구성 가능 전체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''구성 가능 전체'''(構成可能全體, {{llang|en|constructible universe}})는 재귀적으로 [[1차 논리]]로 정의 가능한 [[집합]]들로 구성된 [[모임 (집합론)|모임]]이다. 구성 가능 전체는 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 [[추이적 모형]]을 이루며, 그 속에는 [[선택 공리]] · [[일반화 연속체 가설]] · [[다이아몬드 원리]]와 같은 여러 명제들이 성립한다. '''구성 가능성 공리'''(構成可能性公理, {{llang|en|axiom of constructibility}}, 기호 <math>V=L</math>)는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다.

== 정의 ==
[[모임 (집합론)|모임]] <math>A_1,A_2,\dots,A_n</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 1항 관계 <math>\mathsf A_1(-),\dots,\mathsf A_n(-)</math>가 추가된 언어 <math>\mathcal L_{\in,\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n}</math>의 [[모형 (논리학)|모형]] <math>\langle X,\in,\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n\rangle</math>를 생각하자. 이 모형에서 <math>\mathsf A_i(x)</math>의 해석은 <math>x\in A_i</math>이며, <math>x\in y</math>의 해석은 표준적이다 (즉, [[추이적 모형]]이다).

그렇다면, 집합 <math>X</math>의 '''<math>(A_1,\dots,A_n)</math>-구성 가능 멱집합'''(-構成可能冪集合, {{llang|en|<math>(A_1,\dots,A_n)</math>-constructible power set}}) <math>\operatorname{Def}_{A_1,\dots,A_n}(X)</math>는 유한 개의 매개 변수를 이용하여 <math>\mathcal L_{\in,\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n}</math> 언어의 [[1차 논리]] 술어로 정의할 수 있는 <math>X</math>의 [[부분 집합]]들의 집합족이다. 즉, 이항 관계 <math>\in</math> 및 1항 관계 <math>\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n</math>에 대한, <math>n+1</math>개의 자유 변수를 갖는 [[1차 논리]] 술어 <math>\phi\in\mathcal L_{\in,\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n}</math> 및 <math>x_1,\dots,x_n\in X</math>에 대하여, 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Def}(X)=\left\{\{y\in X\colon\langle X,\in,\mathsf A_1,\dots,\mathsf A_n\rangle\models\phi(y,x_1,\dots,x_n)\}\colon\phi\in\mathcal L_{\in},\;x_1,\dots,x_n\in X\right\}</math>

정의 가능 멱집합 연산 <math>\operatorname{Def}_{A_1,\dots,A_n}</math>은 집합을 그 [[멱집합]]의 [[부분 집합]]으로 대응시키며, 따라서 [[누적 위계]]를 정의한다.

[[추이적 집합]] <math>X</math>가 주어졌을 때,  <math>\operatorname{Def}_{A_1,\dots,A_n}</math>에 의하여 정의되는 [[누적 위계]]를 <math>L_\alpha[A_1,\dots,A_n](X)</math>로 표기하며, '''구성 가능 위계'''({{llang|en|constructible hierarchy}})라고 한다. 흔히 <math>X=\varnothing</math>일 경우 <math>L[A_1,A_2,\dots,A_n](\varnothing)=L</math>로 표기하며, <math>n=0</math>일 경우 흔히 <math>L(X)</math>로 표기한다. (일부 문헌에서는 <math>L(X)</math>를 대신 <math>L(\{X\}\cup X)</math>로 정의한다. 물론, 만약 <math>X\in L</math>이라면 이는 차이가 없다.) <math>L</math>의 원소를 '''구성 가능 집합'''(構成可能集合, {{llang|en|constructible set}})이라고 한다.

