교환자 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|교환자 (환론)|[[군론]]의 개념|[[환론]]의 개념}}
[[군론]]에서 '''교환자'''(交換子, {{llang|en|commutator}})는 두 원소 사이의 [[교환 법칙]]의 실패를 측정하는 [[이항 연산]]이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 두 원소 <math>g,h\in G</math>의 '''교환자'''는 다음과 같다.
:<math>[ g,h ] = g^{-1} h^{-1} gh</math>

(일부 문헌에서는 대신 순서를 바꾸어 <math>[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}</math>로 정의하기도 한다.)

== 성질 ==
임의의 두 원소 <math>g,h\in G</math>에 대하여, <math>gh=hg</math>일 [[필요 충분 조건]]은 <math>[g,h]=1</math>인 것이다. 즉, 임의의 군 <math>G</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[아벨 군]]이다.
* 모든 교환자가 1이다.

=== 항등식 ===
교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.<ref>{{서적 인용|성=McKay|이름=Susan|날짜=2000|제목=Finite ''p''-groups|총서=Queen Mary Maths Notes|권=18|출판사=University of London|mr=1802994|isbn=978-0-902480-17-9|언어=en}}</ref>{{rp|4}} 여기서 <math>y^x</math>는 [[켤레류|켤레 원소]] <math>x^{-1} yx</math>를 나타낸다.
* <math>x^y = x[x,y]</math>
* <math>[y,x] = [x,y]^{-1}</math>
* <math>[x y, z] = [x, z]^y \cdot [y, z]</math> and <math>[x, y z] = [x, z] \cdot [x, y]^z</math>
* <math>[x, y^{-1}] = [y, x]^{y^{-1}}</math> and <math>[x^{-1}, y] = [y, x]^{x^{-1}}</math>
* (홀-비트 항등식 {{llang|en|Hall–Witt identity}}) <math>[[x, y^{-1}], z]^y  [[y, z^{-1}], x]^z  [[z, x^{-1}], y]^x = 1</math>
* (홀-비트 항등식 {{llang|en|Hall–Witt identity}}) <math>[[x,y],z^x][[z,x],y^z][[y,z],x^y]=1</math>
홀-비트 항등식은 환론의 [[교환자 (환론)|교환자]]의 [[야코비 항등식]]과 유사하다.

또한, 임의의 군에 대하여 다음이 성립한다.
:<math> (xy)^2 = x^2y^2[y,x][[y,x],y]\qquad\forall x,y\in G</math>

만약 <math>G</math>의 [[교환자 부분군]]이 [[군의 중심|중심]]에 속한다면 (<math>G^{(1)}\le\operatorname Z(G)</math>), 다음이 추가로 성립한다.
:<math>(xy)^n = x^n y^n [y,x]^{\binom n2}\qquad\forall x,y\in G</math>

=== 교환자 부분군 ===
{{본문|교환자 부분군}}
주어진 군 <math>G</math>의 원소들 가운데 어떤 교환자로 표현될 수 있는 것들은 일반적으로 [[부분군]]을 이루지 않지만, '''[[교환자 부분군]]'''이라 불리는 [[부분군]]을 생성한다. 즉, [[교환자 부분군]]은 (유한 개의) 교환자들의 곱으로 표현될 수 있는 원소들로 구성된 부분군이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[중심화 부분군]]
* [[푸아송 괄호]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Commutator}}
* {{매스월드|id=Commutator|title=Commutator}}
* {{nlab|id=group commutator|title=Group commutator}}
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Commutator|제목=Commutator|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:항등식]]