구부러진 공간 문서 원본 보기

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'''구부러진 공간'''({{llang|en|Curved space}})은 종종 [[유클리드 기하학]]에서 설명한 것처럼 [[곡률|평평한 공간]]의 [[곡률]]이 0인 "평면"이 아닌 공간 기하학을 나타낸다. 구부러진 공간은 일반적으로 [[리만 기하학]]으로 설명할 수 있지만 일부 간단한 경우는 다른 방식으로 설명할 수 있다. 구부러진 공간은 [[중력]]이 종종 구부러진 공간으로 시각화되는 [[일반 상대성이론]]에서 필수적인 역할을 한다. [[프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량]]은 [[우주팽창|공간 확장]]과 [[우주의 모양]]을 설명하기 위한 현재 기반을 형성하는 계량이다.

== 간단한 2차원 예 ==
구부러진 공간의 매우 친숙한 예는 구의 표면이다. 우리에게 친숙한 관점에서 볼 때 구체는 3차원으로 보이지만 물체가 표면에 놓이도록 제한되어 있으면 이동할 수 있는 2차원만 있다. 구의 표면은 표면이 아무리 거칠게 보일지라도 부피의 2차원 외부 경계인 표면일 뿐이므로 2차원으로 완전히 설명할 수 있다. 복잡한 프랙탈인 지구 표면조차도 부피 외부를 따라 있는 2차원 경계일 뿐이다.

== 매장 ==
[[파일:Pythagorean_triangle.png|섬네일|평평한 공간에서 직각 삼각형의 한 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다. 이 관계는 구부러진 공간에는 적용되지 않는다.]]
구부러진 공간의 정의의 특성 중 하나는 [[피타고라스 정리]]에서 벗어난다는 것이다. 구부러진 공간에서는

: <math>dx^2 + dy^2 \neq dl^2</math>.

피타고라스의 관계는 추가 차원으로 공간을 설명함으로써 종종 복원될 수 있다. 좌표 <math>\left(x',y',z'\right)</math>가 있는 비유클리드 3차원 공간이 있다고 가정한다. 이 공간은 평평하지 않기 때문에

: <math>dx'^2 + dy'^2 + dz'^2 \ne dl'^2 \,</math>.

그러나 이제 3차원 공간을 4차원 <math>(x,y,z,w)</math> 좌표로 묘사하면 다음과 같은 좌표를 선택할 수 있다.

: <math>dx^2 + dy^2 + dz^2 + dw^2 = dl^2 \,</math> .

참고로 좌표 <math>x</math>는 좌표 <math>x'</math>와 같지 '''않다'''.

4차원 좌표를 원래 3차원 공간의 유효한 설명자로 선택하려면 동일한 자유도를 가져야 한다. 4개의 좌표에는 4개의 자유도가 있으므로 구속 조건이 있어야 한다. 피타고라스 정리가 새로운 4차원 공간에서 유지되도록 제약 조건을 선택할 수 있다. 즉,

: <math>x^2 + y^2 + z^2 +w^2 = \textrm{constant} \,</math>.

상수는 양수 또는 음수일 수 있다. 편의상 상수를 다음으로 선택할 수 있다.

: <math>\kappa^{-1}R^2</math> 여기서 <math>R^2 \,</math> 지금은 긍정적이고 <math>\kappa \equiv \plusmn 1</math> .

이제 이 제약 조건을 사용하여 인위적인 네 번째 좌표 <math>w</math>를 제거할 수 있다. 구속 방정식의 미분은 다음과 같다.

: <math>xdx + ydy + zdz + wdw = 0 \,</math> 이므로<math>dw = -w^{-1}(xdx + ydy +zdz) \,</math>.

<math>dw</math>를 원래 방정식에 대입하면

: <math>dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + \frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{\kappa^{-1}R^2 - x^2 - y^2 - z^2}</math> .

이 형식은 일반적으로 특별히 매력적이지 않으므로 좌표 변환 <math>x = r\sin\theta\cos\phi</math>, <math>y = r\sin\theta\sin\phi</math>, <math>z = r\cos\theta</math>이 종종 적용된다. 이 좌표 변환으로

: <math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-\kappa\frac{r^2}{R^2}} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2</math> .

== 매장없이 ==
n차원 공간의 기하학은 [[리만 기하학]]으로도 설명할 수 있다. [[wiktionary:isotropic|등방적]]이고 [[wiktionary:homogeneous|균질한]] 공간은 다음 계량

: <math>dl^2 = e^{-\lambda(r)}{dr^2} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2 \,</math> .

으로 설명할 수 있다. <math>\lambda = 0</math>인 경우 이 공간은 [[유클리드 공간]]으로 축소된다. 그러나 [[바일 곡률 텐서|바일 텐서]]의 성분이 모두 0이면 공간이 "[[컨포멀 플랫|평평하다]]"고 할 수 있다. 3차원에서 이 조건은 [[리치 곡률 텐서|리치 텐서]] <math>R_{ab}</math>는 계량 곱하기 [[스칼라 곡률|리치 스칼라]] (<math>R</math>을 이전 절의 R과 혼동하지 말 것). 즉, <math>R_{ab} = g_{ab} R</math>. 계량에서 이러한 성분을 계산하면

: <math>\lambda = -\frac{1}{2}\ln \left( 1 - k r^2 \right)</math> 여기서 <math>k \equiv \frac{R}{2}</math>.

이는 계량

: <math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-k{r^2}} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2</math> .

을 제공한다. 여기서 <math>k</math>는 0, 양수 또는 음수일 수 있으며 ±1로 제한되지 않는다.

== 열림, 평평함, 닫힘 ==
[[wiktionary:isotropic|등방적]]이고 [[wiktionary:homogeneous|균질한]] 공간은 다음 계량

: <math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-\kappa\frac{r^2}{R^2}} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2</math> .

으로 설명할 수 있다. 곡률 상수 <math>R</math>가 무한대로 커지면 평평한 [[유클리드 공간]]으로 수렴한다. 이는 본질적으로 <math>\kappa</math>를 0으로 설정하는 것과 동일하다. <math>\kappa</math>가 0이 아닌 공간은 유클리드가 아니다. <math>\kappa = +1</math>일 때 그 공간은 '닫혀 있다' 또는 [[타원기하학|타원형]]이라고 한다. <math>\kappa = -1</math>일 때 공간은 '열려' 있다 또는 [[쌍곡기하학|쌍곡형]]이라고 한다.

열린 공간의 표면에 있는 삼각형은 각의 합이 180°보다 작다. 닫힌 공간의 표면에 있는 삼각형은 각의 합이 180°보다 크다. 하지만 부피는 <math>(4/3)\pi r^3</math>'''가 아니다.'''

== 같이 보기 ==
* [[CAT(κ) 공간|CAT(''k'') 공간]]
* 양수가 아닌 곡률

== 추가 문헌 ==
* [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 42: Curved Space]
* {{서적 인용|title=Tensor Calculus and Analytical Dynamics|last=Papastavridis|first=John G.|year=1999|publisher=CRC Press|location=Boca Raton|pages=211–218|chapter=General ''n''-Dimensional (Riemannian) Surfaces|isbn=0-8493-8514-8|chapter-url=https://books.google.com/books?id=pgCx01lds9UC&pg=PA211}}

== 외부 링크 ==
* [https://www.geometrygames.org/CurvedSpaces Curved Spaces], Jeffrey Weeks 가 개발한 다중 연결 우주용 시뮬레이터

[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:물리우주론]]
[[분류:리만 기하학]]