교환 가능 확률 변수족 문서 원본 보기

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[[확률론]]과 [[통계학]]에서 '''교환 가능 확률 변수족'''(交換可能確率變數族, {{llang|en|exchangeable family of random variables}})은 유한 개를 재배열하여도 결합 [[확률 분포]]가 변하지 않는 [[확률 변수]] 집합이다. '''교환 가능 시그마 대수'''(交換可能σ代數, {{llang|en|exchangeable sigma-algebra}})는 유한 개의 [[확률 변수]]를 재배열하여도 발생 여부가 바뀌지 않는 사건들로 구성된 [[시그마 대수]]이다.

== 정의 ==
=== 교환 가능 시그마 대수 ===
두 집합 <math>A</math>, <math>B</math>의 '''[[대칭차]]'''는 다음과 같다.
:<math>A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)</math>

집합 <math>A</math>에 대하여, <math>\operatorname{fp}(A)</math>가 <math>\pi(a)\ne a</math>인 <math>a\in A</math>의 수가 유한한 [[전단사 함수]] <math>\pi\colon A\to A</math>의 집합이라고 하자.

실수 수열 <math>x\in{\mathbb R}^{\mathbb N}</math> 및 <math>\pi\in\operatorname{fp}(\mathbb N)</math>에 대하여,
:<math>\pi x=(x_{\pi(i)})_{i\in\mathbb N}</math>
이라고 하자.

[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의, 실수 수열 <math>({\mathbb R}^{\mathbb N},\mathcal B({\mathbb R}^{\mathbb N}))</math> 값의 [[확률 변수]]
:<math>X\colon\Omega\to{\mathbb R}^{\mathbb N}</math>
의 '''교환 가능 시그마 대수'''는 다음과 같다.
:<math>\mathcal E(X)=\{X^{-1}(B)\colon B\in\mathcal B({\mathbb R}^{\mathbb N}),\;\operatorname{Pr}(X^{-1}(B)\bigtriangleup(\pi X)^{-1}(B))=0\forall\pi\in\operatorname{fp}(\mathbb N)\}\subset\mathcal F</math>
교환 가능 시그마 대수의 원소를 '''교환 가능 사건'''(交換可能事件, {{llang|en|exchangeable event}}) 또는 '''순열 가능 사건'''(順列可能事件, {{llang|en|permutable event}}) 또는 '''대칭 사건'''(對稱事件, {{llang|en|symmetric event}})이라고 한다.

=== 교환 가능 확률 변수족 ===
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의, 실수 <math>(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> 값의 [[확률 변수]]들의 [[가산 집합]]
:<math>(X_i\colon\Omega\to\mathbb R)_{i\in I}</math>
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>(X_i)_{i\in I}</math>를 '''교환 가능 확률 변수족'''이라고 한다.
* 임의의 [[유한 집합]] <math>J\subseteq I</math> 및 두 [[전단사 함수]] <math>i,j\colon\{1,\dots,|J|\}\to J</math>에 대하여, <math>(X_{i(1)},\dots,X_{i(|J|)})</math>와 <math>(X_{j(1)},\dots,X_{j(|J|)})</math>의 [[확률 분포]]는 같다.
* 임의의 <math>n=1,2,\dots</math> 및 두 [[단사 함수]] <math>i,j\colon\{1,\dots,n\}\to I</math>에 대하여, <math>(X_{i(1)},\dots,X_{i(n)})</math>와 <math>(X_{j(1)},\dots,X_{j(n)})</math>의 [[확률 분포]]는 같다.

'''데 피네티 정리'''({{llang|en|de Finetti’s theorem}})에 따르면, 만약 <math>I</math>가 [[가산 무한 집합]]일 경우, 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Chow">{{서적 인용
|성1=Chow
|이름1=Yuan Shih
|성2=Teicher
|이름2=Henry
|제목=Probability Theory. Independence, Interchangeability, Martingales
|언어=en
|판=3
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=1997
|isbn=978-0-387-40607-7
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-1-4612-1950-7
|zbl=0891.60002
}}</ref>{{rp|232, §7.3, Theorem 2}}
* <math>(X_i)_{i\in I}</math>는 교환 가능 확률 변수족이다.
* <math>(X_i)_{i\in I}</math>는 어떤 사건 [[시그마 대수]] <math>\mathcal G\subseteq\mathcal F</math>에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
* <math>(X_i)_{i\in I}</math>는 [[꼬리 시그마 대수]] <math>\mathcal T(X_i)_{i\in I}</math>에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
* <math>(X_i)_{i\in I}</math>는 <math>\mathcal E(X_i)_{i\in I}</math>에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.

== 성질 ==
교환 가능 확률 변수열이 주어졌을 때, 만약 모든 [[꼬리 사건]]의 확률이 0 또는 1이라면, 모든 교환 가능 사건의 확률 역시 0 또는 1이다. 특히, ([[콜모고로프 0-1 법칙]]에 따라 독립 동일 분포 확률 변수열의 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이므로,) 독립 동일 분포 확률 변수열의 교환 가능 사건의 확률은 0 또는 1이다. 이 특수한 경우를 '''휴잇-새비지 0-1 법칙'''({{llang|en|Hewitt–Savage zero–one law}})이라고 한다.

== 예 ==
실수 값의 확률 변수열의 모든 [[꼬리 사건]]은 교환 가능 사건이다.

모든 독립 동일 분포 확률 변수열은 교환 가능 확률 변수열이다.

== 역사 ==
데 피네티 정리는 브루노 데 피네티({{llang|it|Bruno de Finetti}})의 이름을 땄다. 휴잇-새비지 0-1 법칙은 에드윈 휴잇({{llang|en|Edwin Hewitt}})과 레너드 지미 새비지({{llang|en|Leonard Jimmie Savage}})의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=De Finetti theorem|성=Accardi|이름=L.}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률론]]
[[분류:통계학]]
[[분류:통계적 무작위성]]