교차 가군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]과 [[대수적 위상수학]]에서 '''교차 가군'''(交叉加群, {{llang|en|crossed module}})은 2-군의 데이터를 담고 있는 대수적 구조이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0512106|제목=Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules|이름=Behrang|성=Noohi|날짜=2005|언어=en}}</ref> 구체적으로, 서로 [[군 준동형]] 및 [[군의 작용|작용]]을 갖는 두 [[군 (수학)|군]]으로 구성된다.

== 정의 ==
교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[군 (수학)|군]] <math>G</math>
* [[군 (수학)|군]] <math>H</math>
* [[군 준동형]] <math>(\cdot)\colon G\to\operatorname{Aut}(H)</math>
* [[군 준동형]] <math>d\colon H\to G</math>
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>d(g\cdot h) = gd(h)g^{-1}\qquad\forall g\in G,\;h\in H</math>
:<math>d(h)\cdot h' = hh'h^{-1}\qquad\forall h,h'\in H</math> ('''파이퍼 항등식''' {{llang|en|Peiffer identity}})
가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
G\times H & \overset{(\cdot)}\to & H \\
\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle\operatorname{id}_G\times d}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\operatorname{id}_G\times d}\!\!\!\!\!\!\!\! && {\color{White}.}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle d} \downarrow {\scriptstyle d}\!\!\!\!\!\!\!\! {\color{White}.}\\
G\times G & \underset{\!\!\!\operatorname{Ad}_G\!\!\!}\to & G
\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}
H\times H & \overset{d\times\operatorname{id}}\to & G\times H \\
\| && \!\!\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle(\cdot)} \downarrow {\scriptstyle(\cdot)}\!\!\!\!\!\!\!\!\\
H\times H & \underset{\operatorname{Ad}_H}\to & H
\end{matrix}</math>

이 개념은 사실 [[군 (수학)|군]]의 범주 속의 [[내적 범주]] 또는 범주의 범주 속의 [[군 대상]]과 사실상 같다. 전자의 경우, 대상의 군은 <math>G</math>이며, 사상의 군은 <math>H\rtimes G</math>이다.<ref name="BS">{{저널 인용|제목=The Classifying Space of a Topological 2-Group|날짜=2008|arxiv=0801.3843|이름=John Carlos|성=Baez|이름2=Danny |성2=Stevenson|언어=en}}</ref> 이 경우
:<math>\operatorname{dom}(h,g) = g</math>
:<math>\operatorname{codom}(h,g) = d(h)g</math>
이며, 항등 사상은 포함 [[군 준동형]] <math>G\to H\rtimes G</math>이다.

구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 대상의 군 <math>\operatorname{Ob}\mathcal G</math>
* 사상의 군 <math>\operatorname{Mor}\mathcal G</math>
* 항등 사상을 정의하는 [[군 준동형]] <math>i \colon \operatorname{Ob}\mathcal G \to \operatorname{Mor}\mathcal G</math>
* 사상의 정의역을 정의하는 [[군 준동형]] <math>\operatorname{dom} \colon \operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G</math>
* 사상의 공역을 정의하는 [[군 준동형]] <math>\operatorname{codom} \colon \operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G</math>
* 사상의 합성을 정의하는 [[군 준동형]] <math>\{(f,g)\in (\operatorname{Mor}\mathcal G)^2\colon \operatorname{dom}f=\operatorname{codom}g\} \to \operatorname{Mor}\mathcal G</math>
이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다.

{| class=wikitable
! 교차 가군 !! 군의 범주의 [[내적 범주]]
|-
| <math>G</math> || <math>\operatorname{Ob}\mathcal G</math>
|-
| <math>H</math> || <math>\ker \operatorname{dom} \le \operatorname{Mor}\mathcal G</math>
|-ke
| <math>H\rtimes G</math> || <math>\operatorname{Mor}\mathcal G</math>
|-
| <math>d\colon H \to G</math> || <math> \operatorname{codom}\restriction (\ker \operatorname{dom})</math>
|-
| <math>(\cdot)\colon G\times H\to H</math> || <math>(g,h)\mapsto i(g) h i(g)^{-1} \in \ker\operatorname{dom}</math>
|-
| <math>H\rtimes G\to G</math>, <math>(h,g)\mapsto g</math> || <math>\operatorname{dom}\colon\operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G</math>
|-
| <math>H\rtimes G\to G</math>, <math>(h,g)\mapsto d(h)g</math> || <math>\operatorname{codom}\colon\operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G</math>
|}

== 예 ==
=== 정규 부분군 ===
임의의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[정규 부분군]] <math>N</math>이 주어졌을 때,
:<math>d\colon N\hookrightarrow G</math>
:<math>g\cdot n = gng^{-1}\qquad(g\in G,\;n\in N)</math>
로 잡으면, 이는 교차 가군을 이룬다.

