last=Fesenko
| first=Ivan B.
| 공저자=Sergei V. Vostokov
| title=Local fields and their extensions
| publisher=American Mathematical Society
| location=Providence, RI
| 날짜=2002
| series=Translations of Mathematical Monographs
| volume=121
| edition=2판
| isbn=978-0-8218-3259-2
| mr=1915966
| 언어=en
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Local field}}
* {{nlab|id=local field|title=Local field}}

== 같이 보기 ==
* [[대역체]]
* [[유체론]]

{{전거 통제}}

[[분류:체론]]
[[분류:대수적 수론]]