<math>L(-)</math>과 <math>L[-]</math>의 차이에 대하여 [[가나모리 아키히로]]는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|<math>L(A)</math>는 [[생성 집합]]으로 모형을 구성하는 [[대수학]]적 아이디어를 실현하며, <math>L[A]</math>는 <math>A</math>를 [[술어]]로 간주하여 모형을 구성하는 아이디어를 실현한다.<br>{{lang|en|While <math>L(A)</math> realizes the algebraic idea of building up a model starting from a basis of generators, <math>L[A]</math> realizes the idea of building up a model using <math>A</math> construed as a predicate.}}|<ref name="Kanamori"/>{{rp|235}}}}

== 성질 ==
[[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]을 가정하자.

일반적으로 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Def}(X)\subseteq\operatorname{Def}_A(X)\subseteq\mathcal P(X)</math>
물론, 만약 <math>A\cap X\in\operatorname{Def}(X)</math>라면
:<math>\operatorname{Def}_A(X)=\operatorname{Def}(X)</math>
이다.

항상
:<math>\{Y\subseteq X\colon |Y|<\aleph_0\}\subseteq\operatorname{Def}(X)</math>
:<math>\{Y\subseteq X\colon |X\setminus Y|<\aleph_0\}\subseteq\operatorname{Def}(X)</math>
이다. 특히, 만약 <math>X</math>가 [[유한 집합]]이라면 임의의 <math>A</math>에 대하여
:<math>\operatorname{Def}(X)=\operatorname{Def}_A(X)=\mathcal P(X)</math>
이다.

<math>\operatorname{Def}(X)</math> 및 <math>\operatorname{Def}_A(X)</math>는 유한 [[합집합]] · 유한 [[교집합]] · [[여집합]]에 대하여 닫혀 있어, <math>\mathcal P(X)</math>의 부분 [[불 대수]]를 이룬다.

=== 구성 가능 전체 ===
항상 다음이 성립한다.
:<math>X\subseteq L(X)</math>
그러나 <math>X\in L(X)</math>일 필요는 없으며, <math>A\subseteq L[A]</math>이거나 <math>A\in L[A]</math>일 필요는 없다.

각 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여
:<math>L_\alpha\subseteq V_\alpha</math>
:<math>L_\alpha\subseteq L_\alpha(A)[X]</math>
이다. 또한, 만약 <math>\alpha</math>가 유한하다면 <math>L_\alpha=V_\alpha</math>이다.

'''구성 가능성 공리'''는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다. 즉, <math>V=L</math>이라는 명제이다 (<math>V</math>는 [[폰 노이만 전체]]). 즉, 구성 가능성 공리에 따르면 임의의 [[집합]] <math>S</math>에 대하여 <math>S\in L_\alpha</math>인 [[순서수]] <math>\alpha</math>가 존재한다. 만약 [[구성 가능성 공리]]가 성립하고, 또한 [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\alpha=\aleph_\alpha</math>라면,
:<math>L_\alpha=V_\alpha</math>
이다. (예를 들어, 이는 <math>\alpha</math>가 [[도달 불가능한 기수]]일 경우 성립한다.)

=== 모형 이론적 성질 ===
<math>L</math>은 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 표준 [[구조 (논리학)|모형]]이며, [[폰 노이만 전체]] <math>V</math>의 [[내부 모형]]이다. 특히, <math>V</math>에서 [[선택 공리]]가 성립하지 않아도, <math>L</math>은 [[선택 공리]]를 만족시킨다. 이는 <math>L</math>은 정의 가능한 [[정렬 순서]]가 존재하기 때문이다. 구체적으로, <math>L_\alpha</math>의 정렬 순서가 주어졌다면, <math>L_{\alpha+1}</math>의 원소는 <math>L_\alpha</math>의 유한 개의 원소들 및 (사전식으로 정렬되는) [[1차 논리]] 술어로서 명시되므로, 이로서 정렬할 수 있다. 이러한 정렬 순서가 주어졌다면, [[선택 공리]]에서 요구되는 선택 함수는 단순히 이 정렬 순서에 대한 최솟값으로 정의할 수 있다.