=== 가군 ===
{{본문|군의 가군}}
다음 두 개념이 서로 [[동치]]이다.
* 군 <math>G</math>의 [[군환]] <math>\mathbb Z[G]</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_{\mathbb Z[G]}H</math>
* <math>d=1_G</math> ([[치역]]이 <math>G</math>의 항등원인 [[상수 함수]])인 교차 가군 <math>(G,H)</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<Math>\mathbb Z[G]</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>H</math>가 주어졌다고 하자. 이제, <math>d=1_G</math>으로 놓으면, 이는 교차 가군의 데이터를 이룬다 (<math>H</math>의 군 연산은 가군의 덧셈). 만약 <math>d=1_G</math>일 때, 교차 가군의 두 조건 가운데 하나는 자명하며 다른 하나(파이퍼 항등식)는 <math>H</math>가 [[아벨 군]]임을 의미한다.

반대로, <math>d=1_G</math>인 교차 가군 <math>(G,H)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교차 가군의 조건(파이퍼 항등식)에 의하여 <math>H</math>는 [[아벨 군]]이며, 작용 <math>G\to\operatorname{Aut}(H)</math>는 <math>H</math> 위에 <math>\mathbb Z[G]</math>-가군의 구조를 정의한다.
</div></div>

즉, <math>\mathbb Z[G]</math>-[[왼쪽 가군]]의 범주는 <math>G</math>에 대한 교차 가군의 [[범주 (수학)|범주]]의 [[부분 범주]]를 이룬다. 다시 말해, 교차 가군의 개념은 [[군의 가군]]의 개념의 일반화이다.

사실, 파이퍼 항등식을
:<math>hh' = (d(h)\cdot h')h \qquad\forall h,h'\in H</math>
와 같이 쓰면, 이는 <math>H</math>가 “뒤틀린 [[교환 법칙]]”을 따른다는 것으로 해석될 수 있다.

=== 중심 확대 ===
[[군 (수학)|군]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>1\to A\to H \,\xrightarrow d\,G \to 1</math>
에서, <math>A</math>가 [[아벨 군]]이라고 하자. 그렇다면,
:<math>g\cdot h = khk^{-1} \qquad\forall k \in d^{-1}(g) \subseteq H</math>
을 정의하면, <math>(G,H,d,\cdot)</math>는 교차 가군을 이룬다.

특히, 만약 <math>G = 1</math>이며 <math>A=H</math>가 임의의 [[아벨 군]]일 경우, 이는 교차 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 <math>A=1</math>이며 <math>G=H</math>가 임의의 [[군 (수학)|군]]일 경우, 이 역시 교차 가군을 이룬다. 이 경우
:<math>d = \operatorname{id}_G</math>
:<math>g\cdot h = ghg^{-1}</math>
이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=0802.0663|날짜=2008|제목=Smooth functors vs. differential forms|이름=Urs|성=Schreiber|이름2=Konrad|성2=Waldorf|언어=en}}</ref>{{rp|Example A.9}}

=== 자기 동형군 ===
임의의 [[군 (수학)|군]] <math>H</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 표준적인 [[군 준동형]]
:<math>d\colon H\to\operatorname{Aut}(H)</math>
:<math>d\colon h \mapsto (h' \mapsto hh'h^{-1})</math>
이 존재한다. 즉, 이는 군 원소를 [[내부 자기 동형]]에 대응시킨다. 이에 따라, <math>(\operatorname{Aut}(H),H)</math>는 교차 가군을 이루며, 이를 <math>\operatorname{AUT}(H)</math>라고 한다.<ref name="BS"/>{{rp|§2}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">'''증명:'''<div class="mw-collapsible-content">
파이퍼 항등식은 정의에 따라 성립한다. 나머지 한 조건은
:<math>d(f(h)) = f \circ d(h) \circ f^{-1}\qquad\forall h\in H,\;f\in\operatorname{Aut}(H)</math>
이다. 이를 확인하려면, 임의의 <math>h'\in H</math>에 대하여, 좌변은
:<math>d(f(h))(h') = f(h)h'f(h)^{-1}</math>
인데, 우변은
:<math>\left(f \circ d(h) \circ f^{-1}\right)(h') = f(hf^{-1}(h')h^{-1}) = f(h)f(f^{-1}(h')) f(h)^{-1} = f(h)h'f(h)^{-1}</math>
이므로, 따라서 이 조건 역시 참이다.
</div></div>

=== 2-기본군 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 공간]] <math>A\subseteq X</math> 및 <math>x\in A\subseteq X</math>에 대하여,
:<math>G = \pi_1(A,x)</math> ([[기본군]])
:<math>H = \pi_2(X,A,x)</math> (2차 [[호모토피 군]])
을 정의하고,
:<math>d \colon H \to G</math>
가 상대 호모토피류의 경계로 정의되는 [[군 준동형]]이라고 하자. 그렇다면, 이는 교차 가군을 이룬다.

