구체적 범주 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''구체적 범주'''(具體的範疇, {{llang|en|concrete category}})는 추가 구조를 갖는 집합들의 범주로 생각할 수 있는 [[범주 (수학)|범주]]이다.

== 정의 ==
'''구체적 범주''' <math>(\mathcal C,F)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된 순서쌍이다.
* <math>\mathcal C</math>는 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* <math>F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>는 [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>로 가는 [[충실한 함자]]이다. 이 함자를 '''망각 함자'''({{llang|en|forgetful functor}})라고 한다.

== 예 ==
흔히 등장하는 대부분의 범주들은 구체적 범주이다.
* 집합의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>는 항등 함자를 통해 구체적 범주이다.
* 대수적 구조들의 범주는 모두 구체적 범주이다.
** [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>
** [[아벨 군]]의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{Ab}</math>
** [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math>
** 가환 [[유사환]]의 범주 <math>\operatorname{CRng}</math>
** 환의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>
** [[유사환]]의 범주 <math>\operatorname{Rng}</math>
** [[체 (수학)|체]]의 범주 <math>\operatorname{Field}</math>
* 대부분의 기하학적 공간들 또한, 그 점들의 집합을 생각하여 구체적 범주로 만들 수 있다.
** [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>
** 체 <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]]의 범주 <math>K\text{-Vect}</math>
* 임의의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>는 하나의 대상을 갖고, 모든 사상들이 가역원을 갖는 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 임의의 충실한 <math>G</math>-[[군의 작용|작용]] <math>G\to\operatorname{Sym}(S)</math>이 주어질 경우, 이를 통해 <math>G</math>를 구체적 범주로 만들 수 있다. 예를 들어, <math>G</math>의, 스스로에 대한 작용은 항상 충실하므로 이 작용을 사용할 수 있다.
* 임의의 [[부분 순서 집합]] <math>(S,\le)</math>은 순서 관계를 사상으로 삼아 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 각 대상 <math>s\in S</math>를 집합 <math>S_{\le s}=\{t\in S|t\le s\}</math>로 대응시키고, 모든 사상 <math>s\le t</math>를 포함 관계 <math>S_{\le s}\hookrightarrow S_{\le t}</math>로 대응시키는 함자를 통해 구체적 범주로 만들 수 있다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 그 사이의 [[연속 함수]]들의 [[호모토피류]]들의 범주 <math>\operatorname{hTop}</math>는 구체적 범주로 만들 수 없다.<ref>{{서적 인용|성=Freyd|이름=Peter|날짜=1970|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/6/tr6abs.html|장=Homotopy is not concrete|제목=The Steenrod Algebra and its Applications|총서=Springer Lecture Notes in Mathematics|권=168|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:범주론]]