또한, <math>L</math>에서는 다음 명제들이 성립한다. (따라서 [[체르멜로-프렝켈 집합론]] + 구성 가능성 공리는 아래 명제들을 함의한다.)
* [[선택 공리]]
* [[일반화 연속체 가설]] <math>\mathsf{GCH}</math>
* 구성 가능성 공리 <math>V=L</math>
* [[수슬린 가설]]의 부정 <math>\lnot\mathsf{SH}</math>
* 모든 [[화이트헤드 문제|화이트헤드 군]]은 [[자유 아벨 군]]
* 모든 집합은 [[순서수 정의 가능 집합]] <math>V=\mathsf{HOD}</math>
* [[다이아몬드 원리]] <math>\diamondsuit</math>
* <math>0^\#</math>의 부재  (또한 그보다 더 강한 [[큰 기수]]의 부재)
* [[르베그 가측 집합]]이 아닌 [[해석적 집합]]의 존재

<math>L</math>은 다음 조건을 만족시키는, [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 가장 작은 표준 모형이다.
* <math>V</math>의 내부 모형이다.
* 모든 [[순서수]]들을 포함한다.

다시 말해, [[체르멜로-프렝켈 집합론]] + 구성 가능성 공리로부터, [[선택 공리]]를 비롯한 위 명제들을 증명할 수 있다. 특히, 구성 가능성 공리가 [[큰 기수]]들의 존재와 모순되기 때문에, [[플라톤주의]]적 [[수리철학]] 아래 보통 구성 가능성 공리는 집합론의 공리로 가정되지 않는다. 이에 대하여 퍼넬러피 매디({{llang|en|Penelope Maddy}})는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|[…] <math>0^\#</math>는 어디서, 왜 <math>L</math>이 잘못되는지에 대한 자세한 이론을 제공한다. 실버 [<math>0^\#</math>의 존재가 <math>V\ne L</math>를 함의함을 증명한 수학자] 이전에도 많은 수학자들은 <math>V\ne L</math>이라고 믿었지만, 실버 이후 이들은 왜 이들이 이러한 믿음을 가지는지 알게 되었다.<br>
{{lang|en|[…] <math>0^\#</math> yields a rich explanatory theory of exactly where and why <math>L</math> goes wrong. Before Silver, many mathematicians believed that <math>V\ne L</math>, but after Silver they knew why.}}
|<ref>{{저널 인용|first=Penelope|last=Maddy|journal=Journal of Symbolic Logic|title=Believing the axioms I|volume=53|issue=2|date=1988-06|pages=481–511|doi=10.2307/2274520|jstor=2274520|url=http://www.socsci.uci.edu/~pjmaddy/bio/Believing%20the%20Axioms%20(with%20corrections).pdf|언어=en}}</ref>{{rp|506, §IV}}}}
마찬가지로, 이에 대하여 [[가나모리 아키히로]]와 [[메나헴 마기도르]]는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|따라서, 충분히 [[큰 기수]]가 존재한다고 가정하면, <math>L</math>의 균등 생성에 대한 다양한 강한 내재적 구조적 묘사가 가능하며, 이에 따라 <math>L</math>은 매우 얇은 내적 모형임을 알 수 있다 — 헐벗은 폐허의 성가대석(聖歌隊席)들이 달라붙은 가냘픈 생명선(生命線, 즉 [[순서수]]의 [[모임 (집합론)|모임]])에 불과하다.<br>
{{lang|en|Thus, in the presence of a suitably large cardinal in the universe, many strong results about the uniform generation of L now follow from this intrinsic structural characterization, and L takes on the character of a very thin inner model indeed, bare ruined choirs appended to the slender life-giving spine which is the class of ordinals.}}|<ref>{{서적 인용|last=Kanamori|first=Akihiro|저자링크=가나모리 아키히로|이름2=Menachem|성2=Magidor |저자링크2=메나헴 마기도르|chapter=The evolution of large cardinal axioms in set theory |series=Lecture Notes in Mathematics |publisher=Springer-Verlag |volume =669 | 장url = http://math.bu.edu/people/aki/e.pdf |title=Higher set theory: proceedings, Oberwolfach, Germany, April 13–23, 1977 |editor1-first=Gert H.|editor1-last=Müller|editor2-first=Dana S.|editor2-last=Scott |editor2-link=데이나 스콧|날짜=1978 |isbn =978-3-540-08926-1 |doi =10.1007/BFb0103104 |pages=99–275 | issn = 0075-8434 | 언어=en }}</ref>{{rp|131, §7}}}}

