구보-마틴-슈윙거 상태 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Warszawa_Centrum_Nowych_Technologii_UW-6.jpg|섬네일|오른쪽|[[바르샤바 대학교]]의 한 벽면에 새겨진 구보-마틴-슈윙거 조건 (中, “{{lang|pl|warunek Kubo-Martina-Schwingera}}”)]]
[[함수해석학]]과 [[양자역학]]에서 '''구보-마틴-슈윙거 상태'''([久保]-Martin-Schwinger狀態, {{llang|en|Kubo–Martin–Schwinger state}}, 약자 KMS 상태)는 특정하게 [[열역학적 평형]]을 이룬 순수 또는 혼합 [[상태 (함수해석학)|상태]]이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[C* 대수]] <math>\mathcal A</math> (“관측 가능량 대수”)
* [[상태 (함수해석학)|상태]] <math>\phi\colon\mathcal A\to\mathbb C</math>
* 양의 실수 <math>\beta\in\mathbb R^+</math> (“온도의 역수”)
* [[군 준동형]] <math>\alpha\colon(\mathbb R,+)\to\operatorname{Aut}(\mathcal A)</math>, <math>t\mapsto\alpha_t</math> (“시간 변화”)
만약 임의의 <math>A,B\in\mathcal A</math>에 대하여 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 [[연속 함수]]
:<math>F_{AB}\colon\mathbb R+\mathrm i[0,\beta]\to\mathbb C</math>
가 존재한다면, <math>\phi</math>를 '''<math>\beta</math>에서의 구보-마틴-슈윙거 상태'''({{llang|en|Kubo–Martin–Schwinger state at <math>\beta</math>}})라고 한다.<ref name="DG">{{서적 인용|제목=Mathematics of quantization and quantum fields|이름=Jan|성=Dereziński|이름2=Christian |성2=Gérard|isbn=978-110701111-3|총서=Cambridge Monographs on Mathematical Physics|url=http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=9781107011113|날짜=2013|출판사=Cambridge University Press|언어=en}}</ref>{{rp|153, Definition 6.63}}
* <math>F_{AB}</math>의 [[치역]]은 [[유계 집합]]이다.
* <math>F_{AB}\restriction\left(\mathbb R+\mathrm i(0,\beta)\right)</math>는 [[정칙 함수]]이다.
* <math>F_{AB}(t)=\phi(A\alpha_tB)\qquad\forall t\in\mathbb R</math> (실수선에서의 경계 조건)
* <math>F_{AB}(t+\mathrm i\beta)=\phi((\alpha_tB)A)\qquad\forall t\in\mathbb R</math> (실수선<math>+\mathrm i\beta</math>에서의 경계 조건)
물리학적으로, <math>F_{AB}</math>는 현재 관측 가능량 <math>A</math>와 시각 <math>t</math>에서의 관측 가능량 <math>B</math> 사이의 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]이다.

== 성질 ==
구보-마틴-슈윙거 상태는 시간 불변이다. 즉, <math>(\alpha,\beta)</math>-구보-마틴-슈윙거 상태 <math>\phi</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="DG"/>{{rp|153, Proposition 6.64(2)}}
:<math>\phi\circ\alpha_t=\phi\qquad\forall t\in\mathbb R</math>

== 예 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 유한 차원 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>V=\mathbb C^N</math>
* <math>N\times N</math> [[에르미트 행렬]] <math>H</math> (“[[해밀토니언 연산자]]”)
* 양의 실수 <math>\beta\in\mathbb R^+</math>
그렇다면, 모든 <math>N\times N</math> [[복소수 행렬]]로 구성된 [[폰 노이만 대수]] <math>\operatorname B(V,V)=\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C)</math>를 생각하자. 이 위에는 [[자기 동형]]
:<math>\alpha_t\colon A\mapsto \exp(\mathrm itH)A\exp(-\mathrm itH)</math>
이 존재하며, 이는 군 준동형
:<math>\alpha\colon(\mathbb R,+)\to\operatorname{Aut}(\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C))\cong\operatorname U(n)</math>
:<math>\alpha\colon t\mapsto\alpha_t</math>
을 정의한다. 이 경우, 임의의 [[복소수 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C)</math>에 대하여 기브스 상태
:<math>\omega(A;\beta)=\frac{\operatorname{tr}\left(\exp(-\beta H)A\right)}{\operatorname{tr}\exp(-\beta H)}</math>
및 함수
:<math>F_{AB}\colon\mathbb R+\mathrm i[0,\beta]\to\mathbb C</math>
:<math>F_{AB}(z)=\omega(A\exp(\mathrm izH)B;\beta)</math>
를 정의하자. 그렇다면 <math>F_{AB}(-)</math>가 구보-마틴-슈윙거 경계 조건을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있으며, 이에 따라 <math>\omega(-;\beta)</math>는 구보-마틴-슈윙거 상태를 이룬다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
유일하게 자명하지 않은 것은 <math>z\in\mathbb R+\mathrm i\beta</math>에서의 경계 조건이다. 이는 [[대각합]]의 순환 성질을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.
:<math>
\begin{aligned}
\left(\operatorname{tr}\exp(-\beta H)\right)F_{AB}(t+\mathrm i\beta)&=
\operatorname{tr}\left(
\exp(-\beta H)
A\exp(\mathrm i(t+\mathrm i\beta)H)B
\exp(-\mathrm i(t+\mathrm i\beta)H)
\right)\\
&=
\operatorname{tr}\left(
\exp(\mathrm i(t+\mathrm i\beta)H)B
\exp(-\mathrm i(t+\mathrm i\beta)H)
\exp(-\beta H)
A
\right)\\
&=
\operatorname{tr}\left(
\exp(-\beta H)
\exp(\mathrm itH)B
\exp(-\mathrm itH)
A\right)
\end{aligned}
</math>
</div></div>