=== 리 교차 가군 ===
교차 가군 <math>(G,H)</math>에서, 만약 <math>G</math>와 <math>H</math>가 [[리 군]]이라고 하고, 또 모든 작용 및 군 준동형이 [[매끄러운 함수]]라고 하자. 이 경우, 교차 가군 <math>(G,H)</math>의 구조를 그 [[리 대수]]에 제한할 수 있다. 구체적으로, <math>\operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g</math>, <math>\operatorname{Lie}(H)=\mathfrak h</math>라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다.
* 두 유한 차원 [[실수 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>, <math>\mathfrak h</math>
* [[리 대수 준동형]] <math>\rho\colon\mathfrak g\to\mathfrak{der}(\mathfrak h)</math> ([[공역]]은 <math>\mathfrak h</math>의 [[미분 리 대수]])
* [[리 대수 준동형]] <math>d\colon \mathfrak h\to\mathfrak g</math>
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>d(\rho(g)h) = [g,d(h)]</math>
:<math>\rho(d(h)) = [h,-] = \operatorname{ad}_{\mathfrak h}(h)</math> (무한소 파이퍼 항등식)
특히, 파이퍼 항등식으로부터, <math>\mathfrak h</math>의 [[리 괄호]]가 완전히 결정된다. 따라서,
:<math>[-,-] \colon \mathfrak g \otimes_{\mathbb R}\mathfrak h \to \mathfrak h </math>
:<math>[g,h] = \rho(g)h</math>
:<math> \deg \mathfrak g = 0</math>
:<math> \deg \mathfrak h = 1</math>
를 정의하면, <math>(\mathfrak g\oplus\mathfrak h,d, [-,-])</math>는 등급이 0 또는 1인 [[미분 등급 리 대수]]이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) [[L∞-대수]]의 특수한 경우이다.

== 역사 ==
[[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드]]가 1941년에 최초로 도입하였으며,<ref>{{저널 인용|성=Whitehead|이름= John Henry Constantine | 저자링크=존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드 | 제목=On adding relations to homotopy groups, Annals of Mathematics|권=42 |날짜=1941|쪽= 409–428|언어=en}}</ref> 화이트헤드는 1949년에 ‘교차 가군’({{llang|en|crossed module}})이라는 용어를 최초로 사용하였다.<ref name="Whitehead49">{{저널 인용|성=Whitehead|이름= John Henry Constantine | 저자링크=존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드 |제목=Combinatorial homotopy Ⅱ|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권= 55 |날짜=1949|쪽=453–496|mr=30760|doi=10.1090/S0002-9904-1949-09213-3 |언어=en}}</ref>{{rp|453, §2}} 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|편의상, 상대 [[호모토피 군]]과 같은 대수적 성질을 갖는 군에 대하여 이름을 붙이고, 이에 대하여 몇몇 보조 정리를 증명하자. 이러한 군을 ‘교차 가군’[……]이라고 부르도록 하자.<br>
{{lang|en|It will be convenient to have a name for groups with the algebraic properties of relative homotopy groups, and to have proved some lemmas concerning them. We shall call such a group a ''crossed module'' […].}}|<ref name="Whitehead49"/>{{rp|453, §2}}}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=crossed module|title=Crossed module}}
* {{nlab|id=differential crossed module|title=Differential crossed module}}
* {{nlab|id=strict 2-group|title=Strict 2-group}}
* {{nlab|id=crossed square|title=Crossed square}}
* {{nlab|id=crossed n-cube|title=Crossed ''n''-cube}}
* {{nlab|id=2-crossed module|title=2-crossed module}}
* {{nlab|id=crossed complex|title=Crossed complex}}
* {{웹 인용|제목=The crossed menagerie. An introduction to crossed gadgetry and cohomology in algebra and topology|이름=Timothy|성=Porter|url=https://ncatlab.org/timporter/files/menagerie11.pdf|날짜=2012-03-06|언어=en}}

[[분류:군론]]
[[분류:대수적 위상수학]]