== 역사 ==
1935년 가을에 [[쿠르트 괴델]]이 구성 가능 전체 <math>L</math>을 도입하였으며,<ref name="Moore">{{서적 인용|last1=Moore|first1=Gregory H.|title=Zermelo’s axiom of choice: its origins, development, and influence|날짜=1982|isbn=978-0-486-48841-7|출판사=Springer-Verlag|총서=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|권=8|issn=0172-570X|doi=10.1007/978-1-4613-9478-5|언어=en}}</ref>{{rp|270, §4.9}}{{rp|280, §4.10}} 이를 통하여 이 [[선택 공리]] 및 [[일반화 연속체 가설]]이 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 모순되지 않음을 증명하였다. 이 결과는 1938년에 출판되었다.<ref>{{저널 인용
  | doi = 10.1073/pnas.24.12.556
  | 저자링크=쿠르트 괴델 | 이름=Kurt | 성=Gödel
  | 제목 = The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis
  | 저널 = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
  | 날짜 = 1938
  | pmid = 16577857
  | pmc = 1077160
  | jstor=87239 | zbl = 0020.29701 | jfm = 64.0035.01 |언어=en}}</ref><ref name="Kanamori">{{저널 인용 | first=Akihiro | last=Kanamori | 저자링크=가나모리 아키히로 | url=http://math.bu.edu/people/aki/11.pdf | title=Levy and set theory | journal=Annals of Pure and Applied Logic | volume=140 | year=2006 | pages=233–252 | zbl=1089.03004 | doi=10.1016/j.apal.2005.09.009 | 언어=en | 확인날짜=2016-07-13 | 보존url=https://web.archive.org/web/20161020003948/http://math.bu.edu/people/aki/11.pdf | 보존날짜=2016-10-20 | url-status=dead }}</ref>{{rp|234}}

<math>L(X)</math>는 1956년에 허이널 언드라스({{llang|hu|Hajnal András}}, 1931~)가 도입하였으며,<ref>{{저널 인용|이름=András|성=Hajnal|제목=On a consistency theorem connected with the generalized continuum problem|저널=Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik|권=2|호=8–9|날짜=1956|쪽=131–136|doi=10.1002/malq.19560020804|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=András|성=Hajnal|제목=On a consistency theorem connected with the generalized continuum problem|저널=Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae|권=12|호=3|날짜=1961|쪽=321–376|doi=10.1007/BF02023921|issn=0001-5954|언어=en}}</ref><ref name="Kanamori"/>{{rp|234}} <math>L[A]</math>는 1957년에 [[아즈리엘 레비]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Azriel|성=Lévy|저자링크=아즈리엘 레비|제목=Indépendance conditionnelle de ''V''=''L'' et d’axiomes qui se rattachent au système de M. Gödel|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k722f/f404.item|저널=Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences|권= 245|날짜=1957|쪽=1582–1583|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Azriel|성=Lévy|저자링크=아즈리엘 레비|제목=A generalization of Gödel’s notion of constructibility|저널=The Journal of Symbolic Logic|권=25|날짜=1960|쪽=147–155|언어=en}}</ref><ref name="Kanamori"/>{{rp|235}}