보다 일반적으로, 임의의 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>V</math>(의 [[조밀 집합|조밀]] 부분 공간) 위의 [[자기 수반 작용소]] <math>H\colon D\to V</math>가 주어졌다고 하자. 이에 따라, 임의의 <math>t\in\mathbb R</math>에 대하여 [[유니터리 작용소]] <math>\exp(\mathrm itH)\colon V\to V</math>를 정의할 수 있다. <math>V</math> 위의 모든 [[유계 작용소]]들은 1종 [[인자 대수]] <math>\operatorname B(V,V)</math>를 이루며,
:<math>\alpha_t\colon A\mapsto \exp(\mathrm itH)A\exp(-\mathrm itH)</math>
는 그 위의 [[자기 동형]]을 정의한다. 이 경우, <math>\alpha</math>에 대한, 온도의 역수 <math>\beta</math>에서의 구보-마틴-슈윙거 상태가 존재할 [[필요 충분 조건]]은 <math>\exp(-\beta H)</math>가 [[대각합류 작용소]]인지 여부이다.<ref name="DG"/>{{rp|154, §6.4.4}} 만약 이 조건이 성립한다면, 유일한 구보-마틴-슈윙거 상태는 다음과 같은 기브스 상태이다.<ref name="DG"/>{{rp|154, §6.4.4}}
:<math>\phi_H\colon A\mapsto\frac{\operatorname{tr}(\exp(-\beta H)A)}{\operatorname{tr}\exp(-\beta H)}</math>

== 역사 ==
[[파일:Schwinger.jpg|섬네일|오른쪽|[[줄리언 슈윙거]]]]
[[구보 료고]]<ref>{{저널 인용 | last = Kubo | first = Ryogo | authorlink = 구보 료고 | title = Statistical-mechanical theory of irreversible processes I. General theory and simple applications to magnetic and conduction problems |journal = Journal of the Physical Society of Japan |volume = 12 | issue = 6 | pages = 570–586 | year = 1957 | doi = 10.1143/JPSJ.12.570 | issn= 0031-9015 |bibcode = 1957JPSJ...12..570K |언어=en}}</ref>{{rp|579, (4.13)}}와 폴 세실 마틴({{llang|en|Paul Cecil Martin}}, 1931~2016)과 [[줄리언 슈윙거]]<ref>{{저널 인용 | last = Martin | first = Paul Cecil | last2 = Schwinger | first2 = Julian Seymour | 저자링크2=줄리언 슈윙거 | title = Theory of many-particle systems I | year = 1959 | journal = Physical Review | volume = 115 | issue = 6 | pages = 1342–1373 | doi = 10.1103/PhysRev.115.1342|bibcode = 1959PhRv..115.1342M |언어=en}}</ref>가 1950년대에 도입하였다.

“구보-마틴 슈윙거 경계 조건”({{llang|en|Kubo–Martin–Schwinger boundary condition}})이라는 용어는 1967년에 최초로 사용되었다.<ref>{{저널 인용 | last1=Haag | first1=Rudolf | author1-link=루돌프 하크 | last2=Winnink | first2=M. | last3=Hugenholtz | first3=N. M. | title=On the equilibrium states in quantum statistical mechanics | doi=10.1007/BF01646342 | mr=0219283  | year=1967 | journal=Communications in Mathematical Physics | issn=0010-3616 | volume=5 | pages=215–236|bibcode = 1967CMaPh...5..215H |언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[기브스 상태]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{웹 인용|url=http://pillet.univ-tln.fr/data/pdf/KMS-states.pdf|제목=KMS states|이름=Jan|성=Dereziński|이름2=Claude-Alain|성2=Pillet|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=KMS state}}
* {{매스월드|id=KMSCondition|title=KMS condition}}

{{전거 통제}}

[[분류:연산자 이론]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:통계역학]]
[[분류:양자장론]]