이후 1972년에 로널드 비언 젠슨({{llang|en|Ronald Björn Jensen}})이 구성 가능 전체의 미세 구조({{llang|en|fine structure}})의 이론을 '''젠슨 위계'''({{llang|en|Jensen hierarchy}})를 통해 정립하였다.<ref>{{저널 인용|제목=The fine structure of the constructible hierarchy|이름=Ronald Björn|성=Jensen|저널=Annals of Mathematical Logic|권=4|호=3|날짜=1972-08|쪽=229–308|doi=10.1016/0003-4843(72)90001-0|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[구성 가능성 공리]]
* [[추이적 집합]]
== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용
 | last=Devlin
 | first=Keith J.
 | 날짜 = 1984
 | title = Constructibility
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn = 3-540-13258-9
 | url=http://projecteuclid.org/euclid.pl/1235419477
 | 총서=Perspectives in Mathematical Logic | 권=6
 | mr=0750828
 | zbl = 0542.03029 | 언어=en
}}
*{{서적 인용
 | last=Devlin
 | first=Keith J.
 | 날짜 = 1977
 | title = The axiom of constructibility: a guide for the mathematician
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn = 978-3-540-08520-1
 | doi= 10.1007/BFb0070208
 | 총서=Lecture Notes in Mathematics | 권=617 | issn=0075-8434 | 언어=en
}}
*{{서적 인용
 | last=Devlin
 | first=Keith J.
 | 날짜 = 1973
 | title = Aspects of constructibility
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn = 978-3-540-06522-7
 | doi= 10.1007/BFb0059290
 | 총서=Lecture Notes in Mathematics | 권=354 | issn=0075-8434 | 언어=en
}}
* {{서적 인용|장=An introduction to the fine structure of the constructible hierarchy|이름=Keith J.|성=Devlin|제목=Generalized recursion theory: proceedings of the 1972 Oslo symposium|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=79|날짜=1974|쪽=123–163|doi=10.1016/S0049-237X(08)70585-8|isbn=978-0-444-10545-5|editor1-first=J. E.|editor1-last=Fenstad|editor2-first=P. G.|editor2-last=Hinman|출판사=Elsevier|언어=en}}
* {{서적 인용|장=A short course on gap-one morasses with a review of the fine structure of ''L'' | 제목=Surveys in Set Theory | 총서=London Mathematical Society Lecture Note Series |권= 87 | 이름=Lee |성=Stanley | 편집자= A. R. D. Mathias |날짜=1983|doi=10.1017/CBO9780511758867.008|isbn=978-0-52127733-4|zbl=0538.03041|mr=0823781|쪽=197–244|언어=en}}
* {{서적 인용|장=A multiverse perspective on the axiom of constructibility|이름=Joel David|성=Hamkins|arxiv=1210.6541|bibcode=2012arXiv1210.6541H|장url=http://jdh.hamkins.org/multiverse-perspective-on-constructibility/|날짜=2014-01|제목=Infinity and truth|총서=Lecture Notes Series, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore|editor1-first=Chitat|editor1-last=Chong|editor2-first=Qi|editor2-last=Feng|editor3-first=Theodore A.|editor3-last=Slaman|editor4-first=W. Hugh|editor4-last=Woodin|editor4-link=윌리엄 휴 우딘|권=25|쪽=25–45|출판사=World Scientific|mr=3205072|doi=10.1142/9789814571043_0002|isbn=978-981-4571-03-6 |언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Gödel constructive set}}
* {{nlab|id=constructible universe|title=Constructible universe}}
* {{nlab|id=constructible set|title=Constructible set}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/156940/g%C3%B6dels-constructible-universe-in-infinitary-logics-a-possible-approach-to-hod|제목=Gödel's constructible universe in infinitary logics|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/63254/constructible-universe-within-constructible-universe|제목=Constructible universe within constructible universe|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{집합론}}

[[분류:쿠르트 괴델의 작품]]
[[분류:전체]]